Kuidas leida hüpotenuus, kui jalad on teada. Kuidas leida hüpotenuus, teades jalga ja nurka

Teatavasti on geomeetria raske teadus, mis nõuab probleemide lahendamisel erilist hoolt ja täpsust. Paljud avaldised ja valemid, mida me hiljem keerukamates arvutustes kasutame, on toodud 6.–7. klassi matemaatikaõpikutes. Trigonomeetriliste funktsioonide õppimise protsessi lihtsamaks ja nauditavamaks muutmiseks vaatleme selles artiklis mõnda lühikest viisi täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi arvutamiseks.

Kuidas leida hüpotenuus jalgade järgi?

Meenutagem väikest teooriat: täisnurkne kolmnurk on lame kujund, millel on kolm nurka. Üks neist on suurusjärgus 90º ja külgi nimetatakse jalgadeks ja hüpotenuusiks. Täisnurga vastas olev külg on hüpotenuus ja ülejäänud kaks on külgnevad jalad. Osapoolte põhimäng avaldub Pythagorase teoreemis, mille kohaselt hüpotenuus võrdub jalgade ruutude summaga. See tundub aga ainult segadust tekitav, sest tegelikult on kõik palju lihtsam.

Geomeetrilise kujundi omadused

Enne kolmnurga hüpotenuusi leidmist peate mõistma, millised omadused sellel joonisel on. Vaatleme peamisi:

Täisnurkses kolmnurgas moodustavad mõlemad teravnurgad kokku 90º.
Jalg, mis asub 30º nurga vastas, on võrdne ½ hüpotenuusi suurusest.
Kui jalg on võrdne ½ hüpotenuusiga, on teisel nurgal sama väärtus - 30º.

Täisnurksest kolmnurgast hüpotenuusi leidmiseks on mitu võimalust. Kõige lihtne lahendus on arvutus läbi jalgade. Oletame, et tead külgede A ja B väärtusi. Siis tuleb appi Pythagorase teoreem, mis ütleb meile, et kui paneme iga külje väärtuse ruudu ruutu ja võtame saadud andmed kokku, saame teada, mis on hüpotenuus võrdne. Seega peame lihtsalt eraldama ruutjuure väärtuse:

Näiteks kui jalg A = 3 cm ja jalg B = 4 cm, näeb arvutus välja järgmine:

Kuidas leida hüpotenuus läbi nurga?

Teine võimalus teada saada, mis on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus, on arvutada antud nurga kaudu. Selleks peame siinuse valemi kaudu tuletama väärtuse. Oletame, et teame jala suurust (A) ja vastasnurga väärtust (α). Siis sisaldub kogu lahus ühes valemis: C=A/sin(α).

Näiteks kui jala pikkus on 40 cm ja nurk 45°, siis saab hüpotenuusi pikkuse tuletada järgmisel viisil:

40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.

Vajaliku väärtuse saab määrata ka antud nurga koosinuse kaudu. Oletame, et teame ühe jala (B) ja terava külgneva nurga (α) väärtust. Seejärel on ülesande lahendamiseks vaja ühte valemit: C=B/ cos(α).

Näiteks kui jala pikkus on 50 cm ja nurk 45°, saab hüpotenuusi arvutada järgmiselt:

50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Seega vaatlesime peamisi viise hüpotenuusi väljaselgitamiseks kolmnurgas. Probleemi lahendamisel on oluline keskenduda olemasolevatele andmetele, siis on tundmatu suuruse leidmine üsna lihtne. Peate teadma vaid paari valemit ja probleemide lahendamise protsess muutub lihtsaks ja nauditavaks.

Tõlgitud keelest kreeka keel, hüpotenuus tähendab "tihe". Et õigesti aru saada, kujutage ette vibunööri, mis ühendab painduva pulga kahte otsa. Samamoodi on täisnurkse kolmnurga pikim külg hüpotenuus, mis asub vastassuunas täisnurk. See toimib ühendusena kahe ülejäänud küljega, mida nimetatakse jalgadeks. Et teada saada, kui pikk see "nöör" on, peab teil olema jalgade pikkus või kahe teravnurga suurus. Neid andmeid kombineerides saate valemite abil soovitud väärtuse arvutada.

Kuidas leida hüpotenuus jalgade järgi

Lihtsaim viis arvutada on, kui tead kahe jala suurust (tähistame ühte A-ks, teist B-ks). Appi tulevad Pythagoras ise ja tema maailmakuulus teoreem. Ta ütleb meile, et kui paneme jalgade pikkuse ruudusse ja liidame arvutatud väärtused, siis saame teada hüpotenuusi pikkuse ruudu väärtuse. Eeltoodust järeldame: hüpotenuusi väärtuse leidmiseks on vaja ekstraheerida Ruutjuur jalgade ruutude kogusummast C = √ (A² + B²). Näide: külg A=10 cm, külg B=20 cm. Hüpotenuus on võrdne 22,36 cm. Arvutamine on järgmine: √(10²+20²)=√(100+400)= √500≈22,36.

Kuidas leida hüpotenuus läbi nurga

Hüpotenuusi pikkust läbi etteantud nurga on veidi keerulisem arvutada. Kui teate ühe kahest jalast (tähistatakse A-ga) ja selle vastas asuva nurga suurust (tähistatakse α-ga), siis leitakse hüpotenuusi suurus trigonomeetria ja täpsemalt siinuse abil. Kõik, mida pead tegema, on jagada teadaoleva jala väärtus nurga siinusega. C=A/sin(a). Näide: jala A pikkus = 30 cm, selle vastas olev nurk on 45°, hüpotenuus on 42,25 cm Arvutamine on järgmine: 30/sin(45°) = 30/0,71 = 42,25.

Teine võimalus on koosinuse abil leida hüpotenuusi suurus. Seda kasutatakse, kui on teada jala suurus (tähistatakse B-ga) ja teravnurk(tähistatud α-ga), mis on sellega külgnev. Kõik, mida pead tegema, on jagada jala väärtus nurga siinusega. С=В/ cos(α). Näide: jala B pikkus = 30 cm, selle vastas olev nurk on 45°, hüpotenuus on 42,25 cm. Arvutamine on järgmine: 30/cos(45°) = 30/0,71 = 42,25.

Kuidas leida võrdhaarse täisnurkse kolmnurga hüpotenuus

Iga endast lugupidav koolilaps teab, et kolmnurk on võrdhaarne, eeldusel, et kaks külge kolmest on üksteisega võrdsed. Neid külgi nimetatakse külgmiseks ja seda, mis jääb, nimetatakse aluseks. Kui üks nurkadest on 90°, siis on teil võrdhaarne täisnurkne kolmnurk.

Hüpotenuusi leidmine sellises kolmnurgas on lihtne, kuna sellel on mitmeid omadusi, mis aitavad. Alusega külgnevad nurgad on võrdse väärtusega, nurkade väärtuste summa on 180°. See tähendab, et täisnurk asub aluse vastas, mis tähendab, et alus on hüpotenuus ja küljed on jalad.

Selle probleemi lahendamiseks on kolm võimalust. Esimene on see, kui ülesande tingimustes on antud, et jalad on võrdsed (tegelikult on meil täisnurkne võrdhaarne kolmnurk). Teine on see, kui mingi nurk on siiski antud (välja arvatud 45% nurk, siis on meil sama võrdhaarne kolmnurk ja pöördume tagasi esimese variandi juurde). Ja kolmas - kui üks jalg on teada. Vaatleme neid võimalusi üksikasjalikumalt.

Kuidas leida teadaoleva hüpotenuusiga võrdsed jalad

esimene jalg (tähistagem tähega "a") on võrdne teise jalaga ((tähistame tähega "b"): a=b;

jala suurus;

Selles versioonis põhineb ülesande lahendus Pythagorase teoreemi kasutamisel. Seda rakendatakse täisnurksetele kolmnurkadele ja selle põhiversioon kõlab järgmiselt: “Hüpotenuusi ruut võrdne summaga jalgade ruudud." Kuna meie jalad on võrdsed, võime mõlemat jalga tähistada sama sümboliga: a=b, mis tähendab a=a.

Me asendame oma sümbolid teoreemi (arvestades ülaltoodut):
c^2=a^2+a^2,
Järgmisena lihtsustame valemit nii palju kui võimalik:
с^2=2*(a^2) – rühm,
с=√2*а - toome mõlemad võrrandi pooled ruutjuure,
a=c/√2 - võtame otsitava välja.
Asendame antud väärtus hüpotenuus ja saame lahenduse:
a=x/√2

Kuidas leida jalgu, arvestades teadaolevat hüpotenuusi ja nurka

hüpotenuus (tähistagem seda tähega "c") võrdub x cm: c=x;
nurk β võrdub q-ga: β=q;

jala suurus;

Selle probleemi lahendamiseks peate kasutama trigonomeetrilisi funktsioone. Kaks kõige populaarsemat neist on:

siinusfunktsioon - soovitud nurga siinus võrdub vastaskülje ja hüpotenuusi suhtega;
koosinusfunktsioon - soovitud nurga koosinus võrdub külgneva jala ja hüpotenuusi suhtega;

Võite kasutada ükskõik millist. Toon näite, kasutades esimest. Olgu jalad tähistatud sümbolitega “a” (nurga kõrval) ja “b” (nurga vastas). Seega jääb meie nurk jala “a” ja hüpotenuusi vahele.

Asendame valitud sümbolid valemiga:
sinβ = b/c
Tuletame jala:
b=c*sinβ
Asendame oma antud ja meil on üks jalg.
b=c*sinq

Teise jala saab leida teise abil trigonomeetriline funktsioon või minge kolmanda valiku juurde.

Kuidas leida üks pool, kui hüpotenuus ja teine pool on teada

hüpotenuus (tähistagem seda tähega "c") võrdub x cm: c=x;
jalg (tähistame seda tähega "b") on võrdne y-ga cm: b=y;

teise jala suurus (tähistagem seda tähega "a");

Selles versioonis on probleemi lahendus, nagu ka esimeses, Pythagorase teoreemi kasutamine.

Asendame oma sümbolid teoreemiga:
c^2=a^2+b^2,
Võtame välja vajaliku jala:
a^2=c^2-b^2
Võtame võrrandi mõlemad pooled ruutjuureks:
a=√(c^2-b^2)
Asendame need väärtused ja meil on lahendus:
a=√(x^2-y^2)

Arvukate arvutuste hulgas, mida tehakse erinevate suuruste arvutamiseks, on kolmnurga hüpotenuusi leidmine. Tuletame meelde, et kolmnurk on hulktahukas, millel on kolm nurka. Allpool on toodud mitu võimalust hüpotenuusi arvutamiseks erinevad kolmnurgad.

Kõigepealt vaatame, kuidas leida täisnurkse kolmnurga hüpotenuus. Need, kes on unustanud, nimetatakse 90-kraadise nurgaga kolmnurka täisnurkseks kolmnurgaks. Kolmnurga külg, mis asub vastaspool täisnurka nimetatakse hüpotenuusiks. Lisaks on see kolmnurga pikim külg. Sõltuvalt teadaolevatest väärtustest arvutatakse hüpotenuusi pikkus järgmiselt:

Jalgade pikkused on teada. Hüpotenuus arvutatakse sel juhul Pythagorase teoreemi abil, mis kõlab järgmiselt: hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga. Kui vaadelda täisnurkset kolmnurka BKF, kus BK ja KF on jalad ning FB on hüpotenuus, siis FB2= BK2+ KF2. Ülaltoodust järeldub, et hüpotenuusi pikkuse arvutamisel tuleb kõik jalgade väärtused omakorda ruudustada. Seejärel lisage õpitud arvud ja eraldage tulemusest ruutjuur.

Vaatleme näidet: antud täisnurgaga kolmnurk. Üks jalg on 3 cm, teine 4 cm. Leidke hüpotenuus. Lahendus näeb välja selline.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Tõmmake välja ja saate FB=5 cm.

Jalg (BK) ja sellega külgnev nurk, mille moodustavad hüpotenuus ja see jalg, on teada. Kuidas leida kolmnurga hüpotenuus? Tähistame teadaolevat nurka α. Vastavalt omadusele, mis ütleb, et jala pikkuse ja hüpotenuusi pikkuse suhe on võrdne selle jala ja hüpotenuusi vahelise nurga koosinusega. Kolmnurka arvestades saab selle kirjutada järgmiselt: FB= BK*cos(α).
Jalg (KF) ja sama nurk α on teada, alles nüüd on see vastand. Kuidas sel juhul hüpotenuusi leida? Pöördume täisnurkse kolmnurga samade omaduste juurde ja leiame, et jala pikkuse ja hüpotenuusi pikkuse suhe on võrdne jala vastasnurga siinusega. See tähendab, et FB= KF * sin (α).

Vaatame näidet. Antud on sama täisnurkne kolmnurk BKF hüpotenuusiga FB. Olgu nurk F võrdne 30 kraadiga, teine nurk B vastab 60 kraadile. Tuntud on ka BK jalg, mille pikkus vastab 8 cm. Vajaliku väärtuse saab arvutada järgmiselt:

FB = BK /cos60 = 8 cm.
FB = BK /sin30 = 8 cm.

Tuntud (R), kirjeldatud täisnurgaga kolmnurga ümber. Kuidas leida hüpotenuus sellise probleemi kaalumisel? Täisnurgaga kolmnurga ümber piiratud ringjoone omadusest on teada, et sellise ringi keskpunkt langeb kokku hüpotenuusi punktiga, jagades selle pooleks. Lihtsate sõnadega- raadius vastab poolele hüpotenuusist. Seega on hüpotenuus võrdne kahe raadiusega. FB=2*R. Kui teile antakse sarnane ülesanne, mille puhul pole teada mitte raadius, vaid mediaan, siis peaksite pöörama tähelepanu täisnurgaga kolmnurga ümber piiratud ringi omadusele, mis ütleb, et raadius on võrdne joonistatud mediaaniga. hüpotenuusile. Kõiki neid omadusi kasutades lahendatakse probleem samamoodi.

Kui küsimus on selles, kuidas leida võrdhaarse täisnurkse kolmnurga hüpotenuus, siis peate pöörduma sama Pythagorase teoreemi poole. Kuid kõigepealt pidage meeles, et võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, millel on kaks identset külge. Täisnurkse kolmnurga puhul on küljed võrdsed. Meil on FB2= BK2+ KF2, aga kuna BK= KF on meil järgmised: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Nagu näete, on Pythagorase teoreemi ja täisnurkse kolmnurga omadusi teades ülesannete lahendamine, mille puhul on vaja arvutada hüpotenuusi pikkus, väga lihtne. Kui kõiki omadusi on raske meeles pidada, õppige valmis valemeid, asendamist teadaolevad väärtused on võimalik arvutada hüpotenuusi vajalik pikkus.

Geomeetria ei ole lihtne teadus. See võib olla kasulik mõlemale kooli õppekava, ja sisse päris elu. Paljude valemite ja teoreemide tundmine lihtsustab geomeetrilisi arvutusi. Üks kõige enam lihtsad kujundid geomeetrias on see kolmnurk. Ühel kolmnurkade sortidest, võrdkülgsetest, on oma omadused.

Võrdkülgse kolmnurga tunnused

Definitsiooni järgi on kolmnurk hulktahukas, millel on kolm nurka ja kolm külge. See on tasane kahemõõtmeline kujund, selle omadusi uuritakse keskkoolis. Nurga tüübi järgi eristatakse terav-, nüri- ja täisnurkne kolmnurk. Täisnurkne kolmnurk on selline geomeetriline kujund, kus üks nurkadest on 90º. Sellisel kolmnurgal on kaks jalga (need loovad täisnurga) ja üks hüpotenuus (see on täisnurga vastas). Olenevalt teadaolevatest kogustest on neid kolm lihtsaid viise Arvutage täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

Esimene võimalus on leida täisnurkse kolmnurga hüpotenuus. Pythagorase teoreem

Pythagorase teoreem on vanim viis täisnurkse kolmnurga külgede arvutamiseks. See kõlab järgmiselt: "Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruut võrdne jalgade ruutude summaga." Seega tuleb hüpotenuusi arvutamiseks tuletada ruutjuur kahe jala ruudu summast. Selguse huvides on toodud valemid ja diagramm.

Teine viis. Hüpotenuusi arvutamine 2 teadaoleva suuruse abil: jalg ja külgnev nurk

Üks täisnurkse kolmnurga omadusi ütleb, et jala pikkuse ja hüpotenuusi pikkuse suhe on samaväärne selle jala ja hüpotenuusi vahelise nurga koosinusega. Nimetagem meile tuntud nurka α. Nüüd saate tänu tuntud määratlusele hõlpsasti sõnastada hüpotenuusi arvutamise valemi: Hüpotenuus = jalg/cos(α)

Kolmas viis. Hüpotenuusi arvutamine 2 teadaoleva suuruse abil: jalg ja vastasnurk

Kui on teada vastupidine nurk, on võimalik uuesti kasutada täisnurkse kolmnurga omadusi. Jala pikkuse ja hüpotenuusi suhe on võrdne vastasnurga siinusega. Nimetagem taas teadaolevat nurka α. Nüüd kasutame arvutuste tegemiseks veidi teistsugust valemit:
Hüpotenuus = jalg/patt (α)

Näited, mis aitavad teil valemeid mõista

Iga valemi sügavamaks mõistmiseks peaksite kaaluma illustreerivad näited. Oletame, et teile antakse täisnurkne kolmnurk, kus on järgmised andmed:

Jalg - 8 cm.
Kõrvuti asetsev nurk cosα1 on 0,8.
Vastasnurk sinα2 on 0,8.

Pythagorase teoreemi järgi: Hüpotenuus = ruutjuur (36+64) = 10 cm.
Vastavalt jala suurusele ja külgnevale nurgale: 8/0,8 = 10 cm.
Vastavalt sääre suurusele ja vastasnurgale: 8/0,8 = 10 cm.

Kui olete valemist aru saanud, saate hüpotenuusi hõlpsasti arvutada mis tahes andmetega.

Video: Pythagorase teoreem