Ümmarguse tala ruumiline painutamine. Painutamine ümmarguse tala torsiooniga

Sissejuhatus.

Painutamine on deformatsiooniliik, mida iseloomustab deformeeritava objekti (tala, tala, plaat, kest jne) telje või keskpinna kumerus (kõveruse muutus) välisjõudude või temperatuuri mõjul. Painutamine on seotud paindemomentide esinemisega tala ristlõigetes. Kui tala ristlõikes olevast kuuest sisejõutegurist on ainult üks paindemoment nullist erinev, nimetatakse paindet puhtaks:

Kui tala ristlõigetes on lisaks paindemomendile ka põikjõud, nimetatakse painutamist põiki:

Inseneripraktikas peetakse silmas ka painde erijuhtumit - pikisuunalist I. ( riis. 1, c), mida iseloomustab varda paindumine pikisuunaliste survejõudude toimel. Piki varda telge suunatud ja sellega risti olevate jõudude samaaegne toime põhjustab piki-ristsuunalist painde ( riis. 1, G).

Riis. 1. Tala painutamine: a - puhas: b - põiki; c - pikisuunaline; g - piki-põiki.

Tala, mis paindub, nimetatakse talaks. Painet nimetatakse tasaseks, kui tala telg jääb pärast deformatsiooni tasaseks jooneks. Tala kõvera telje asukohatasapinda nimetatakse painutustasandiks. Koormusjõudude toimetasandit nimetatakse jõutasandiks. Kui jõutasand langeb kokku ristlõike ühe peamise inertstasandiga, nimetatakse paindet sirgeks. (Vastasel juhul tekib kaldus painutamine). Ristlõike inertsi põhitasand on tasapind, mille moodustab üks ristlõike peatelgedest tala pikiteljega. Tasapinnalisel sirgel painutamisel langevad paindetasand ja jõutasand kokku.

Suurt praktilist huvi pakub tala väände ja painde probleem (Saint-Venant probleem). Navieri loodud paindeteooria rakendamine on konstruktsiooni mehaanika ulatuslik haru ja sellel on tohutu praktiline tähtsus, kuna see on aluseks konstruktsioonide erinevate osade mõõtmete arvutamisel ja tugevuse kontrollimisel: talad, sillad, masina elemendid jne.

Elastsusteooria PÕHIVÕRDENDID JA ÜLESANDED

§ 1. põhivõrrandid

Esiteks anname üldise kokkuvõtte elastse keha tasakaaluülesannete põhivõrranditest, mis moodustavad elastsusteooria lõigu sisu, mida tavaliselt nimetatakse elastse keha staatikaks.

Keha deformeerunud olek on täielikult määratud deformatsioonivälja tensoriga või nihkeväljaga. Deformatsioonitensori komponendid on seotud nihketega diferentsiaalsete Cauchy sõltuvuste tõttu:

(1)

Deformatsioonitensori komponendid peavad vastama Saint-Venant'i diferentsiaalsõltuvustele:

mis on võrrandite (1) integreeritavuse jaoks vajalikud ja piisavad tingimused.

Keha pingeseisundi määrab pingevälja tensor Sümmeetrilise tensori kuus sõltumatut komponenti () peab vastama kolmele diferentsiaaltasakaaluvõrrandile:

Pingetensori komponendid Ja liigutused ühendatud kuue Hooke'i seaduse võrrandiga:

Mõnel juhul tuleb Hooke'i seaduse võrrandeid kasutada valemi kujul

, (5)

Võrrandid (1)-(5) on elastsusteooria staatiliste ülesannete põhivõrrandid. Mõnikord nimetatakse võrrandeid (1) ja (2) geomeetrilisteks võrranditeks, võrranditeks ( 3) on staatilised võrrandid ja võrrandid (4) või (5) on füüsikalised võrrandid. Põhivõrranditele, mis määravad lineaarselt elastse keha oleku selle sisemistes ruumalapunktides, on vaja lisada tingimused selle pinnal, mida nimetatakse piirtingimusteks. Need määratakse kas etteantud välispinnajõududega või määratud liigutused punktid kehapinnal. Esimesel juhul väljendatakse piirtingimusi võrdsusega:

kus on vektori komponendid t pinna jõud, - ühikvektori komponendid P, suunatud piki välist normaaljoont pinnale kõnealuses punktis.

Teisel juhul väljendatakse piirtingimusi võrdsusega

Kus - pinnal määratud funktsioonid.

Piirtingimused võivad olla ka segatüüpi, kui ühel osal keha pinnale antakse välispinna jõud ja teisest küljest keha pinnale antakse nihked:

Võimalikud on ka muud tüüpi piirtingimused. Näiteks teatud kehapinna piirkonnas on määratud ainult mõned nihkevektori komponendid ja lisaks pole määratud kõiki pinnajõu vektori komponente.

§ 2. elastse keha staatika põhiprobleemid

Sõltuvalt piirtingimuste tüübist eristatakse elastsuse teoorias kolme tüüpi staatilisi põhiülesandeid.

Esimese tüübi põhiülesanne on pingevälja tensori komponentide määramine piirkonna sees , keha hõivatud ja ala sees olevate punktide liikumisvektori komponent ja pinnapunktid kehad vastavalt etteantud massijõududele ja pinnajõud

Nõutavad üheksa funktsiooni peavad vastama põhivõrranditele (3) ja (4) ning ka piirtingimustele (6).

Teise tüübi põhiülesanne on liikumiste määramine punktid ala sees ja pingevälja tensori komponent vastavalt etteantud massijõududele ja vastavalt kindlaksmääratud liikumistele kehapinnal.

Funktsioonid, mida otsite Ja peab vastama põhivõrranditele (3) ja (4) ning piirtingimustele (7).

Pange tähele, et piirtingimused (7) kajastavad määratletud funktsioonide järjepidevuse nõuet piiri peal keha, st kui sisemine punkt kipub mingisse pinnapunkti, funktsiooni peaks pinna antud punktis kalduma antud väärtusele.

Kolmanda tüübi ehk segaprobleemi põhiprobleemiks on antud pindjõud ühele kehapinna osale ja vastavalt etteantud nihketele teisel kehapinnal ja ka üldiselt öeldes vastavalt antud massijõududele on vaja kindlaks määrata pinge- ja nihketensori komponendid , põhivõrrandite (3) ja (4) täitmine, kui on täidetud segatud piirtingimused (8).

Olles sellele probleemile lahenduse leidnud, on võimalik määrata eelkõige ühenduste sisselülitamise jõud , mida tuleb rakendada pinna punktides, et realiseerida sellel pinnal määratud nihkeid, samuti on võimalik arvutada pinnapunktide nihkeid . Kursusetööd >> Tööstus, tootmine

Pikkuse järgi puit, See puit deformeerunud. Deformatsioon puit kaasas samaaegselt... puit, polümeer jne Millal painutada puit kahel toel lamades... painutada iseloomustab läbipainde nool. Sel juhul survepinge nõgusas osas puit ...

Lühiteave teooriast

Puit on allutatud keeruka takistuse tingimustele, kui mitu sisejõutegurit ristlõigetes ei ole üheaegselt võrdne nulliga.

Järgmised keeruka laadimise juhtumid pakuvad suurimat praktilist huvi:

1. Kaldus painutus.

2. Pingutamine või kokkusurumine põikisuunas
läbilõige, tekivad pikijõud ja paindemomendid, nt
näiteks tala ekstsentrilise kokkusurumise ajal.

3. Väändega painutamine, mida iseloomustab olemasolu tagumikul
jõelõigud painduvad (või kaks kurvi) ja väänd
hetked.

Kaldus painutus.

Kaldpainutus on tala painutamise juhtum, mille puhul kogu paindemomendi toimetasand lõikes ei ühti ühegi peamise inertsteljega. Kõige mugavam on kaldpainutamiseks käsitleda tala samaaegset painutamist kahel põhitasandil zoy ja zox, kus z-telg on tala telg ning x- ja y-teljed on ristlõike peamised keskteljed.

Vaatleme ristkülikukujulise ristlõikega konsooltala, mis on koormatud jõuga P (joonis 1).

Olles laiendanud jõudu P piki ristlõike peamisi kesktelgesid, saame:

P y = Pcos φ, P x = Psin φ

Paindemomendid esinevad tala praeguses osas

M x = - P y z = -P z cos φ,

M y = P x z = P z sin φ.

Paindemomendi M x märk määratakse samamoodi nagu juhtumil sirge kurv. Momenti M y loeme positiivseks, kui punktides, mille x-koordinaadi väärtus on positiivne, põhjustab see moment tõmbepingeid. Muide, momendi M y märki saab hõlpsasti kindlaks teha analoogselt paindemomendi M x märgi määramisega, kui pöörate sektsiooni mõttes nii, et x-telg langeb kokku y-telje algse suunaga .

Pinge tala ristlõike suvalises punktis saab määrata pinge määramise valemite abil tasapinnalise painde korral. Lähtudes jõudude sõltumatu toimimise põhimõttest võtame kokku iga paindemomendi põhjustatud pinged

(1)

Selle avaldisega asendatakse paindemomentide väärtused (oma märkidega) ja pinge arvutamise punkti koordinaadid.

Lõigu ohtlike punktide määramiseks on vaja määrata null- või nulljoone asukoht (lõigu punktide geomeetriline asukoht, kus pinged σ = 0). Maksimaalsed pinged tekivad nulljoonest kõige kaugemal asuvates punktides.

Nulljoone võrrand saadakse võrrandist (1), kui =0:

millest järeldub, et nulljoon läbib ristlõike raskuskeskme.

Tala lõikudes (Q x ≠0 ja Q y ≠0) tekkivad tangentsiaalsed pinged võib reeglina tähelepanuta jätta. Kui on vaja need määrata, arvutatakse esmalt D.Ya. Zhuravsky valemi järgi kogu nihkepinge τ x ja τ y komponendid ning seejärel liidetakse viimased geomeetriliselt:

Tala tugevuse hindamiseks on vaja määrata maksimum normaalne stress. Kuna enimkoormatud punktides on pingeolek üheteljeline, võtab tugevustingimus lubatud pinge meetodil arvutamisel kuju

Plastmaterjalide jaoks,

Õrnade materjalide jaoks,

n - ohutustegur.

Kui arvutate meetodi abil piirseisundid, siis on tugevustingimus järgmine:

kus R on arvutuslik takistus,

m – töötingimuste koefitsient.

Juhtudel, kui tala materjalil on erinev tõmbe- ja survekindlus, tuleb määrata nii maksimaalne tõmbe- kui ka maksimaalne survepinge ning seostest tehakse järeldus tala tugevuse kohta:

kus R p ja R c on vastavalt materjali arvutatud tõmbe- ja survetakistus.

Tala läbipainete määramiseks on mugav esmalt leida lõigu nihked põhitasanditel x- ja y-telgede suunas.

Nende nihete ƒ x ja ƒ y saab arvutada, konstrueerides tala kõvera telje jaoks universaalse võrrandi või kasutades energiameetodeid.

Kogu läbipainde võib leida geomeetrilise summana:

tala jäikuse tingimusel on järgmine kuju:

kus - on tala lubatud läbipaine.

Ekstsentriline kompressioon

Sel juhul on tala survejõud P suunatud paralleelselt tala teljega ja rakendatakse punktis, mis ei lange kokku lõigu raskuskeskmega. Olgu X p ja Y p jõu P rakenduspunkti koordinaadid, mõõdetuna peamiste kesktelgede suhtes (joonis 2).

Efektiivne koormus põhjustab ristlõigetes järgmiste sisejõutegurite ilmnemise: N= -P, Mx= -Py p, My=-Px p

Paindemomentide märgid on negatiivsed, kuna viimased põhjustavad kokkusurumist esimesse veerandisse kuuluvates punktides. Pinge lõigu suvalises punktis määratakse avaldise abil

(9)

Asendades N, Mx ja Mu väärtused, saame

(10)

Kuna Ух= F, Уу= F (kus i x ja i y on peamised inertsiraadiused), siis viimane väljend võib meelde tuletada

(11)

Nulljoone võrrandi saame seadistusega =0

1+ (12)

Koordinaatide telgedel olevad lõigud ja nulljoonega ära lõigatud on väljendatud kujul järgmisel viisil:

Sõltuvuste (13) abil saate hõlpsalt leida nulljoone asukoha lõigul (joonis 3), mille järel määratakse sellest sirgest kõige kaugemad punktid, mis on ohtlikud, kuna neis tekivad maksimaalsed pinged.

Pingeseisund lõike punktides on üheteljeline, seetõttu on tala tugevuse tingimus sarnane eelnevalt vaadeldud tala kaldus painutamise juhtumiga - valemid (5), (6).

Talade ekstsentrilisel kokkusurumisel, mille materjal talub nõrgalt pinget, on soovitav vältida tõmbepingete tekkimist ristlõikes. Sama märgiga pinged tekivad lõigul, kui nulljoon läbib lõigust välja või äärmisel juhul puudutab seda.

See tingimus on täidetud, kui survejõudu rakendatakse piirkonnas, mida nimetatakse sektsiooni südamikuks. Lõigu südamik on ala, mis katab lõigu raskuskeskme ja mida iseloomustab asjaolu, et selle tsooni sees rakendatav pikisuunaline jõud põhjustab tala kõigis punktides sama märgiga pingeid.

Lõigu südamiku konstrueerimiseks on vaja seada nulljoone asukoht nii, et see puudutaks lõiku, ilma et see kuhugi lõikuks, ja leida vastav jõu P rakenduspunkt. Joonistades puutepere osa, saame neile vastava pooluste komplekti, mille geomeetriline asukoht annab südamiku sektsioonide kontuuri (kontuuri).

Olgu näiteks antud joonisel fig. 4, peamiste kesktelgedega x ja y.

Lõike südamiku konstrueerimiseks esitame viis puutujat, millest neli langevad kokku külgedega AB, DE, EF ja FA ning viies ühendab punkte B ja D. Mõõtmisel või lõikest arvutades, lõigatakse ära näidatud poolt puutujad I-I, . . . ., 5-5 telgedel x, y ja asendades need väärtused sõltuvuses (13), määrame viie pooluse 1, 2....5 koordinaadid x p, y p, mis vastavad viiele positsioonile. null rida. Puutujat I-I saab nihutada asendisse 2-2, pöörates ümber punkti A, samal ajal kui poolus I peab liikuma sirgjooneliselt ja puutuja pööramise tulemusena liikuma punkti 2. Järelikult kõik poolused vastavad punkti A vahepositsioonidele. puutuja I-I ja 2-2 vahel paikneb sirgel 1-2. Samamoodi saab tõestada, et ka sektsiooni südamiku ülejäänud küljed saavad olema ristkülikukujulised, s.t. lõigu südamik on hulknurk, mille ehitamiseks piisab pooluste 1, 2, ... 5 ühendamisest sirgjoontega.

Painutamine ümmarguse tala torsiooniga.

Tala ristlõikes väändega painutamisel ei võrdu üldjuhul viis sisejõutegurit nulliga: M x, M y, M k, Q x ja Q y. Kuid enamikul juhtudel võib nihkejõudude Q x ja Q y mõju tähelepanuta jätta, kui sektsioon ei ole õhukeseseinaline.

Normaalpingeid ristlõikes saab määrata tekkiva paindemomendi suuruse järgi

sest neutraaltelg on risti momendi M u toimeõõnsusega.

Joonisel fig. Joonisel 5 on näidatud paindemomendid M x ja M y vektorite kujul (suunad M x ja M y on valitud positiivsed, st sellised, et esimese kvadrandi punktides on pingelõiked tõmbejõulised).

Vektorite M x ja M y suund on valitud selliselt, et vaatleja vektori otsast vaadates näeks neid suunatud vastupäeva. Sel juhul kattub neutraaljoon tekkiva momendivektori M u suunaga ning lõigu A ja B enimkoormatud punktid asuvad selle hetke toimetasandil.

Kõige sagedamini võetakse võllide arvutamisel arvesse ümmarguse ristlõikega talade painde ja väände kombinatsiooni. Palju vähem levinud on talade väändumisega painutamise juhud. ümmargune lõik.

Paragrahvis 1.9 on sätestatud, et juhul, kui lõigu inertsmomendid peatelgede suhtes on üksteisega võrdsed, on tala kaldus painutamine võimatu. Sellega seoses on ümarate talade kaldus painutamine võimatu. Seetõttu kogeb ümmargune tala välisjõudude üldisel korral järgmiste deformatsioonitüüpide kombinatsiooni: otsene põiksuunaline painutamine, vääne ja tsentraalne pinge (või kokkusurumine).

Mõelgem sellele erijuhtumümartala arvutamine, kui pikisuunaline jõud selle ristlõigetes on null. Sel juhul töötab tala painde ja väände koosmõjul. Tala ohtliku punkti leidmiseks on vaja kindlaks teha, kuidas painde- ja pöördemomendi väärtused tala pikkuses muutuvad, st koostada skeemid paindemomentide M ja pöördemomentide summaarse kohta. Vaatleme konstruktsiooni nendest diagrammidest aadressil konkreetne näide joonisel fig. 22.9, a. Võll toetub laagritele A ja B ning seda veab mootor C.

Võllile on paigaldatud rihmarattad E ja F, mille kaudu visatakse pingega veorihmad. Oletame, et võll pöörleb laagrites ilma hõõrdeta; jätame tähelepanuta võlli ja rihmarataste omaraskuse (juhul, kui nende enda kaal on oluline, tuleks seda arvesse võtta). Suuname võlli ristlõike telje vertikaalselt ja telje horisontaalselt.

Jõudude suurused saab määrata valemite (1.6) ja (2.6) abil, kui on teada näiteks iga rihmaratta poolt edastatav võimsus, võlli nurkkiirus ja suhted. need jõud kanduvad üksteisega paralleelselt võlli pikiteljele. Sel juhul rakendatakse võllile väändemomente neis sektsioonides, milles asuvad vastavalt rihmarattad E ja F. Need momendid on tasakaalustatud mootorilt ülekantava momendiga (joonis 22.9, b). Seejärel jagatakse jõud vertikaalseks ja horisontaalseks komponendiks. Vertikaalsed jõud põhjustavad laagrites vertikaalseid reaktsioone ja horisontaaljõud horisontaalsed reaktsioonid, mille suurused määratakse nagu kahel toel lamaval talal.

Vertikaalses tasapinnas mõjuvate paindemomentide diagramm on konstrueeritud vertikaaljõududest (joon. 22.9, c). See on näidatud joonisel fig. 22.9, d Samamoodi koostatakse horisontaaljõududest (joonis 22.9, e) horisontaaltasandil mõjuvate paindemomentide diagramm (joonis 22.9, f).

Diagrammidelt saate valemi abil määrata (mis tahes ristlõikes) kogu paindemomendi M

Kasutades selle valemi abil saadud M väärtusi, koostatakse kogu paindemomentide diagramm (joonis 22.9, g). Nendes võlli lõikudes, kus sirged piiravad diagrammid lõikuvad diagrammide telgedega samal vertikaalil asuvates punktides, on diagramm M piiratud sirgjoontega ja teistes piirkondades kõveratega.

(vaata skannimist)

Näiteks kõnealusel võlli lõigul on diagrammi M pikkus piiratud sirgjoonega (joonis 22.9, g), kuna selles jaotises olevad diagrammid on piiratud sirgjoonte ja diagrammide telgedega lõikuvate joontega. punktides, mis asuvad samal vertikaalil.

Sirge ja diagrammi telje lõikepunkti punkt O asub samal vertikaalil. Sarnane olukord on tüüpiline pikkusega võlliosa jaoks

Summaarsete (kokku) paindemomentide M diagramm iseloomustab nende momentide suurust igas võlli sektsioonis. Nende momentide toimetasandid võlli erinevates osades on erinevad, kuid diagrammi ordinaadid on kõigi sektsioonide jaoks tinglikult joondatud joonise tasapinnaga.

Pöördemomendi diagramm on üles ehitatud samamoodi nagu puhta torsiooni puhul (vt § 1.6). Kõnealuse võlli puhul on see näidatud joonisel fig. 22,9, z.

Võlli ohtlik lõik määratakse summaarsete paindemomentide M ja pöördemomentide diagrammide abil.Kui konstantse läbimõõduga tala suurima paindemomendiga M lõigul toimib ka suurim pöördemoment, siis see lõik on ohtlik. Eelkõige on vaadeldaval võllil selline sektsioon, mis asub rihmarattast F paremal, sellest lõpmatult väikesel kaugusel.

Kui maksimaalne paindemoment M ja maksimaalne pöördemoment toimivad erinevates ristlõigetes, siis võib ohtlikuks osutuda lõik, mille väärtus ei ole suurim. Muutuva läbimõõduga talade puhul võib kõige ohtlikumaks osutuda see lõik, kus mõjuvad oluliselt väiksemad painde- ja väändemomendid kui teistes lõikudes.

Juhtudel, kui skeemidelt M ei ole võimalik ohtlikku lõiku otse määrata ja on vaja kontrollida tala tugevust mitmel selle lõigul ning tuvastada sel viisil ohtlikud pinged.

Kui tala ohtlik lõik on tuvastatud (või on tuvastatud mitu lõiku, millest üks võib osutuda ohtlikuks), on vaja leida selles ohtlikud punktid. Selleks võtame arvesse pingeid, mis tekivad tala ristlõikes, kui selles mõjuvad samaaegselt paindemoment M ja pöördemoment

Ümmarguse ristlõikega talades, mille pikkus on mitu korda suurem läbimõõdust, on põikjõust tulenevate suurimate tangentsiaalsete pingete väärtused väikesed ja neid ei võeta kombineeritud toimel talade tugevuse arvutamisel arvesse. paindumisest ja väändest.

Joonisel fig. Joonisel 23.9 on kujutatud ümmarguse tala ristlõige. Selles lõigus toimivad paindemoment M ja pöördemoment. Telg y on võetud paindemomendi toimetasandiga risti y-telg on seega lõigu neutraaltelg.

Tala ristlõikes tekivad normaalpinged paindumisest ja nihkepinged väändest.

Normaalpinged a määratakse valemiga Nende pingete diagramm on näidatud joonisel fig. 23.9. Suurimad absoluutväärtuses normaalpinged esinevad punktides A ja B. Need pinged on võrdsed

kus on tala ristlõike aksiaalne takistusmoment.

Tangentsiaalsed pinged määratakse valemiga Nende pingete diagramm on näidatud joonisel fig. 23.9.

Lõigu igas punktis on need suunatud raadiuse suhtes, mis ühendab seda punkti lõigu keskpunktiga. Suurimad nihkepinged tekivad punktides, mis asuvad piki lõigu perimeetrit; nad on võrdsed

kus on tala ristlõike polaartakistusmoment.

Plastmaterjali puhul ristlõike punktid A ja B, milleni ulatuvad samaaegselt nii normaal- kui ka nihkepinged kõrgeim väärtus, on ohtlikud. Hapra materjali puhul on ohtlik punkt, kus paindemomendist M tekivad tõmbepinged.

Punkti A läheduses isoleeritud elementaarse rööptahuka pingeseisund on näidatud joonisel fig. 24.9, a. Mööda rööptahuka tahkusid, mis langevad kokku tala ristlõigetega, toimivad normaalpinged ja tangentsiaalsed pinged. Tangentsiaalsete pingete paaristumise seadusest lähtudes tekivad pinged ka rööptahuka ülemisel ja alumisel küljel. Selle ülejäänud kaks nägu on stressivabad. Seega on antud juhul olemas privaatne vaade tasapinnaline pingeseisund, mida on üksikasjalikult käsitletud peatükis. 3. Peamised pinged amax ja määratakse valemitega (12.3).

Pärast väärtuste asendamist neisse saame

Pingetel on erinevad märgid ning seetõttu

Elementaarne rööptahukas, mis on punkti A läheduses põhialade poolt esile tõstetud, on näidatud joonisel fig. 24,9, sünd.

Talade tugevuse arvutamine väändega painutamisel, nagu juba märgitud (vt § 1.9 algust), viiakse läbi tugevusteooriate abil. Sel juhul tehakse plastmaterjalidest talade arvutamine tavaliselt kolmanda või neljanda tugevusteooria alusel ja rabedatest - vastavalt Mohri teooriale.

Kolmanda tugevusteooria järgi [vt. valem (6.8)], asendades avaldised selle võrratusega [vt. valem (23.9)], saame

Painde ja väände mõjul ümartala arvutamisel (joonis 34.3) on vaja arvestada normaal- ja tangentsiaalseid pingeid, kuna maksimaalsed pingeväärtused esinevad mõlemal juhul pinnal. Arvutamine tuleks läbi viia vastavalt tugevusteooriale, asendades keerulise pingeseisundi sama ohtliku lihtsaga.

Maksimaalne väändepinge sektsioonis

Maksimaalne paindepinge sektsioonis

Ühe tugevusteooria järgi arvutatakse sõltuvalt tala materjalist ekvivalentpinge ohtlik lõik ja kontrollige tala tugevust, kasutades tala materjali lubatud paindepinget.

Ümmarguse tala ristlõike takistusmomendid on järgmised:

Kolmanda tugevusteooria ehk maksimaalse nihkepinge teooria järgi arvutamisel arvutatakse ekvivalentpinge valemi abil

Teooria on rakendatav plastmaterjalide puhul.

Kujumuutuse energia teooria järgi arvutamisel arvutatakse ekvivalentpinge valemi abil

Teooria on rakendatav plastiliste ja rabedate materjalide puhul.

Samaväärne pinge arvutamisel vastavalt kuju muutmise energia teooria:

kus on samaväärne hetk.

Tugevuse seisund

Näited probleemide lahendamisest

Näide 1. Antud pingeseisundi jaoks (joonis 34.4) arvutada maksimaalsete tangentsiaalsete pingete hüpoteesi kasutades ohutustegur, kui σ T = 360 N/mm 2.

1. Kuidas iseloomustatakse pingeseisundit punktis ja kuidas seda kujutatakse?

2. Milliseid piirkondi ja milliseid pingeid nimetatakse põhilisteks?

3. Loetlege pingeliste seisundite tüübid.

4. Mis iseloomustab deformeerunud olekut punktis?

5. Millistel juhtudel tekivad plastilistes ja rabedates materjalides piiravad pingeseisundid?

6. Mis on ekvivalentpinge?

7. Selgitage tugevusteooriate eesmärki.

8. Kirjutage valemid ekvivalentsete pingete arvutamiseks arvutustes, kasutades maksimaalsete tangentsiaalsete pingete teooriat ja kujumuutuse energia teooriat. Selgitage, kuidas neid kasutada.

LOENG 35

Teema 2.7. Põhideformatsioonide kombinatsiooniga ümara ristlõikega tala arvutamine

Teadma ekvivalentsete pingete valemeid, tuginedes suurimate tangentsiaalsete pingete ja kuju muutumise energia hüpoteesidele.

Oskab arvutada ümara ristlõikega tala tugevust põhideformatsioonide kombinatsiooni korral.

Valemid ekvivalentsete pingete arvutamiseks

Ekvivalentpinge maksimaalse nihkepinge hüpoteesi järgi

Ekvivalentne pinge vastavalt kujumuutuse energia hüpoteesile

Tugevusseisund painde ja väände koosmõjul

Kus M EKV- samaväärne hetk.

Ekvivalentmoment maksimaalsete tangentsiaalsete pingete hüpoteesi järgi

Ekvivalentmoment vastavalt kujumuutuse energia hüpoteesile

Võlli arvutamise funktsioon

Enamikul võllidel on painde- ja väändedeformatsiooni kombinatsioon. Tavaliselt on võllid ümmarguse või rõngakujulise ristlõikega sirged vardad. Võllide arvutamisel toimingust tulenevad tangentsiaalsed pinged nihkejõud neid ei võeta nende ebaolulisuse tõttu arvesse.

Arvutused tehakse ohtlike ristlõigete kohta. Võlli ruumilisel koormamisel kasutatakse jõudude toime sõltumatuse hüpoteesi ja paindemomente vaadeldakse kahel vastastikku risti asetseval tasapinnal ning kogu paindemoment määratakse geomeetrilise liitmise teel.

Näited probleemide lahendamisest

Näide 1.Ümartala ohtlikus ristlõikes tekivad sisemised jõutegurid (joon. 35.1) M x; M y; Mz.

M x Ja minu a- paindemomendid tasapindades ooh Ja zOx vastavalt; Mz- pöördemoment. Kontrollige tugevust maksimaalsete tangentsiaalsete pingete hüpoteesi abil, kui [ σ ] = 120 MPa. Algandmed: M x= 0,9 kN m; M a = 0,8 kN m; M z = 2,2 kN*m; d= 60 mm.

Lahendus

Paindemomentide toimest telgede suhtes koostame normaalpingete diagrammid Oh Ja OU ja väändest tingitud nihkepingete diagramm (joon. 35.2).

Maksimaalne nihkepinge tekib pinnal. Maksimaalsed normaalsed pinged hetkest M x mingis punktis tekkida A, maksimaalsed normaalsed pinged hetkest minu a punktis IN. Tavalised pinged liidetakse, kuna paindemomendid vastastikku risti asetsevates tasapindades liidetakse geomeetriliselt.

Kogu paindemoment:

Arvutame ekvivalentmomendi maksimaalsete tangentsiaalsete pingete teooria abil:

Tugevuse seisund:

Läbilõikeline takistusmoment: W oce in oe = 0,1 60 3 = 21600 mm 3.

Tugevuse kontrollimine:

Vastupidavus on garanteeritud.

Näide 2. Tugevuse tingimuse põhjal arvutage vajalik võlli läbimõõt. Võllile on paigaldatud kaks ratast. Ratastele mõjuvad kaks ringjõudu F t 1 = 1,2 kN; F t 2= 2kN ja kaks radiaaljõudu vertikaaltasandil F r 1= 0,43 kN; F r 2 = 0,72 kN (joonis 35.3). Ratta läbimõõdud on vastavalt võrdsed d 1= 0,1 m; d 2= 0,06 m.

Nõustu võlli materjali jaoks [ σ ] = 50 MPa.

Arvutamine toimub maksimaalsete tangentsiaalsete pingete hüpoteesi järgi. Jäta tähelepanuta võlli ja rataste kaal.

Lahendus

Märge. Kasutame jõudude iseseisva toime põhimõtet ja koostame võlli projekteerimisskeemid vertikaal- ja horisontaaltasandil. Reaktsioonid tugedes määrame horisontaal- ja vertikaaltasandil eraldi. Konstrueerime paindemomentide diagrammid (joon. 35.4). Ümbermõõdu jõudude mõjul võll keerdub. Määrake võllile mõjuv pöördemoment.

Koostame võlli projekteerimisskeemi (joonis 35.4).

1. Võlli pöördemoment:

2. Vaatleme painutust kahes tasapinnas: horisontaalne (pl. H) ja vertikaalne (pl. V).

Horisontaaltasandil määrame reaktsioonid toes:

KOOS Ja IN:

Vertikaalsel tasapinnal määrame reaktsioonid toes:

Määrake paindemomendid punktides C ja B:

Kokku paindemomendid punktides C ja B:

Punktis IN maksimaalne paindemoment, siin toimib ka pöördemoment.

Võlli läbimõõdu arvutame enim koormatud sektsiooni järgi.

3. Ekvivalent hetk punktis IN kolmanda tugevusteooria järgi

4. Määrake tugevustingimuse põhjal ringikujulise ristlõikega võlli läbimõõt

Ümardame saadud väärtuse: d= 36 mm.

Märge. Võlli läbimõõtude valimisel kasutage standardset läbimõõtude vahemikku (lisa 2).

5. Määrake rõngakujulise ristlõikega võlli nõutavad mõõtmed, kui c = 0,8, kus d on võlli välisläbimõõt.

Rõngakujulise võlli läbimõõtu saab määrata valemiga

Võtame vastu d = 42 mm.

Ülekoormus on ebaoluline. d BH = 0,8d = 0,8 42 = 33,6 mm.

Ümarda väärtuseni dBH= 33 mm.

6. Võrdleme mõlemal juhul metallikulusid võlli ristlõike pindala järgi.

Tahke võlli ristlõikepindala

Õõnesvõlli ristlõikepindala

Tahke võlli ristlõikepindala on peaaegu kaks korda suurem kui rõngakujulise võlli ristlõikepindala:

Näide 3. Määrake võlli ristlõike mõõtmed (joon. 2.70, A) juhtajam. Pedaali tõmbejõud P 3, mehhanismi poolt ülekantavad jõud P 1, P 2, P 4. Võlli materjal - StZ teras voolavuspiiriga σ t = 240 N/mm 2, nõutav ohutustegur [ n] = 2,5. Arvutamisel kasutatakse kujumuutuse energia hüpoteesi.

Lahendus

Vaatleme võlli tasakaalu, olles eelnevalt sisestanud jõud R1, R2, R3, R4 selle teljel asuvatesse punktidesse.

Jõu ülekandmine P 1 punktides iseendaga paralleelselt TO Ja E, on vaja liita jõudude paarid, mille momendid on võrdsed jõudude momentidega P 1 punktide suhtes TO Ja E, st.

Need jõudude paarid (momendid) on tavapäraselt näidatud joonisel fig. 2.70 , b nooltega kaarekujuliste joonte kujul. Samamoodi jõudude ülekandmisel R2, R3, R4 punktideni K, E, L, H vaja lisada paar jõudu momentidega

Joonisel fig. näidatud võlli toed. 2.70, a tuleks käsitleda ruumiliste hingetugedena, mis takistavad liikumist telgede suunas X Ja juures(valitud koordinaatsüsteem on näidatud joonisel 2.70, b).

Kasutades joonisel fig. 2,70, V, loome tasakaaluvõrrandid:

seega toetusreaktsioonid PEAL Ja N Võigesti määratletud.

Pöördemomendi diagrammid M z ja paindemomendid minu a on esitatud joonisel fig. 2,70, G. Ohtlik lõik on punktist L vasakul.

Tugevuse tingimusel on järgmine vorm:

kus on ekvivalentmoment vastavalt kujumuutuse energia hüpoteesile

Nõutav võlli välisläbimõõt

Võtame d = 45 mm, siis d 0 = 0,8 * 45 = 36 mm.

Näide 4. Kontrollige võlli vahevõlli (joonis 2.71) tugevust, kui võll edastab jõudu N= 12,2 kW kiirusel P= 355 pööret minutis. Võll on valmistatud voolavuspiiriga terasest St5 σ t = 280 N/mm2. Nõutav ohutustegur [ n] = 4. Arvutamisel rakenda suurimate tangentsiaalsete pingete hüpoteesi.

Märge. Piirkonna jõupingutused P 1 Ja R 2 asetsevad horisontaaltasapinnal ja on suunatud tangentsiaalselt hammasrataste ringidele. Radiaalsed jõud T 1 Ja T 2 asuvad vertikaaltasapinnal ja on väljendatud vastava ümbermõõdu jõuna järgmiselt: T = 0,364R.

Lahendus

Joonisel fig. 2,71, A esitatakse võlli skemaatiline joonis; joonisel fig. 2.71, b näitab võlli ja ülekandes tekkivate jõudude diagrammi.

Määrame võlli edastatud momendi:

Ilmselgelt m = m 1 = m 2(võllile rakendatavad väändemomendid ühtlase pöörlemise korral on suuruselt võrdsed ja vastassuunalised).

Määrame hammasratastele mõjuvad jõud.

Ümbermõõdu jõud:

Radiaalsed jõud:

Võtke arvesse võlli tasakaalu AB, olles varem toonud jõude P 1 Ja R 2 võlli teljel asuvatesse punktidesse.

Jõu ülekandmine P 1 paralleelselt iseendaga punktini L, peate lisama paar jõudu, mille moment on võrdne jõumomendiga P 1 punkti suhtes L, st.

See jõudude paar (moment) on tavapäraselt näidatud joonisel fig. 2,71, V noolega kaarekujulise joonena. Samamoodi jõu ülekandmisel R 2 täpselt TO pead hetkega paar jõudu külge kinnitama (lisama).

Joonisel fig. näidatud võlli toed. 2,71, A, tuleks käsitleda ruumiliste hingetugedena, mis takistavad lineaarset liikumist telgede suundades X Ja juures(valitud koordinaatsüsteem on näidatud joonisel 2.71, b).

Kasutades joonisel fig. 2,71, G, loome võlli tasakaaluvõrrandid vertikaaltasandil:

Loome kinnitusvõrrandi:

seetõttu on vertikaaltasandil toereaktsioonid õigesti määratud.

Mõelge võlli tasakaalule horisontaaltasandil:

Loome kinnitusvõrrandi:

seetõttu on toereaktsioonid horisontaaltasandil õigesti määratud.

Pöördemomendi diagrammid M z ja paindemomendid M x Ja minu a on esitatud joonisel fig. 2,71, d.

Lõik on ohtlik TO(vt joonis 2.71, G,d). Ekvivalentmoment vastavalt suurimate tangentsiaalsete pingete hüpoteesile

Ekvivalent pinge vastavalt võlli ohtliku punkti suurimate tangentsiaalsete pingete hüpoteesile

Ohutusfaktor

mis on oluliselt rohkem [ n] = 4, seega on võlli tugevus tagatud.

Võlli tugevuse arvutamisel ei võetud arvesse pinge muutumist ajas, mistõttu saadi nii oluline ohutustegur.

Näide 5. Määrake tala ristlõike mõõtmed (joonis 2.72, A). Tala materjaliks on teras 30XGS tinglike voolavuspiiridega pinges ja surves σ o, 2р = σ tr = 850 N/mm 2, σ 0,2 c = σ Tc = 965 N/mm 2. Ohutustegur [ n] = 1,6.

Lahendus

Tala töötab pinge (surve) ja väände koosmõjul. Sellise koormuse korral tekib ristlõigetes kaks sisemist jõutegurit: pikisuunaline jõud ja pöördemoment.

Pikisuunaliste jõudude skeemid N ja pöördemomendid Mz näidatud joonisel fig. 2,72, b, c. Sel juhul määrake diagrammide abil ohtliku lõigu asukoht N Ja Mz võimatu, kuna tala sektsioonide ristlõike mõõtmed on erinevad. Ohtliku lõigu asukoha määramiseks tuleks koostada graafikud normaalsete ja maksimaalsete nihkepingete kohta tala pikkuses.

Vastavalt valemile

arvutame normaalpinged tala ristlõigetes ja koostame diagrammi o (joon. 2.72, G).

Vastavalt valemile

Arvutame maksimaalsed tangentsiaalsed pinged tala ristlõigetes ja koostame diagrammi t tah(Joonis* 2.72, d).

Võimalikud ohtlikud punktid on sektsioonide ristlõigete kontuurpunktid AB Ja CD(vt joonis 2.72, A).

Joonisel fig. 2,72, e diagrammid on näidatud σ Ja τ sektsioonide ristlõigete jaoks AB.

Meenutagem, et antud juhul (ümmarguse ristlõikega tala töötab pinge, surve ja väände koosmõjul) on kõik ristlõike kontuuri punktid võrdselt ohtlikud.

Joonisel fig. 2,72, ja

Joonisel fig. 2,72, h Diagrammid a ja t on näidatud lõike ristlõigete jaoks CD.

Joonisel fig. 2,72, Ja on näidatud pinged algsetes kohtades ohtlikus punktis.

Peamised pinged lõigu ohtlikus punktis CD:

Mohri tugevushüpoteesi kohaselt on vaadeldava lõigu ohtliku punkti ekvivalentpinge

Ohtlikuks osutusid lõigu AB ristlõigete kontuurpunktid.

Tugevuse tingimusel on järgmine vorm:

Näide 2.76. Määrake lubatud jõu väärtus R varda tugevuse seisundist Päike(Joon. 2.73).Varda materjaliks on malm tõmbetugevusega σ vr = 150 N/mm 2 ja survetugevusega σ päike = 450 N/mm 2. Nõutav ohutustegur [ n] = 5.

Märge. Lõhutud puit ABC asub horisontaaltasapinnal ja varras AB suhtes risti Päike. Võimud R, 2R, 8R asetsema vertikaalsel tasapinnal; tugevus 0,5 R, 1,6 R- horisontaalne ja vardaga risti Päike; tugevus 10R, 16R langevad kokku varda teljega Päike; jõupaar momendiga m = 25Pd asub varda teljega risti asetseval vertikaaltasandil Päike.

Lahendus

Toome jõudu R ja 0,5P ristlõike B raskuskeskme suhtes.

Endaga paralleelse jõu P ülekandmisel punkti B, peate lisama paar jõudu, mille moment on võrdne jõumomendiga R punkti suhtes IN, st paar, mille moment m 1 = 10 Pd.

Tugevus 0,5R liigume mööda selle tegevusjoont punkti B.

Vardale mõjuvad koormused päike, näidatud joonisel fig. 2,74, A.

Konstrueerime varda sisejõutegurite diagrammid Päike. Varda määratud koormuse korral tekib selle ristlõigetes kuus neist: pikisuunaline jõud N, nihkejõud Qx Ja Qy, pöördemoment Mz paindemomendid Mx Ja Mu.

Diagrammid N, Mz, Mx, Mu on esitatud joonisel fig. 2,74, b(diagrammide ordinaadid on väljendatud R Ja d).

Diagrammid Qy Ja Qx me ei ehita, kuna põikjõududele vastavad tangentsiaalsed pinged on väikesed.

Vaadeldavas näites ei ole ohtliku lõigu asukoht ilmselge. Eeldatavasti lõik K (lõigu lõpp I) ja S.

Mohri tugevuse hüpoteesi kohaselt on punkti L ekvivalentpinge

Määrake paindemomendi Mie suurus ja toimetasand lõikes C, mis on näidatud eraldi joonisel fig. 2,74, d. Samal joonisel on diagrammid σ И, σ N, τ jaotise C jaoks.

Rõhutab algsetel saitidel punktis N(Joonis 2.74, e)

Peamised pinged punktis N:

Vastavalt Mohri tugevushüpoteesile punkti ekvivalentpinge N

Rõhud algsetes kohtades punktis E (joonis 2.74, ja):

Peamised pinged punktis E:

Mohri tugevushüpoteesi kohaselt on punkti E ekvivalentpinge

Punkt osutus ohtlikuks L, mille jaoks

Tugevuse tingimusel on järgmine vorm:

Testi küsimused ja ülesanded

1. Milline pingeseisund tekib võlli ristlõikes painde ja väände koosmõjul?

2. Kirjutage võlli arvutamise tugevustingimus.

3. Kirjutage valemid ekvivalentmomendi arvutamiseks maksimaalsete tangentsiaalsete pingete hüpoteesi ja kujumuutuse energia hüpoteesi järgi arvutamisel.

4. Kuidas valitakse võlli arvutamisel ohtlik lõik?

Ruumiline painutamine Seda tüüpi komplekstakistust nimetatakse, milles ainult paindemomendid ja
. Täielik paindemoment ei toimi ühelgi inertsi põhitasandil. Pikisuunalist jõudu pole. Sageli nimetatakse ruumilist või kompleksset painutamist mittetasapinnaline painutus, kuna varda kõver telg ei ole tasane kõver. Seda paindet põhjustavad tala teljega risti erinevates tasapindades mõjuvad jõud (joon. 12.4).

Järgides ülaltoodud keeruka takistusega probleemide lahendamise järjekorda, paneme paika joonisel fig. 12.4, kaheks nii, et igaüks neist toimib ühel põhitasanditest. Selle tulemusena saame kaks korter põiki painutamine– vertikaal- ja horisontaaltasandil. Neljast sisejõutegurist, mis tekivad tala ristlõikes
, võtame arvesse ainult paindemomentide mõju
. Koostame diagramme
, mis on põhjustatud vastavalt jõudude poolt
(Joon.12.4).

Paindemomentide diagramme analüüsides jõuame järeldusele, et lõik A on ohtlik, kuna just selles osas tekivad suurimad paindemomendid
Ja
. Nüüd on vaja määrata lõigu A ohtlikud punktid. Selleks konstrueerime nulljoone. Võttes arvesse selles võrrandis sisalduvate terminite märgireeglit, on nulljoone võrrandil järgmine kuju:

. (12.7)

Siin on märk “” kasutusele võetud võrrandi teise liikme lähedal, kuna esimese kvartali pinged on põhjustatud hetkest
, on negatiivne.

Määrame nulljoone kaldenurga positiivse telje suunaga (Joonis 12.6):

. (12.8)

Võrrandist (12.7) järeldub, et ruumilise painde nulljoon on sirgjoon ja läbib lõigu raskuskeskme.

Jooniselt 12.5 on näha, et suurimad pinged tekivad nulljoonest kõige kaugemal asuvates lõikude nr 2 ja 4 punktides. Normaalpinged nendes punktides on suuruselt samad, kuid erineva märgiga: punktis nr 4 on pinged positiivsed, s.t. tõmbejõud, punktis nr 2 – negatiivne, s.o. kokkusurutav. Nende pingete tunnused tehti kindlaks füüsiliste kaalutluste põhjal.

Nüüd, kui ohtlikud punktid on kindlaks tehtud, arvutame jaotises A maksimaalsed pinged ja kontrollime tala tugevust avaldise abil:

. (12.9)

Tugevuse tingimus (12,9) võimaldab mitte ainult kontrollida tala tugevust, vaid ka valida selle ristlõike mõõtmeid, kui ristlõike kuvasuhe on määratud.

12.4. Kaldus painutus

Vildult Seda tüüpi komplekstakistust nimetatakse, mille puhul tala ristlõigetes esinevad ainult paindemomendid
Ja
, kuid erinevalt ruumilisest painutamisest toimivad kõik talale rakendatavad jõud ühel (jõu)tasandil, mis ei lange kokku ühegi inertsi põhitasandiga. Seda tüüpi painutamist kohtab praktikas kõige sagedamini, seega uurime seda üksikasjalikumalt.

Mõelge jõuga koormatud konsooltalale , nagu on näidatud joonisel 12.6, ja valmistatud isotroopsest materjalist.

Nii nagu ruumilise painutamise puhul, puudub ka kaldus painutamisel pikisuunaline jõud. Jätame selle arvutamisel tähelepanuta põikjõudude mõju tala tugevusele.

Joonisel 12.6 näidatud tala konstruktsiooniskeem on näidatud joonisel 12.7.

Murrame võimu vertikaalseks ja horisontaalne komponendid ja igast neist komponentidest koostame paindemomentide diagrammid
Ja
.

Arvutame välja lõigu paindemomendi komponendid :

;
.

Kogu paindemoment lõikes võrdub

Seega saab kogu paindemomendi komponente väljendada kogumomendina järgmiselt:

;
. (12.10)

Avaldisest (12.10) selgub, et kaldpainde ajal ei ole vaja välisjõudude süsteemi komponentideks lagundada, kuna need summaarse paindemomendi komponendid on omavahel ühendatud jõu jälje kaldenurga abil. lennuk . Selle tulemusena ei ole vaja koostada komponentide diagramme
Ja
kogu paindemoment. Piisab, kui joonistada kogu paindemomendi diagramm
jõutasandil ja seejärel avaldise (12.10) abil määrake kogu paindemomendi komponendid meid huvitavas tala mis tahes osas. Saadud järeldus lihtsustab oluliselt kaldpainutamisega seotud ülesannete lahendamist.

Asendame kogu paindemomendi komponentide väärtused (12.10) normaalpingete valemis (12.2)
. Saame:

. (12.11)

Siin asetatakse kogu paindemomendi kõrval olev märk “” spetsiaalselt selleks, et saada vaadeldavas ristlõikepunktis automaatselt õige normaalpinge märk. Kokku paindemoment
ja punkti koordinaadid Ja võetakse koos nende märkidega, eeldusel, et esimeses kvadrandis on punktikoordinaatide märgid võetud positiivseks.

Valem (12.11) saadi ühest otsast kinnitatud ja teisest kontsentreeritud jõuga koormatud tala kaldus painutamise erijuhtu arvesse võttes. See valem on aga üldine valem kaldus painde pingete arvutamiseks.

Ohtlikuks lõiguks, nagu ka ruumilise painde puhul vaadeldaval juhul (joonis 12.6), on lõik A, kuna sellel lõigul tekib suurim paindemoment. Määrame sektsiooni A ohtlikud punktid nulljoone konstrueerimisega. Nulljoone võrrandi saame arvutades valemi (12.11) abil koordinaatidega punkti normaalpinged Ja , mis kuuluvad nulljoonele ja võrdsustavad leitud pinged nulliga. Pärast lihtsaid teisendusi saame:

(12.12)

. (12.13)

Siin nulljoone kaldenurk telje suhtes (joonis 12.8).

Uurides võrrandeid (12.12) ja (12.13), saame teha mõned järeldused nulljoone käitumise kohta kaldus painutamisel:

Jooniselt 12.8 järeldub, et suurimad pinged tekivad nulljoonest kõige kaugemal asuvates ristlõikepunktides. Vaadeldaval juhul on sellisteks punktideks punktid nr 1 ja nr 3. Seega on kaldus painutamise korral tugevustingimus järgmine:

. (12.14)

Siin:
;
.

Kui sektsiooni takistusmomente peamiste inertsitelgede suhtes saab väljendada sektsiooni mõõtmetega, on mugav kasutada tugevustingimust sellisel kujul:

. (12.15)

Sektsioonide valimisel võetakse konsoolist välja üks aksiaalne takistusmoment ja määratakse seosega . Teades
,
ja nurk , määrake väärtused järjestikuste katsetega
Ja , mis rahuldab tugevustingimust

. (12.16)

Asümmeetriliste sektsioonide jaoks, millel ei ole väljaulatuvaid nurki, kasutatakse vormis (12.14) olevat tugevustingimust. Sel juhul tuleb iga uue katsega sektsiooni valida, kõigepealt uuesti leida nulljoone asukoht ja kõige kaugema punkti koordinaadid (
). Ristkülikukujulise sektsiooni jaoks
. Arvestades seost, on tugevustingimusest (12.16) lihtne kogus leida
ja ristlõike mõõtmed.

Vaatleme nihkete määramist kaldpainde ajal. Leiame läbipainde lõigust konsooltala (joon. 12.9). Selleks kujutame tala ühes olekus ja koostame ühe põhitasandi üksikute paindemomentide diagrammi. Määrame sektsioonis kogu läbipainde , olles eelnevalt kindlaks määranud nihkevektori projektsioonid teljel Ja . Kogupaindevektori projektsioon teljele leiame Mohri valemi abil:

Kogupaindevektori projektsioon teljele leiame sarnasel viisil:

Kogu läbipaine määratakse järgmise valemiga:

. (12.19)

Tuleb märkida, et kaldpainutamisel valemites (12.17) ja (12.18) muutuvad koordinaattelgedel läbipainde projektsioonide määramisel ainult integraalimärgi ees olevad konstantsed liikmed. Integraal ise jääb konstantseks. Praktiliste ülesannete lahendamisel arvutame selle integraali Mohr-Simpsoni meetodil. Selleks korrutage ühikudiagramm
lasti jaoks
(joon. 12.9), konstrueeritud jõutasandil ja korrutada saadud tulemus järjestikku vastavalt konstantsete koefitsientidega, Ja . Selle tulemusena saame kogu läbipainde projektsioonid Ja koordinaatide teljel Ja . Avaldised läbipaindeprojektsioonide jaoks üldise koormuse korral, kui tala on krundid näevad välja sellised:

; (12.20)

. (12.21)

Jätame leitud väärtused kõrvale ,Ja (joonis 12.8). Kogu läbipainde vektor on teljega terav nurk , mille väärtused leiate järgmise valemi abil:

, (12.22)

. (12.23)

Võrreldes võrrandit (12.22) nulljoone võrrandiga (12.13), jõuame järeldusele, et

või
,

millest järeldub, et nulljoon ja kogupainde vektor vastastikku risti. Nurk on nurga täiendus kuni 90 0. Seda tingimust saab kasutada kaldpainde probleemide lahendamisel kontrollimiseks:

. (12.24)

Seega on kaldpainde ajal läbipainde suund nulljoonega risti. See tähendab olulist tingimust, et läbipainete suund ei lange kokku mõjuva jõu suunaga(joonis 12.8). Kui koormus on tasapinnaline jõudude süsteem, siis kõvera tala telg asub tasapinnal, mis ei lange kokku jõudude toimetasandiga. Tala kaldub jõutasandi suhtes. See asjaolu oli aluseks asjaolule, et sellist kurvi hakati nimetama kaldus.

Näide 12.1. Määrake nulljoone asukoht (leidke nurk ) joonisel 12.10 näidatud tala ristlõike jaoks.

1. Nurk jõutasandi jälje suhtes joonistame graafiku telje positiivsest suunast . Nurk Võtame seda alati teravalt, kuid märki arvestades. Iga nurka loetakse positiivseks, kui see on õiges koordinaatsüsteemis joonistatud telje positiivsest suunast vastupäeva ja negatiivne, kui nurk on asetatud päripäeva. Sel juhul nurk peetakse negatiivseks (
).

2. Määrake aksiaalsete inertsimomentide suhe:

.

3. Kirjutame kaldpainde nulljoone võrrandi kujul, millest leiame nurga :

;
.

4. Nurk osutus positiivseks, nii et jätsime selle telje positiivsest suunast kõrvale vastupäeva nulljooneni (joonis 12.10).

Näide 12.2. Määrake normaalpinge suurus tala ristlõike punktis A kaldus painutamisel, kui paindemoment
kNm, punkti koordinaadid
cm,
vt Tala ristlõike mõõtmed ja jõutasandi kaldenurk on näidatud joonisel 12.11.

1. Arvutame esmalt välja lõigu inertsmomendid telgede suhtes Ja :

cm 4;
cm 4.

2. Kirjutame valem (12.11) normaalpingete määramiseks ristlõike suvalises punktis kaldpainde ajal. Paindemomendi väärtuse asendamisel valemiga (12.11) tuleb arvestada, et paindemoment vastavalt ülesande tingimustele on positiivne.

7,78 MPa.

Näide 12.3. Määrake joonisel 12.12a näidatud tala ristlõike mõõtmed. Tala materjal – lubatud pingega teras
MPa. Kuvasuhe on täpsustatud
. Jõutasandi koormused ja kaldenurk on näidatud joonisel 12.12c.

1. Ohtliku lõigu asukoha määramiseks konstrueerime paindemomentide diagrammi (joonis 12.12b). Sektsioon A on ohtlik. Maksimaalne paindemoment ohtlikul lõigul
kNm.

2. Lõigu A ohtlik punkt on üks nurgapunktidest. Vormi kirjutame tugevustingimuse

,

Kust me selle leiame, arvestades seda seost
:

3. Määrake ristlõike mõõtmed. Aksiaalne takistusmoment
poolte suhteid arvesse võttes
võrdne:

cm 3, kust

cm;
cm.

Näide 12.4. Tala painutamise tulemusena liikus lõigu raskuskese nurgaga määratud suunas teljega (Joon. 12.13, a). Määrake kaldenurk jõu tasapind. Tala ristlõike kuju ja mõõtmed on näidatud joonisel.

1. Jõutasandi jälje jälje kaldenurga määramiseks Kasutame avaldist (12.22):

, kus
.

Inertsimomentide suhe
(vt näide 12.1). Siis

.

Jätame selle nurga väärtuse kõrvale positiivse telje suunast (joon. 12.13, b). Jõutasandi jälg joonisel 12.13b on näidatud katkendjoonena.

2. Kontrollime saadud lahendust. Selleks nurga leitud väärtusega Määrame nulljoone asukoha. Kasutame avaldist (12.13):

.

Nulljoon on näidatud joonisel 12.13 punktiirjoonena. Nulljoon peab olema läbipaindejoonega risti. Kontrollime seda:

Näide 12.5. Määrake tala summaarne läbipaine lõigus B kaldus painutamisel (joonis 12.14a). Tala materjal – elastsusmooduliga teras
MPa. Jõutasandi ristlõike mõõtmed ja kaldenurk on näidatud joonisel 12.14b.

1. Määrake kogu läbipaindevektori projektsioonid jaotises A Ja . Selleks koostame paindemomentide koormusdiagrammi
(joon. 12.14, c), üksikskeem
(Joon. 12.14, d).

2. Mohr-Simpsoni meetodil korrutame lasti
ja vallaline
paindemomentide diagrammid avaldiste (12.20) ja (12.21) abil:

m
mm.

m
mm.

Lõigu aksiaalsed inertsmomendid
cm 4 ja
Võtame cm 4 näitest 12.1.

3. Määrake sektsiooni B koguläbipaine:

.

Kogu läbipainde projektsioonide leitud väärtused ja täielik läbipainde ise on kantud joonisele (joonis 12.14b). Kuna ülesande lahendamisel osutusid koguläbipainde projektsioonid positiivseks, siis jätsime need kõrvale ühikjõu toimesuunas, s.o. alla ( ) ja vasakule ( ).

5. Lahenduse õigsuse kontrollimiseks määrame nulljoone kaldenurga telje suhtes :

Liidame kokku kogu läbipainde suuna nurkade moodulid Ja :

See tähendab, et täielik läbipaine on nulljoonega risti. Seega sai probleem õigesti lahendatud.