Esimene positiivne tuletis. Funktsiooni tuletis

Tuletise märgi seose näitamine funktsiooni monotoonsuse olemusega.

Olge järgnevas osas äärmiselt ettevaatlik. Vaata, MIS sulle antakse ajakava! Funktsioon või selle tuletis

Antud tuletise graafik, siis meid huvitavad ainult funktsioonimärgid ja nullid. Mingid "kõlad" ja "õõnsused" meid põhimõtteliselt ei huvita!

Ülesanne 1.

Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni graafik. Määrake täisarvu punktide arv, kus funktsiooni tuletis on negatiivne.

Lahendus:

Joonisel on kahaneva funktsiooni alad värviliselt esile tõstetud:

Nendesse kahaneva funktsiooni piirkondadesse langeb 4 täisarvu.

2. ülesanne.

Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni graafik. Leia punktide arv, kus funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne või ühtib joonega.

Lahendus:

Kuna funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne (või langeb kokku) sirgega (või, mis on sama, ), millel on kalle , null, siis puutujal on kalle .

See omakorda tähendab, et puutuja on teljega paralleelne, kuna kalle on puutuja kaldenurga puutuja telje suhtes.

Seetõttu leiame graafikult äärmuspunktid (maksimaalsed ja miinimumpunktid), - just nendes on graafiku puutuja funktsioonid teljega paralleelsed.

Selliseid punkte on 4.

3. ülesanne.

Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni tuletise graafik. Leia punktide arv, kus funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne või ühtib joonega.

Lahendus:

Kuna funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne (või langeb kokku) sirgega, millel on kalle, siis puutujal on kalle.

See omakorda tähendab, et kokkupuutepunktides.

Seetõttu vaatame, kui paljude graafiku punktide ordinaat on võrdne .

Nagu näete, on selliseid punkte neli.

4. ülesanne.

Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni graafik. Leia punktide arv, kus funktsiooni tuletis on 0.

Lahendus:

Ekstreemumipunktides on tuletis null. Meil on neid 4:

5. ülesanne.

Joonisel on kujutatud funktsioonigraafik ja üksteist punkti x-teljel:. Mitmes neist punktidest on funktsiooni tuletis negatiivne?

Lahendus:

Väheneva funktsiooni intervallidel võtab selle tuletis negatiivsed väärtused. Ja funktsioon väheneb punktides. Selliseid punkte on 4.

6. ülesanne.

Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni graafik. Leia funktsiooni äärmuspunktide summa.

Lahendus:

äärmuslikud punktid on maksimumpunktid (-3, -1, 1) ja miinimumpunktid (-2, 0, 3).

Äärmuspunktide summa: -3-1+1-2+0+3=-2.

Ülesanne 7.

Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni tuletise graafik. Leia suureneva funktsiooni intervallid. Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude punktide summa.

Lahendus:

Joonisel on esile tõstetud intervallid, millel funktsiooni tuletis on mittenegatiivne.

Väikesel kasvuvahemikul täisarvu punkte ei ole, kasvuvahemikul on neli täisarvu väärtust: , , ja .

Nende summa:

Ülesanne 8.

Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni tuletise graafik. Leia suureneva funktsiooni intervallid. Oma vastuses kirjutage neist suurima pikkus.

Lahendus:

Joonisel on esile tõstetud kõik intervallid, millel tuletis on positiivne, mis tähendab, et funktsioon ise suureneb nendel intervallidel.

Neist suurima pikkus on 6.

Ülesanne 9.

Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni tuletise graafik. Mis punktis segment teeb kõrgeim väärtus.

Lahendus:

Vaatame, kuidas graafik segmendil käitub, nimelt oleme huvitatud ainult tuletismärk .

Tuletise märk on miinus, kuna sellel lõigul olev graafik on telje all.

Ülesandes B9 on antud funktsiooni või tuletise graafik, millest on vaja määrata üks järgmistest suurustest:

1. tuletise väärtus mingil hetkel x 0,
2. Kõrged või madalad punktid (äärmuslikud punktid),
3. Suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallid (monotoonsuse intervallid).

Selles ülesandes esitatud funktsioonid ja tuletised on alati pidevad, mis lihtsustab oluliselt lahendust. Vaatamata sellele, et ülesanne kuulub matemaatilise analüüsi sektsiooni, on see üsna jõukohane ka kõige nõrgematele õpilastele, kuna puuduvad sügavad teoreetilised teadmised siin ei nõuta.

Tuletise, ekstreemumipunktide ja monotoonsusintervallide väärtuse leidmiseks on lihtsad ja universaalsed algoritmid- neid kõiki käsitletakse allpool.

Lugege hoolikalt ülesande B9 tingimust, et mitte teha rumalaid vigu: mõnikord tuleb ette üsna mahukaid tekste, kuid olulisi tingimusi, mis mõjutavad lahenduse kulgu, on vähe.

Tuletisinstrumendi väärtuse arvutamine. Kahe punkti meetod

Kui ülesandele on antud funktsiooni f(x) graafik, mis puutub seda graafikut mingis punktis x 0 ja selles punktis on vaja leida tuletise väärtus, rakendatakse järgmist algoritmi:

1. Leidke puutujagraafikult kaks "adekvaatset" punkti: nende koordinaadid peavad olema täisarvud. Tähistame need punktid kui A (x 1 ; y 1) ja B (x 2 ; y 2). Kirjutage koordinaadid õigesti välja - see on võtmehetk lahendusi ja mis tahes viga siin viib vale vastuseni.
2. Teades koordinaate, on lihtne arvutada argumendi Δx = x 2 − x 1 juurdekasvu ja funktsiooni Δy = y 2 − y 1 juurdekasvu.
3. Lõpuks leiame tuletise D = Δy/Δx väärtuse. Teisisõnu, peate jagama funktsiooni inkrementi argumendi juurdekasvuga - ja see on vastus.

Veel kord märgime: punkte A ja B tuleb otsida täpselt puutujalt, mitte aga funktsiooni f(x) graafikult, nagu sageli juhtub. Puutuja peab tingimata sisaldama vähemalt kahte sellist punkti, vastasel juhul on probleem valesti sõnastatud.

Vaatleme punkte A (-3; 2) ja B (-1; 6) ning leidke sammud:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Leiame tuletise väärtuse: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Ülesanne. Joonisel on kujutatud funktsiooni y \u003d f (x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x 0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x 0 .

Vaatleme punkte A (0; 3) ja B (3; 0), leidke sammud:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 = 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Nüüd leiame tuletise väärtuse: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Ülesanne. Joonisel on kujutatud funktsiooni y \u003d f (x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x 0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x 0 .

Vaatleme punkte A (0; 2) ja B (5; 2) ning leidke juurdekasvud:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Jääb üle leida tuletise väärtus: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Alates viimane näide saame sõnastada reegli: kui puutuja on paralleelne teljega OX, on funktsiooni tuletis kokkupuutepunktis võrdne nulliga. Sel juhul ei pea te isegi midagi arvutama – vaadake lihtsalt graafikut.

Kõrgete ja madalate punktide arvutamine

Mõnikord on ülesande B9 funktsiooni graafiku asemel antud tuletisgraaf ja selleks on vaja leida funktsiooni maksimum- või miinimumpunkt. Selle stsenaariumi korral on kahepunkti meetod kasutu, kuid on veel üks, veelgi lihtsam algoritm. Esiteks määratleme terminoloogia:

1. Punkti x 0 nimetatakse funktsiooni f(x) maksimumpunktiks, kui selle punkti mõnes naabruses kehtib järgmine võrratus: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punkti x 0 nimetatakse funktsiooni f(x) miinimumpunktiks, kui selle punkti mõnes naabruses kehtib järgmine võrratus: f(x 0) ≤ f(x).

Tuletise graafiku maksimum- ja miinimumpunktide leidmiseks piisab, kui teha järgmised sammud:

1. Joonistage tuletise graafik ümber, eemaldades kogu mittevajaliku teabe. Nagu praktika näitab, segavad lisaandmed ainult otsust. Seetõttu märgime koordinaatide teljele tuletise nullid – ja ongi kõik.
2. Leia tuletise märgid nullidevahelistel intervallidel. Kui mingi punkti x 0 puhul on teada, et f'(x 0) ≠ 0, siis on võimalikud ainult kaks võimalust: f'(x 0) ≥ 0 või f'(x 0) ≤ 0. Tuletise märk on algse joonise järgi lihtne määrata: kui tuletisgraafik asub OX-telje kohal, siis f'(x) ≥ 0. Ja vastupidi, kui tuletisgraafik asub OX-teljest allpool, siis f'(x) ≤ 0.
3. Jällegi kontrollime tuletise nulle ja märke. Kui märk muutub miinusest plussiks, on miinimumpunkt. Ja vastupidi, kui tuletise märk muutub plussist miinusesse, on see maksimumpunkt. Loendamine toimub alati vasakult paremale.

See skeem töötab ainult pidevate funktsioonide puhul - ülesandes B9 pole teisi.

Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−5; 5]. Leia sellel lõigul funktsiooni f(x) miinimumpunkt.

Saame lahti Lisainformatsioon— jätta ainult piirid [−5; 5] ja tuletise nullid x = −3 ja x = 2,5. Pange tähele ka märke:

Ilmselt muutub punktis x = −3 tuletise märk miinusest plussiks. See on miinimumpunkt.

Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−3; 7]. Leidke sellel lõigul funktsiooni f(x) maksimaalne punkt.

Joonistame graafiku ümber, jättes alles ainult piirid [−3; 7] ja tuletise nullid x = −1,7 ja x = 5. Märgi saadud graafikule tuletise märgid. Meil on:

Ilmselt muutub punktis x = 5 tuletise märk plussist miinusesse – see on maksimumpunkt.

Ülesanne. Joonisel on kujutatud lõigul [−6; defineeritud funktsiooni f(x) tuletise graafik; neli]. Leia funktsiooni f(x) maksimumpunktide arv, mis kuuluvad intervalli [−4; 3].

Ülesande tingimustest järeldub, et piisab, kui vaadelda ainult seda osa graafist, mis on piiratud lõiguga [−4; 3]. Seetõttu koostame uue graafiku, millele märgime ainult piirid [−4; 3] ja selle sees oleva tuletise nullid. Nimelt punktid x = −3,5 ja x = 2. Saame:

Sellel graafikul on ainult üks maksimumpunkt x = 2. Just selles muutub tuletise märk plussist miinusesse.

Väike märkus mittetäisarvuliste koordinaatidega punktide kohta. Näiteks viimases ülesandes vaadeldi punkti x = −3,5, kuid sama eduga saame võtta x = −3,4. Kui probleem on õigesti sõnastatud, ei tohiks sellised muudatused vastust mõjutada, kuna punktid "ilma kindla elukohata" ei ole probleemi lahendamisega otseselt seotud. Täisarvuliste punktidega selline trikk muidugi ei tööta.

Funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallide leidmine

Sellises ülesandes, nagu maksimumi ja miinimumi punktides, tehakse ettepanek leida tuletise graafikult alad, milles funktsioon ise suureneb või väheneb. Esiteks määratleme, mis on tõusev ja kahanev:

1. Funktsiooni f(x) nimetatakse lõigul kasvavaks, kui selle lõigu mis tahes kahe punkti x 1 ja x 2 korral on väide: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Teisisõnu, mida suurem on argumendi väärtus, seda suurem on funktsiooni väärtus.
2. Funktsiooni f(x) nimetatakse lõigul kahanevaks, kui selle lõigu mis tahes kahe punkti x 1 ja x 2 korral on väide: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Need. argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

Sõnastame piisavad tingimused suurendamiseks ja vähendamiseks:

1. Et pidevfunktsioon f(x) suureneks lõigul , piisab, kui selle tuletis segmendi sees on positiivne, s.t. f'(x) ≥ 0.
2. Et pidev funktsioon f(x) väheneks lõigul , piisab, kui selle tuletis segmendi sees on negatiivne, s.t. f'(x) ≤ 0.

Me aktsepteerime neid väiteid ilma tõenditeta. Nii saame suurenemise ja kahanemise intervallide leidmise skeemi, mis on paljuski sarnane äärmuspunktide arvutamise algoritmiga:

1. Eemaldage kogu üleliigne teave. Tuletise algsel graafikul huvitavad meid eelkõige funktsiooni nullid, seega jätame ainult need.
2. Märgi tuletise märgid nullide vahele. Kui f'(x) ≥ 0, siis funktsioon suureneb ja kus f'(x) ≤ 0, siis see väheneb. Kui probleemil on muutujale x piirangud, märgime need uuele diagrammile täiendavalt.
3. Nüüd, kui me teame funktsiooni ja piirangu käitumist, jääb üle arvutada ülesandes vajalik väärtus.

Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−3; 7.5]. Leia kahaneva funktsiooni f(x) intervallid. Kirjutage vastusesse nendes intervallides sisalduvate täisarvude summa.

Nagu tavaliselt, joonistame graafiku ümber ja märgime piirid [−3; 7,5], samuti tuletise x = −1,5 ja x = 5,3 nullid. Seejärel märgime tuletise märgid. Meil on:

Kuna tuletis on intervallil (−1,5) negatiivne, on see kahaneva funktsiooni intervall. Jääb kokku liita kõik selles intervallis olevad täisarvud:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud lõigul [−10; neli]. Leia suureneva funktsiooni f(x) intervallid. Oma vastuses kirjutage neist suurima pikkus.

Vabaneme üleliigsest infost. Jätame ainult piirid [−10; 4] ja tuletise nullid, mis seekord osutusid neljaks: x = −8, x = −6, x = −3 ja x = 2. Märgi üles tuletise märgid ja saad järgmine pilt:

Meid huvitavad suureneva funktsiooni intervallid, s.o. kus f'(x) ≥ 0. Graafikul on kaks sellist intervalli: (−8; −6) ja (−3; 2). Arvutame nende pikkused:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Kuna on vaja leida suurima intervalli pikkus, kirjutame vastuseks väärtuse l 2 = 5.

(joon.1)

Joonis 1. Tuletise graafik

Tuletatud krundi omadused

1. Suurenevate intervallidega on tuletis positiivne. Kui mingi intervalli tuletis teatud punktis on positiivse väärtusega, siis selle intervalli funktsiooni graafik suureneb.
2. Vähenevatel intervallidel on tuletis negatiivne (miinusmärgiga). Kui mingi intervalli tuletis teatud punktis on negatiivse väärtusega, siis funktsiooni graafik sellel intervallil väheneb.
3. Tuletis punktis x on nurga koefitsient funktsiooni graafikule samas punktis tõmmatud puutuja.
4. Funktsiooni maksimum-miinimumpunktides on tuletis võrdne nulliga. Funktsioonigraafiku puutuja selles punktis on paralleelne OX-teljega.

Näide 1

Tuletise graafiku (joonis 2) järgi määrake, millises punktis lõigul [-3; 5] funktsioon on maksimaalne.

Joonis 2. Tuletise graafik

Lahendus: Sellel lõigul on tuletis negatiivne, mis tähendab, et funktsioon väheneb vasakult paremale ja suurim väärtus on vasakul pool punktis -3.

Näide 2

Vastavalt tuletise graafikule (joonis 3) määrake maksimaalsete punktide arv lõigul [-11; 3].

Joonis 3. Tuletise graafik

Lahendus: Maksimaalsed punktid vastavad punktidele, kus tuletise märk muutub positiivsest negatiivseks. Sellel intervallil muudab funktsioon märki kaks korda plussist miinusesse - punktis -10 ja punktis -1. Seega on maksimumpunktide arv kaks.

Näide 3

Vastavalt tuletise graafikule (joonis 3) määrake minimaalsete punktide arv segmendis [-11; -üks].

Lahendus: Miinimumpunktid vastavad punktidele, kus tuletise märk muutub negatiivsest positiivseks. Sellel lõigul on selline punkt ainult -7. See tähendab, et antud lõigul on miinimumpunktide arv üks.

Näide 4

Vastavalt tuletise graafikule (joonis 3) määrake ekstreemumipunktide arv.

Lahendus: Ekstreemum on nii miinimumi kui ka maksimumi punkt. Leia punktide arv, kus tuletis muudab märki.

Kallid sõbrad! Tuletisega seotud ülesannete rühm sisaldab ülesandeid - tingimusel on antud funktsiooni graafik, sellel graafikul mitu punkti ja küsimus on:

Millisel hetkel on tuletise väärtus suurim (väikseim)?

Kordame lühidalt:

Punkti tuletis on võrdne läbiva puutuja kaldegasee punkt graafikul.

Kellpuutuja globaalne koefitsient on omakorda võrdne selle puutuja kalde puutujaga.

*See viitab puutuja ja x-telje vahelisele nurgale.

1. Suureneva funktsiooni intervallidel on tuletisel positiivne väärtus.

2. Selle kahanemise intervallidel on tuletis negatiivne väärtus.

Mõelge järgmisele visandile:

Punktides 1,2,4 on funktsiooni tuletis negatiivne väärtus, kuna need punktid kuuluvad kahanevatesse intervallidesse.

Punktides 3,5,6 on funktsiooni tuletis positiivse väärtusega, kuna need punktid kuuluvad kasvuvahemikesse.

Nagu näete, on tuletise väärtusega kõik selge, see tähendab, et pole raske kindlaks teha, milline märk sellel on (positiivne või negatiivne) graafiku teatud punktis.

Veelgi enam, kui konstrueerime nendes punktides vaimselt puutujaid, näeme, et punkte 3, 5 ja 6 läbivad sirged moodustavad nurgad oX-teljega vahemikus 0 kuni 90 ° ja punkte 1, 2 läbivad sirged. ja 4 vorm oX-teljega, nurgad vahemikus 90 o kuni 180 o.

* Seos on selge: suurenevate funktsioonide intervallidesse kuuluvaid punkte läbivad puutujad moodustavad oX-teljega teravnurgad, kahanevate funktsioonide intervallidesse kuuluvaid punkte läbivad puutujad oX-teljega nürinurgad.

Nüüd oluline küsimus!

Kuidas muutub tuletise väärtus? Moodustab ju pideva funktsiooni graafiku erinevates punktides puutuja erinevad nurgad, olenevalt sellest, millist graafiku punkti see läbib.

*Või rääkides selge keel, asub puutuja justkui "horisontaalsemalt" või "vertikaalsemalt". Vaata:

Sirged jooned moodustavad nurgad, mille oX telg on vahemikus 0 kuni 90 o

Sirged jooned moodustavad nurgad, mille oX telg on vahemikus 90 o kuni 180 o

Nii et kui on küsimusi:

- millises graafiku antud punktis on tuletise väärtus väikseima väärtusega?

- millises graafiku antud punktis on tuletise väärtus suurim?

siis vastuseks on vaja aru saada, kuidas muutub puutuja nurga puutuja väärtus vahemikus 0 kuni 180 o.

*Nagu juba mainitud, on funktsiooni tuletise väärtus punktis võrdne x-telje puutuja kalde puutujaga.

Tangensi väärtus muutub järgmiselt:

Kui sirge kalle muutub 0 o-lt 90 o-le, muutub puutuja väärtus ja seega ka tuletis vastavalt 0-lt +∞;

Kui sirge kalle muutub 90 o-lt 180 o-le, muutub puutuja väärtus ja seega ka tuletis vastavalt –∞ väärtusele 0.

Seda on selgelt näha puutujafunktsiooni graafikult:

Lihtsamalt öeldes:

Kui puutuja kaldenurk on 0 o kuni 90 o

Mida lähemal see on 0 o, seda suurem on tuletise väärtus nullilähedane (positiivsel poolel).

Mida lähemal on nurk 90°-le, seda rohkem suureneb tuletise väärtus +∞ suunas.

Kui puutuja kaldenurk on 90 o kuni 180 o

Mida lähemal see on 90 o, seda rohkem tuletise väärtus väheneb –∞ suunas.

Mida lähemal on nurk 180 o, seda suurem on tuletise väärtus nullilähedane (miinuspoolel).

317543. Joonisel on kujutatud funktsiooni y = graafik f(x) ja märgitud punktid–2, –1, 1, 2. Millistes punktides on tuletise väärtus suurim? Palun märkige see punkt oma vastuses.

Meil on neli punkti: kaks neist kuuluvad intervallidesse, millel funktsioon väheneb (need on punktid –1 ja 1) ning kaks intervallidesse, millel funktsioon suureneb (need on punktid –2 ja 2).

Võime kohe järeldada, et punktides -1 ja 1 on tuletis negatiivse väärtusega, punktides -2 ja 2 positiivse väärtusega. Seetõttu on sel juhul vaja analüüsida punkte -2 ja 2 ning määrata, milline neist on suurima väärtusega. Ehitame näidatud punkte läbivad puutujad:

Sirge a ja abstsisstelje vahelise nurga puutuja väärtus on rohkem väärtust sirge b ja selle telje vahelise nurga puutuja. See tähendab, et tuletise väärtus punktis -2 on suurim.

Vastame järgmisele küsimusele: millises punktis -2, -1, 1 või 2 on tuletise väärtus kõige suurem negatiivne? Palun märkige see punkt oma vastuses.

Tuletis on kahanevatesse intervallidesse kuuluvates punktides negatiivse väärtusega, seega vaatleme punkte -2 ja 1. Koostame neid läbivad puutujad:

Näeme, et nürinurk sirge b ja oX-telje vahel on "lähedasem" 180 umbes , seega on selle puutuja suurem sirge a ja x-telje poolt moodustatud nurga puutujast.

Seega on punktis x = 1 tuletise väärtus suurim negatiivne.

317544. Joonisel on kujutatud funktsiooni y = graafik f(x) ja märgitud punktid–2, –1, 1, 4. Millistes punktides on tuletise väärtus väikseim? Palun märkige see punkt oma vastuses.

Meil on neli punkti: kaks neist kuuluvad intervallidesse, millel funktsioon väheneb (need on punktid –1 ja 4) ja kaks intervallidesse, millel funktsioon suureneb (need on punktid –2 ja 1).

Võime kohe järeldada, et punktides -1 ja 4 on tuletisel negatiivne väärtus, punktides -2 ja 1 on see positiivne väärtus. Seetõttu on sel juhul vaja analüüsida punkte –1 ja 4 ning määrata, milline neist on väikseima väärtusega. Ehitame näidatud punkte läbivad puutujad:

Sirge a ja abstsisstelje vahelise nurga puutuja väärtus on suurem kui sirge b ja selle telje vahelise nurga puutuja väärtus. See tähendab, et tuletise väärtus punktis x = 4 on väikseim.

Vastus: 4

Loodan, et ma ei "üle koormanud" teid kirjutamise hulgaga. Tegelikult on kõik väga lihtne, tuleb vaid mõista tuletise omadusi, selle geomeetrilist tähendust ja seda, kuidas nurga puutuja väärtus muutub 0 kuni 180 o.

1. Esmalt määrake nendes punktides (+ või -) tuletise märgid ja valige vajalikud punktid (olenevalt püstitatud küsimusest).

2. Koostage nendes punktides puutujad.

3. Märkige skemaatiliselt tangesoidi graafiku abil nurgad ja kuvaAleksander.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Funktsiooni tuletis on üks keerulisemaid teemasid kooli õppekava. Mitte iga lõpetaja ei vasta küsimusele, mis on tuletis.

See artikkel selgitab lihtsalt ja selgelt, mis on tuletis ja miks seda vaja on.. Me ei püüdle nüüd esitluse matemaatilise ranguse poole. Kõige tähtsam on mõista tähendust.

Meenutagem määratlust:

Tuletis on funktsiooni muutumise kiirus.

Joonisel on kujutatud kolme funktsiooni graafikud. Milline neist kasvab teie arvates kõige kiiremini?

Vastus on ilmne – kolmas. Sellel on suurim muutusmäär, st suurim tuletis.

Siin on veel üks näide.

Kostja, Griša ja Matvey said samal ajal tööd. Vaatame, kuidas nende sissetulek aasta jooksul muutus:

Näete graafikul kõike kohe, eks? Kostja sissetulek on kuue kuuga enam kui kahekordistunud. Ja Grisha sissetulek ka suurenes, kuid ainult natuke. Ja Matthew sissetulek vähenes nulli. Algtingimused on samad, kuid funktsiooni muutumise kiirus, s.o. tuletis, - erinev. Mis puutub Matveysse, siis tema tulu tuletis on üldiselt negatiivne.

Intuitiivselt saame hõlpsasti hinnata funktsiooni muutumise kiirust. Aga kuidas me seda teeme?

Me tegelikult vaatame seda, kui järsult funktsiooni graafik üles (või alla) läheb. Teisisõnu, kui kiiresti y muutub x-iga. Ilmselgelt võib erinevates punktides olla sama funktsioon erinev tähendus tuletis - see tähendab, et see võib muutuda kiiremini või aeglasemalt.

Funktsiooni tuletist tähistatakse .

Näitame, kuidas graafiku abil leida.

Joonistatakse mingi funktsiooni graafik. Võtke sellel abstsissiga punkt. Joonistage selles punktis funktsiooni graafikule puutuja. Tahame hinnata, kui järsult funktsiooni graafik tõuseb. Selle jaoks on mugav väärtus puutuja kalde puutuja.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kalde puutujaga.

Pange tähele - puutuja kaldenurgana võtame puutuja ja telje positiivse suuna vahelise nurga.

Mõnikord küsivad õpilased, mis on funktsiooni graafiku puutuja. See on sirgjoon, millel on ainus ühine punkt graafikuga ja nagu on näidatud meie joonisel. See näeb välja nagu ringi puutuja.

Otsime üles. Mäletame, et teravnurga puutuja in täisnurkne kolmnurk võrdne vastasjala ja külgneva jala suhtega. Kolmnurgast:

Tuletise leidsime graafiku abil, teadmata isegi funktsiooni valemit. Selliseid ülesandeid leidub matemaatika eksamil sageli numbri all.

On veel üks oluline seos. Tuletame meelde, et sirge annab võrrand

Selles võrrandis olevat suurust nimetatakse sirgjoone kalle. See on võrdne sirge telje kaldenurga puutujaga.

.

Me saame sellest aru

Meenutagem seda valemit. See väljendab tuletise geomeetrilist tähendust.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kaldega.

Teisisõnu, tuletis on võrdne puutuja kalde puutujaga.

Oleme juba öelnud, et samal funktsioonil võivad erinevates punktides olla erinevad tuletised. Vaatame, kuidas tuletis on seotud funktsiooni käitumisega.

Joonistame mõne funktsiooni graafiku. Las see funktsioon mõnes piirkonnas suureneb ja teistes väheneb erineva kiirusega. Ja olgu sellel funktsioonil maksimum- ja miinimumpunktid.

Ühel hetkel funktsioon suureneb. Moodustub punktis joonistatud graafiku puutuja terav nurk; positiivse telje suunaga. Seega on tuletis punktis positiivne.

Hetkel meie funktsioon väheneb. Selle punkti puutuja moodustab nürinurga; positiivse telje suunaga. Kuna nürinurga puutuja on negatiivne, on tuletis punktis negatiivne.

See juhtub järgmiselt.

Kui funktsioon kasvab, on selle tuletis positiivne.

Kui see väheneb, on selle tuletis negatiivne.

Ja mis saab maksimum- ja miinimumpunktides? Näeme, et (maksimumipunktis) ja (minimaalses punktis) puutuja on horisontaalne. Seetõttu on puutuja kalde puutuja nendes punktides null ja tuletis on samuti null.

Punkt on maksimumpunkt. Siinkohal asendub funktsiooni suurenemine vähenemisega. Järelikult muutub tuletise märk punktis "plussist" "miinusesse".

Punktis - miinimumpunktis - on tuletis samuti võrdne nulliga, kuid selle märk muutub "miinusest" "plussiks".

Järeldus: tuletise abil saate funktsiooni käitumise kohta teada kõike, mis meid huvitab.

Kui tuletis on positiivne, siis funktsioon kasvab.

Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon on kahanev.

Maksimaalses punktis on tuletis null ja muudab märgi plussist miinusesse.

Miinimumpunktis on tuletis samuti null ja muudab märgi miinusest plussiks.

Kirjutame need leiud tabeli kujul:

Teeme kaks väikest täpsustust. Probleemi lahendamisel vajate ühte neist. Teine - esimesel aastal, funktsioonide ja tuletisi tõsisema uurimisega.

Võimalik on juhtum, kui funktsiooni tuletis on mingil hetkel võrdne nulliga, kuid funktsioonil pole selles punktis ei maksimumi ega miinimumi. See nn :

Punktis on graafiku puutuja horisontaalne ja tuletis null. Kuid enne punkti funktsioon suurenes - ja pärast punkti jätkab suurenemist. Tuletise märk ei muutu – see on jäänud positiivseks, nagu oli.

Samuti juhtub, et maksimumi või miinimumi punktis tuletist ei eksisteeri. Graafikul vastab see järsule katkestusele, kui antud punktis pole puutujat võimalik joonistada.

Kuidas aga leida tuletist, kui funktsioon on antud mitte graafiku, vaid valemiga? Sel juhul kehtib see