Millistes graafiku punktides on tuletis positiivne? Tuletis

Funktsiooniuuringud. Selles artiklis räägime ülesannetest, milles funktsioone peetakse silmas ja seisukorras on nende uurimisega seotud küsimusi. Kaaluge peamisi teoreetilisi punkte, mida peate nende lahendamiseks teadma ja mõistma.

See on terve rühm matemaatika eksamil olevaid ülesandeid. Tavaliselt tõstatatakse küsimus antud intervalli maksimumpunktide (miinimum) leidmise või funktsiooni suurima (väikseima) väärtuse määramise kohta.Arvesse võetud:

— Võimsus ja irratsionaalsed funktsioonid.

— ratsionaalsed funktsioonid.

— Tööde uurimine ja eraelu.

— Logaritmilised funktsioonid.

— trigonomeetrilised funktsioonid.

Kui mõistate piiride teooriat, tuletise mõistet, tuletise omadusi funktsioonide graafikute uurimiseks ja selle , siis ei valmista sellised ülesanded teile raskusi ja lahendate need lihtsalt.

Allpool toodud teave on teoreetilised punktid, mille mõistmine võimaldab mõista, kuidas selliseid probleeme lahendada. Püüan need sõnastada nii, et isegi need, kes sellest teemast mööda jätsid või halvasti õppisid, saaksid sellised probleemid ilma suuremate raskusteta lahendada.

Selle rühma ülesannetes, nagu juba mainitud, on vaja leida funktsiooni minimaalne (maksimaalne) punkt või funktsiooni suurim (väikseim) väärtus intervallil.

Miinimum- ja maksimumpunktid.Tuletisomadused.

Vaatleme funktsiooni graafikut:

Punkt A on maksimumpunkt, intervallil O kuni A funktsioon suureneb, intervallil A punkti B see väheneb.

Punkt B on miinimumpunkt, intervallil A-st B-ni funktsioon väheneb, intervallil B punktini C see suureneb.

Nendes punktides (A ja B) tuletis kaob (võrdub nulliga).

Nende punktide puutujad on paralleelsed teljega härg.

Lisan, et punkte, kus funktsioon muudab oma käitumist suurenevalt kahanevalt (ja vastupidi, kahanevalt suurenemiseni), nimetatakse äärmusteks.

Oluline punkt:

1. Kasvavate intervallide tuletis on positiivne märk(PVäärtuse asendamisel intervallist tuletisega saadakse positiivne arv).

Seega, kui tuletis teatud punktis teatud intervallist on positiivse väärtusega, siis selle intervalli funktsiooni graafik suureneb.

2. Vähenemise intervallidel on tuletis negatiivne märk(intervalli väärtuse asendamisel tuletisavaldisega saadakse negatiivne arv).

Seega, kui tuletis teatud punktis teatud intervallist on negatiivse väärtusega, siis funktsiooni graafik sellel intervallil väheneb.

See tuleb selgeks teha!

Seega, arvutades tuletise ja võrdsustades selle nulliga, saab leida punkte, mis jagavad reaaltelje intervallideks.Igal neist intervallidest saate määrata tuletise märgi ja seejärel teha järelduse selle suurenemise või vähenemise kohta.

* Eraldi tuleks öelda punktide kohta, kus tuletist ei eksisteeri. Näiteks saame tuletise, mille nimetaja teatud x juures kaob. On selge, et sellise x puhul tuletist ei eksisteeri. Seega tuleb seda punkti arvesse võtta ka suurenemise (vähenemise) intervallide määramisel.

Funktsioon punktides, kus tuletis on võrdne nulliga, ei muuda alati oma märki. Sellest tuleb eraldi artikkel. USE-s endas selliseid ülesandeid ei tehta.

Ülaltoodud omadused on vajalikud funktsiooni käitumise uurimiseks suurenemisel ja kahanemisel.

Mida on veel vaja teada määratud ülesannete lahendamiseks: tuletiste tabel ja diferentseerimisreeglid. Ilma selleta pole midagi. Need on põhiteadmised tuletise teemast. Peaksite väga hästi teadma elementaarfunktsioonide tuletisi.

Tuletise arvutamine keeruline funktsioon f(g(x)), kujutlege funktsioonig(x) on muutuja ja seejärel arvutage tuletisf’(g(x)) tabelivalemite abil muutuja tavalise tuletiseks. Seejärel korrutage tulemus funktsiooni tuletisegag(x) .

Vaadake Maxim Semenikhini videoõpetust keeruka funktsiooni kohta:

Ülesanded maksimum- ja miinimumpunktide leidmiseks

Funktsiooni maksimaalsete (minimaalsete) punktide leidmise algoritm:

1. Leia funktsiooni tuletis f’(x).

2. Leidke tuletise nullid (võrdsustades tuletise nulliga f’(x)=0 ja lahendage saadud võrrand). Leiame ka punkte, kus tuletist ei eksisteeri(eriti puudutab see murdosa-ratsionaalfunktsioone).

3. Märgistame saadud väärtused arvujoonele ja määrame nendel intervallidel tuletise märgid, asendades intervallidest saadud väärtused tuletisavaldisesse.

Väljund on üks kahest:

1. Maksimaalne punkt on punktmilles tuletis muutub positiivsest negatiivseks.

2. Miinimumpunkt on punktmilles tuletis muutub negatiivsest positiivseks.

Probleemid suurima või väikseima väärtuse leidmisel

funktsioonid intervallil.

Teist tüüpi probleemi puhul tuleb leida suurim või väikseim väärtus funktsioonid etteantud intervallil.

Suurima (väikseima) funktsiooni väärtuse leidmise algoritm:

1. Tehke kindlaks, kas on maksimaalsed (minimaalsed) punktid. Selleks leiame tuletise f’(x) , siis lahenda f’(x)=0 (eelmise algoritmi punktid 1 ja 2).

2. Teeme kindlaks, kas saadud punktid kuuluvad antud intervalli ja paneme kirja selle sees asuvad punktid.

3. Asendame algfunktsiooni (mitte tuletisesse, vaid tingimusesse antud) antud intervalli piirid ja intervalli sees asuvad punktid (maksimaalne-miinimum) (punkt 2).

4. Arvutame funktsiooni väärtused.

5. Saadud väärtustest valime välja suurima (väikseima) väärtuse, olenevalt sellest, milline küsimus ülesandes esitati, ning seejärel kirjutame vastuse kirja.

Küsimus: miks on funktsiooni suurima (väikseima) väärtuse leidmise ülesannetes vaja otsida maksimaalseid (minimaalseid) punkte?

Vastus on kõige paremini illustreeritud, vaadake funktsioonide antud graafikute skemaatilist esitust:

Juhtudel 1 ja 2 piisab funktsiooni maksimaalse või minimaalse väärtuse määramiseks intervalli piiride asendamisest. Juhtudel 3 ja 4 on vaja leida funktsiooni nullid (maksimaalsed-minimaalsed punktid). Kui asendame intervalli piirid (funktsiooni nullpunkte leidmata), saame vale vastuse, seda on näha graafikutelt.

Ja asi on selles, et antud funktsiooni kasutades me ei näe, kuidas diagramm intervallil välja näeb (kas sellel on intervalli piires maksimum või miinimum). Seetõttu leidke tõrgeteta funktsiooni nullid!!!

Kui võrrand f'(x)=0 ei ole lahendust, see tähendab, et maksimum-miinimumpunkte pole (joonis 1.2) ja seatud ülesande leidmiseks asendatakse selle funktsiooniga ainult intervalli piirid.

Teine oluline punkt. Pidage meeles, et vastus peab olema täisarv või lõplik kümnend. Funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse arvutamisel saate avaldised arvuga e ja pi, samuti avaldised juurega. Pidage meeles, et te ei pea neid lõpuni arvutama ja on selge, et selliste avaldiste tulemus ei ole vastus. Kui on soov selline väärtus välja arvutada, siis tee seda (arvud: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Ma kirjutasin palju, ilmselt segaduses? Kõrval konkreetseid näiteid näete, et kõik on lihtne.

Järgmisena tahan teile näidata väike saladus. Fakt on see, et paljusid ülesandeid saab lahendada tuletise omadusi teadmata ja isegi ilma diferentseerimisreegliteta. Kindlasti räägin teile neist nüanssidest ja näitan, kuidas seda tehakse? ära igatse!

Aga miks ma siis üldse teooria välja ütlesin ja ütlesin ka, et seda peab eksimatult teadma. See on õige – sa pead teadma. Kui saate sellest aru, ei sega teid ükski selle teema ülesanne.

Need “nipid”, millest õpid, aitavad sind konkreetsete (mõnede) prototüübiprobleemide lahendamisel. Toak lisatööriist Neid meetodeid on loomulikult mugav kasutada. Probleemi saab lahendada 2-3 korda kiiremini ja säästa aega osa C lahendamiseks.

Kõike paremat!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Geomeetrilise tähenduse kohta on kirjutatud palju teooriat. Ma ei lasku funktsiooni juurdekasvu tuletamisse, tuletan teile meelde ülesannete täitmise peamist:

Tuletis punktis x on nurga koefitsient funktsiooni y \u003d f (x) graafiku puutuja selles punktis, see tähendab, et see on X-telje kaldenurga puutuja.

Võtame kohe eksamilt ülesande ja hakkame sellest aru saama:

Ülesanne number 1. Joonis näitab funktsiooni graafik y = f(x) ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x0.
Kellel on kiire ja ei taha selgitustest aru saada: ehitage üles mis tahes selline kolmnurk (nagu allpool näidatud) ja jagage seisev külg (vertikaalne) lamava (horisontaalse) küljega ja olete õnnelik, kui te märki ei unusta (kui sirgjoon väheneb (→↓) , siis peaks vastus olema miinusega, kui sirge kasvab (→), siis peab vastus olema positiivne!)

Tuleb leida puutuja ja X-telje vaheline nurk, nimetagem seda α: tõmbame X-teljega paralleelse sirge suvalisele poole läbi graafiku puutuja, saame sama nurga.

Punkti x0 on parem mitte võtta, sest täpsete koordinaatide määramiseks vajate suurt suurendusklaasi.

Võttes suvalise täisnurkse kolmnurga (joonisel on välja pakutud 3 varianti), leiame tgα (nurgad on võrdsed, vastavalt), s.o. saame funktsiooni f(x) tuletise punktis x0. Miks nii?

Kui tõmbame puutujaid teistes punktides x2, x1 jne. puutujad on erinevad.

Lähme tagasi 7. klassi, et ehitada sirgjoont!

Sirge võrrand on antud võrrandiga y = kx + b , kus

k - kalle X-telje suhtes.

b on kaugus Y-telje lõikepunkti ja alguspunkti vahel.

Sirge tuletis on alati sama: y" = k.

Ükskõik millises punktis joonel tuletise võtame, jääb see muutumatuks.

Seetõttu jääb üle vaid leida tgα (nagu eespool mainitud: jagame seisva külje lamava poolega). Jagame vastasjala külgneva jalaga, saame, et k \u003d 0,5. Kui graafik on aga kahanev, on koefitsient negatiivne: k = −0,5.

Soovitan teil kontrollida teine ​​viis:
Sirge defineerimiseks saab kasutada kahte punkti. Leidke kahe punkti koordinaadid. Näiteks (-2;-2) ja (2;-4):

Asendage võrrandis y = kx + b y ja x asemel punktide koordinaadid:

-2 = -2k + b

Selle süsteemi lahendamisel saame b = −3, k = −0,5

Järeldus: Teine meetod on pikem, kuid selles ei unusta te märki.

Vastus: - 0,5

Ülesanne number 2. Joonis näitab tuletisgraafik funktsioonid f(x). X-teljele on märgitud kaheksa punkti: x1, x2, x3, ..., x8. Kui paljud neist punktidest asuvad suureneva funktsiooni f(x) intervallidel?

Kui funktsiooni graafik väheneb - tuletis on negatiivne (ja vastupidi).

Kui funktsiooni graafik suureneb, on tuletis positiivne (ja vastupidi).

Need kaks fraasi aitavad teil lahendada enamiku probleemidest.

Vaata hoolega teile antakse tuletise või funktsiooni joonis ja seejärel valige üks kahest fraasist.

Koostame funktsiooni skemaatilise graafiku. Sest meile antakse tuletise graafik, siis kus see on negatiivne, siis funktsiooni graafik väheneb, kus positiivne, seal suureneb!

Selgub, et kasvualadel on 3 punkti: x4; x5; x6.

Vastus: 3

Ülesanne number 3. Funktsioon f(x) on defineeritud intervallil (-6; 4). Pilt näitab selle tuletise graafik. Leidke selle punkti abstsiss, kus funktsioon omandab suurima väärtuse.

Soovitan koostada alati nii, kuidas funktsioonigraafik läheb, kas selliste nooltega või skemaatiliselt märkidega (nagu nr 4 ja nr 5):

Ilmselgelt, kui graafik kasvab väärtuseni -2, on maksimaalne punkt -2.

Vastus: -2

Ülesanne number 4. Joonisel on kujutatud funktsiooni f(x) graafik ja kaksteist punkti x-teljel: x1, x2, ..., x12. Mitmes neist punktidest on funktsiooni tuletis negatiivne?

Ülesanne on pöördvõrdeline, võttes arvesse funktsiooni graafikut, peate skemaatiliselt üles ehitama, kuidas funktsiooni tuletise graafik välja näeb, ja arvutama, mitu punkti jääb negatiivsesse vahemikku.

Positiivne: x1, x6, x7, x12.

Negatiivne: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Vastus: 7

Teist tüüpi ülesanne, kui küsida mõne kohutava "äärmuslikkuse" kohta? Teil ei ole raske leida, mis see on, kuid ma selgitan graafikute jaoks.

Ülesanne number 5. Joonisel on kujutatud intervallil (-16; 6) defineeritud funktsiooni f(x) tuletise graafik. Leia funktsiooni f(x) ekstreemumipunktide arv lõigul [-11; 5].

Pange tähele vahemikku -11 kuni 5!

Pöörame särasilmad plaadi poole: on antud funktsiooni tuletise graafik => siis ekstreemumiteks on X-teljega lõikepunktid.

Vastus: 3

Ülesanne number 6. Joonisel on kujutatud intervallil (-13; 9) defineeritud funktsiooni f (x) tuletise graafik. Leia funktsiooni f(x) maksimumpunktide arv lõigul [-12; 5].

Pange tähele vahemikku -12 kuni 5!

Plaati saab vaadata ühe silmaga, maksimumpunkt on ekstreemum, nii et enne seda on tuletis positiivne (funktsioon suureneb) ja pärast seda on tuletis negatiivne (funktsioon väheneb). Need punktid on ümbritsetud ringiga.

Nooled näitavad, kuidas funktsiooni graafik käitub.

Vastus: 3

Ülesanne number 7. Joonisel on näidatud intervallil (-7; 5) defineeritud funktsiooni f(x) graafik. Leidke punktide arv, kus funktsiooni f(x) tuletis on 0.

Võite vaadata ülaltoodud tabelit (tuletis on null, mis tähendab, et need on äärmuslikud punktid). Ja selles ülesandes on antud funktsiooni graafik, mis tähendab, et peate leidma pöördepunktide arv!

Ja saate nagu tavaliselt: koostame tuletise skemaatilise graafiku.

Tuletis on null, kui funktsioonide graafik muudab suunda (kasvamisest kahanevasse ja vastupidi)

Vastus: 8

Ülesanne number 8. Pilt näitab tuletisgraafik funktsioon f(x), mis on defineeritud vahemikus (-2; 10). Leia funktsiooni suurenemise intervallid f(x). Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude punktide summa.

Koostame funktsiooni skemaatilise graafiku:

Kui see suureneb, saame 4 täisarvu: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Vastus: 22

Ülesanne number 9. Pilt näitab tuletisgraafik funktsioon f(x), mis on defineeritud vahemikus (-6; 6). Leidke punktide arv f(x), kus funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne või langeb kokku sirgega y = 2x + 13.

Meile on antud tuletise graafik! See tähendab, et ka meie puutuja tuleb "tõlkida" tuletiseks.

Puutuja tuletis: y" = 2.

Nüüd koostame mõlemad tuletised:

Puutujad lõikuvad kolmes punktis, seega on meie vastus 3.

Vastus: 3

Ülesanne number 10. Joonisel on kujutatud funktsiooni f (x) graafik, millele on märgitud punktid -2, 1, 2, 3. Millises neist punktidest on tuletise väärtus väikseim? Palun märkige see punkt oma vastuses.

Ülesanne on mõneti sarnane esimesega: tuletise väärtuse leidmiseks tuleb luua punktis selle graafiku puutuja ja leida koefitsient k.

Kui joon on kahanev, k< 0.

Kui joon kasvab, siis k > 0.

Mõelgem, kuidas koefitsiendi väärtus mõjutab sirge kallet:

Kui k = 1 või k = − 1, on graafik x- ja y-telgede vahel.

Mida lähemal on sirgjoon X-teljele, seda lähemal on koefitsient k nullile.

Mida lähemal on joon Y-teljele, seda lähemal on koefitsient k lõpmatusele.

Punktis -2 ja 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>seal on tuletise väikseim väärtus

Vastus: 1

Ülesanne number 11. Sirg on funktsiooni y = x³ + x² + 2x + 8 graafiku puutuja y = 3x + 9 . Leidke kokkupuutepunkti abstsiss.

Sirg on graafiku puutuja, kui graafikud on ühine punkt, samuti nende tuletised. Võrdsusta graafikute võrrandid ja nende tuletised:

Teise võrrandi lahendamisel saame 2 punkti. Et kontrollida, milline neist sobib, asendame esimeses võrrandis kõik x-id. Ainult üks teeb.

Ma ei taha üldse lahendada kuupvõrrandit, vaid armsa hinge jaoks ruudukujulist võrrandit.

See on just see, mida vastuseks kirja panna, kui saad kaks "normaalset" vastust?

Kui asendate x (x) algsetes graafikutes y \u003d 3x + 9 ja y \u003d x³ + x² + 2x + 8, peaksite saama sama Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Õige! Seega on vastuseks x=1

Ülesanne number 12. Sirge y = − 5x − 6 puutub funktsiooni ax² + 5x − 5 graafikuga. Leia .

Samamoodi võrdsustame funktsioonid ja nende tuletised:

Lahendame selle süsteemi muutujate a ja x suhtes:

Vastus: 25

Tuletistega ülesannet peetakse eksami esimeses osas üheks keerulisemaks, kuid vähese tähelepanelikkuse ja probleemi mõistmisega saate hakkama ja tõstate selle ülesande täitmise protsenti!

Definitsioon. Olgu funktsioon \(y = f(x) \) defineeritud mingis intervallis, mille sees on punkt \(x_0 \). Suurendame \(\Delta x \) argumendiks, et sellest intervallist mitte lahkuda. Leidke funktsiooni \(\Delta y \) vastav juurdekasv (punktist \(x_0 \) punktist \(x_0 + \Delta x \) liikumisel) ja koostage seos \(\frac(\Delta y) )(\Delta x) \). Kui \(\Delta x \rightarrow 0 \) on selle seose piirang, siis nimetatakse määratud limiiti tuletisfunktsioon\(y=f(x) \) punktis \(x_0 \) ja tähistab \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Tuletise tähistamiseks kasutatakse sageli sümbolit y. Pange tähele, et y" = f(x) on uus funktsioon, kuid loomulikult seotud funktsiooniga y = f(x), mis on defineeritud kõigis punktides x, kus ülaltoodud piir on olemas. Seda funktsiooni nimetatakse järgmiselt: funktsiooni y \u003d f (x) tuletis.

Tuletise geomeetriline tähendus koosneb järgmisest. Kui funktsiooni y \u003d f (x) graafikule saab tõmmata puutuja, mis ei ole y-teljega paralleelne punktis, mille abstsiss on x \u003d a, siis f (a) väljendab puutuja kalle:
\(k = f"(a)\)

Kuna \(k = tg(a) \), on võrdus \(f"(a) = tg(a) \) tõene.

Ja nüüd tõlgendame tuletise määratlust ligikaudsete võrdsuste kaudu. Olgu funktsioonil \(y = f(x) \) tuletis konkreetses punktis \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
See tähendab, et punkti x lähedal on ligikaudne võrdsus \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), st \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Saadud ligikaudse võrdsuse tähenduslik tähendus on järgmine: funktsiooni juurdekasv on "peaaegu proportsionaalne" argumendi juurdekasvuga ja proportsionaalsuskoefitsient on tuletise väärtus antud punkt X. Näiteks funktsiooni \(y = x^2 \) puhul kehtib ligikaudne võrdus \(\Delta y \umbes 2x \cdot \Delta x \). Kui tuletise definitsiooni hoolikalt analüüsime, leiame, et see sisaldab selle leidmise algoritmi.

Sõnastame selle.

Kuidas leida funktsiooni y \u003d f (x) tuletist?

1. Parandage väärtus \(x \), leidke \(f(x) \)
2. Suurendage argumenti \(x \) \(\Delta x \), liikuge uude punkti \(x+ \Delta x \), leidke \(f(x+ \Delta x) \)
3. Leidke funktsiooni juurdekasv: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Koostage seos \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Arvutage $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
See piirväärtus on funktsiooni x tuletis.

Kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x, siis nimetatakse seda punktis x diferentseeruvaks. Kutsutakse välja protseduur funktsiooni y \u003d f (x) tuletise leidmiseks eristamist funktsioonid y = f(x).

Arutleme järgmise küsimuse üle: kuidas on seotud funktsiooni pidevus ja diferentseeritavus punktis?

Olgu funktsioon y = f(x) punktis x diferentseeruv. Seejärel saab funktsiooni graafikule punktis M (x; f (x)) tõmmata puutuja ja meenutage, puutuja kalle on võrdne f "(x). Selline graafik ei saa "katkeneda" punktis punkt M, st funktsioon peab olema pidev punktis x.

See oli arutluskäik "näppude peal". Esitagem rangem argument. Kui funktsioon y = f(x) on punktis x diferentseeruv, siis kehtib ligikaudne võrdus \(\Delta y \umbes f"(x) \cdot \Delta x \). null, siis \(\Delta y \ ) kipub samuti olema null ja see on funktsiooni järjepidevuse tingimus punktis.

Niisiis, kui funktsioon on punktis x diferentseeruv, siis on ta ka selles punktis pidev.

Vastupidine ei vasta tõele. Näiteks: funktsioon y = |x| on pidev kõikjal, eriti punktis x = 0, kuid funktsiooni graafiku puutujat "ühendpunktis" (0; 0) ei eksisteeri. Kui mingil hetkel ei ole võimalik funktsioonigraafikule puutujat joonistada, siis selles punktis tuletist ei ole.

Üks näide veel. Funktsioon \(y=\sqrt(x) \) on pidev kogu arvteljel, sealhulgas punktis x = 0. Ja funktsiooni graafiku puutuja eksisteerib igas punktis, sealhulgas punktis x = 0 Kuid selles punktis puutuja ühtib y-teljega, see tähendab, et see on risti abstsissteljega, selle võrrandi kuju on x \u003d 0. Sellisel sirgel pole kallet, mis tähendab, et \ ( f "(0) \) pole samuti olemas

Niisiis tutvusime funktsiooni uue omadusega - diferentseeritavusega. Kuidas teha kindlaks, kas funktsioon on funktsiooni graafikust eristatav?

Vastus on tegelikult antud eespool. Kui funktsiooni graafikule saab mingil hetkel tõmmata puutuja, mis ei ole risti x-teljega, siis selles punktis on funktsioon diferentseeritav. Kui mingil hetkel funktsiooni graafiku puutujat ei eksisteeri või see on risti x-teljega, siis selles punktis funktsioon ei ole diferentseeruv.

Eristamise reeglid

Tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse eristamist. Selle toimingu tegemisel peate sageli töötama jagatistega, summade, funktsioonide korrutistega, aga ka "funktsioonide funktsioonidega", see tähendab keerukate funktsioonidega. Tuletise definitsiooni põhjal saame tuletada seda tööd hõlbustavad diferentseerimisreeglid. Kui C on konstantne arv ja f=f(x), g=g(x) on mõned diferentseeruvad funktsioonid, siis on tõesed järgmised diferentseerimisreeglid:

Mõnede funktsioonide tuletiste tabel

Funktsiooni tuletis on üks keerulisemaid teemasid kooli õppekava. Mitte iga lõpetaja ei vasta küsimusele, mis on tuletis.

See artikkel selgitab lihtsalt ja selgelt, mis on tuletis ja miks seda vaja on.. Me ei püüdle nüüd esitluse matemaatilise ranguse poole. Kõige tähtsam on mõista tähendust.

Meenutagem määratlust:

Tuletis on funktsiooni muutumise kiirus.

Joonisel on kujutatud kolme funktsiooni graafikud. Milline neist kasvab teie arvates kõige kiiremini?

Vastus on ilmne – kolmas. Sellel on suurim muutusmäär, st suurim tuletis.

Siin on veel üks näide.

Kostja, Griša ja Matvey said samal ajal tööd. Vaatame, kuidas nende sissetulek aasta jooksul muutus:

Näete graafikul kõike kohe, eks? Kostja sissetulek on kuue kuuga enam kui kahekordistunud. Ja Grisha sissetulek ka suurenes, kuid ainult natuke. Ja Matthew sissetulek vähenes nulli. Algtingimused on samad, kuid funktsiooni muutumise kiirus, s.o. tuletis, - erinev. Mis puutub Matveysse, siis tema tulu tuletis on üldiselt negatiivne.

Intuitiivselt saame hõlpsasti hinnata funktsiooni muutumise kiirust. Aga kuidas me seda teeme?

Me tegelikult vaatame seda, kui järsult funktsiooni graafik üles (või alla) läheb. Teisisõnu, kui kiiresti y muutub x-iga. Ilmselgelt võib erinevates punktides olla sama funktsioon erinev tähendus tuletis - see tähendab, et see võib muutuda kiiremini või aeglasemalt.

Funktsiooni tuletist tähistatakse .

Näitame, kuidas graafiku abil leida.

Joonistatakse mingi funktsiooni graafik. Võtke sellel abstsissiga punkt. Joonistage selles punktis funktsiooni graafikule puutuja. Tahame hinnata, kui järsult funktsiooni graafik tõuseb. Selle jaoks on mugav väärtus puutuja kalde puutuja.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kalde puutujaga.

Pange tähele - puutuja kaldenurgana võtame puutuja ja telje positiivse suuna vahelise nurga.

Mõnikord küsivad õpilased, mis on funktsiooni graafiku puutuja. See on sirgjoon, millel on ainus ühine punkt selles jaotises oleva graafikuga, nagu on näidatud meie joonisel. See näeb välja nagu ringi puutuja.

Otsime üles. Me mäletame seda puutujat teravnurk sisse täisnurkne kolmnurk võrdne vastasjala ja külgneva jala suhtega. Kolmnurgast:

Tuletise leidsime graafiku abil, teadmata isegi funktsiooni valemit. Selliseid ülesandeid leidub matemaatika eksamil sageli numbri all.

On veel üks oluline seos. Tuletame meelde, et sirge annab võrrand

Selles võrrandis olevat suurust nimetatakse sirgjoone kalle. See on võrdne sirge telje kaldenurga puutujaga.

.

Me saame sellest aru

Meenutagem seda valemit. See väljendab tuletise geomeetrilist tähendust.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kaldega.

Teisisõnu, tuletis on võrdne puutuja kalde puutujaga.

Oleme juba öelnud, et samal funktsioonil võivad erinevates punktides olla erinevad tuletised. Vaatame, kuidas tuletis on seotud funktsiooni käitumisega.

Joonistame mõne funktsiooni graafiku. Las see funktsioon mõnes piirkonnas suureneb ja teistes väheneb erineva kiirusega. Ja olgu sellel funktsioonil maksimum- ja miinimumpunktid.

Ühel hetkel funktsioon suureneb. Punkti tõmmatud graafiku puutuja moodustab teravnurga; positiivse telje suunaga. Seega on tuletis punktis positiivne.

Hetkel meie funktsioon väheneb. Selle punkti puutuja moodustab nürinurga; positiivse telje suunaga. Kuna nürinurga puutuja on negatiivne, on tuletis punktis negatiivne.

See juhtub järgmiselt.

Kui funktsioon kasvab, on selle tuletis positiivne.

Kui see väheneb, on selle tuletis negatiivne.

Ja mis saab maksimum- ja miinimumpunktides? Näeme, et (maksimumipunktis) ja (minimaalses punktis) puutuja on horisontaalne. Seetõttu puutuja kalde puutuja nendes punktides null, ja tuletis on samuti null.

Punkt on maksimumpunkt. Siinkohal asendub funktsiooni suurenemine vähenemisega. Järelikult muutub tuletise märk punktis "plussist" "miinusesse".

Punktis - miinimumpunktis - on tuletis samuti võrdne nulliga, kuid selle märk muutub "miinusest" "plussiks".

Järeldus: tuletise abil saate funktsiooni käitumise kohta teada kõike, mis meid huvitab.

Kui tuletis on positiivne, siis funktsioon kasvab.

Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon on kahanev.

Maksimaalses punktis on tuletis null ja muudab märgi plussist miinusesse.

Miinimumpunktis on tuletis samuti null ja muudab märgi miinusest plussiks.

Kirjutame need leiud tabeli kujul:

Teeme kaks väikest täpsustust. Probleemi lahendamisel vajate ühte neist. Teine - esimesel aastal, funktsioonide ja tuletisi tõsisema uurimisega.

Võimalik on juhtum, kui funktsiooni tuletis on mingil hetkel võrdne nulliga, kuid funktsioonil pole selles punktis ei maksimumi ega miinimumi. See nn :

Punktis on graafiku puutuja horisontaalne ja tuletis null. Kuid enne punkti funktsioon suurenes - ja pärast punkti jätkab suurenemist. Tuletise märk ei muutu – see on jäänud positiivseks, nagu oli.

Samuti juhtub, et maksimumi või miinimumi punktis tuletist ei eksisteeri. Graafikul vastab see järsule katkestusele, kui antud punktis pole puutujat võimalik joonistada.

Kuidas aga leida tuletist, kui funktsioon on antud mitte graafiku, vaid valemiga? Sel juhul kehtib see

Antud intervallil on funktsioonil 2 maksimumi ja 2 miinimumi, kokku 4 äärmust. Ülesanne Joonisel on kujutatud intervallil defineeritud funktsiooni tuletise graafik. Lahendus Antud intervallil on funktsiooni tuletis positiivne, seega funktsioon sellel intervallil kasvab. Lahendus Kui tuletis on mingil hetkel võrdne nulliga ja selle läheduses muutub märk, siis on tegemist ekstreemumipunktiga.

Tuletisinstrumendi väärtuse arvutamine. Kahe punkti meetod

1. Uurige funktsiooni tuletise graafiku abil. Funktsioon y=f(x) väheneb intervallidel (x1;x2) ja (x3;x4). Tuletise y=f ‘(x) graafiku abil saate võrrelda ka funktsiooni y=f(x) väärtusi.

Tähistame need punktid kui A (x1; y1) ja B (x2; y2). Kirjutage koordinaadid õigesti välja - see on võtmehetk lahendusi ja mis tahes viga siin viib vale vastuseni.

Füüsikalises mõttes on tuletis mis tahes protsessi muutumise kiirus. Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x(t) = t²-13t+23, kus x on kaugus võrdluspunktist meetrites, t on aeg sekundites mõõdetuna liikumise algusest.

Ringi puutuja, ellips, hüperbool, parabool.

Tuletan meelde, et see kõlab nii: funktsiooni nimetatakse intervalli suurendamiseks/kahanemiseks, kui funktsiooni suurem argument vastab funktsiooni suuremale/väiksemale väärtusele. Aga vaadake palun oma lahendust ülesandele 7089. Seal ei arvestata kasvuvahemike määramisel piire. Pange tähele, et tuletise graafik on antud. Nagu tavaliselt: torgatud punkt ei asu diagrammil, selles olevaid väärtusi ei eksisteeri ja neid ei võeta arvesse. Hästi ettevalmistatud lapsed eristavad mõisteid "tuletis" ja "teine ​​tuletis". Ajad segadusse: kui tuletis pöördus 0-ks, siis punktis võiks funktsioonil olla miinimum või maksimum. Tuletise negatiivsed väärtused vastavad intervallidele, mille jooksul funktsioon f(x) väheneb.

Kuni selle hetkeni oleme tegelenud üheväärtuslike funktsioonide graafikute puutujate võrrandite leidmisega vormis y = f(x) erinevates punktides.

Alloleval joonisel on kujutatud kolm tegelikult erinevat sekanti (punktid A ja B on erinevad), kuid need langevad kokku ja on antud ühe võrrandiga. Aga ikkagi, kui definitsioonist lähtuda, siis joon ja selle sekantsirge langevad kokku. Alustame puutepunktide koordinaatide leidmist. Palume sellele tähelepanu pöörata, sest hiljem kasutame seda puutepunktide ordinaatide arvutamisel. Hüperbool, mille keskpunkt on punktis ja tipud ning mis on antud võrdusmärgiga (joonis allpool vasakul) ning tippude ja - võrdsusega (joonis all paremal). Tekib loogiline küsimus, kuidas määrata, millisele funktsioonile punkt kuulub. Sellele vastamiseks asendame igas võrrandis koordinaadid ja vaatame, milline võrdustest muutub identiteediks.

Mõnikord küsivad õpilased, mis on funktsiooni graafiku puutuja. See on sirgjoon, millel on ainus ühine punkt selles jaotises oleva graafikuga, nagu on näidatud meie joonisel. See näeb välja nagu ringi puutuja. Otsime üles. Peame meeles, et täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on võrdne vastasjala suhtega külgnevasse. Graafikul vastab see järsule katkestusele, kui antud punktis pole puutujat võimalik joonistada. Kuidas aga leida tuletist, kui funktsioon on antud mitte graafiku, vaid valemiga?