Kuidas leida kesk- ja sissekirjutatud nurki. Sissekirjutatud nurkade omadused
Selles artiklis räägin teile, kuidas lahendada probleeme, mis kasutavad .
Kõigepealt tuletagem meelde, nagu tavaliselt, definitsioonid ja teoreemid, mida peate teadma, et ülesandeid edukalt lahendada.
1.Sissekirjutatud nurk on nurk, mille tipp asub ringil ja mille küljed lõikuvad ringiga:
2.Kesknurk on nurk, mille tipp langeb kokku ringi keskpunktiga:
Ringkaare kraadiväärtus mõõdetuna väärtuse järgi kesknurk mis sellele toetub.
Sel juhul on kaare AC kraadi väärtus võrdne nurga AOS väärtusega.
3. Kui sissekirjutus- ja kesknurk põhinevad samal kaarel, siis sisse kirjutatud nurk on poole väiksem kesknurgast:
4. Kõik sisse kirjutatud nurgad, mis toetuvad ühele kaarele, on üksteisega võrdsed:
5. Läbimõõduga sisse kirjutatud nurk on 90°:
Lahendame mitu probleemi.
1 . Ülesanne B7 (nr 27887)
Leiame samale kaarele toetuva kesknurga väärtuse:
Ilmselgelt on nurk AOC võrdne 90°, seega on nurk ABC võrdne 45°
Vastus: 45°
2. Ülesanne B7 (nr 27888)
Leia nurga ABC suurus. Esitage oma vastus kraadides.
Ilmselgelt on nurk AOC 270°, siis nurk ABC 135°.
Vastus: 135°
3. Ülesanne B7 (nr 27890)
Leia nurga ABC all oleva ringi kaare AC kraadiväärtus. Esitage oma vastus kraadides.
Leiame kesknurga väärtuse, mis toetub kaarele AC:
Nurga AOS suurus on 45°, järelikult on kaare AC kraadimõõt 45°.
Vastus: 45°.
4 . Ülesanne B7 (nr 27885)
Leidke nurk ACB, kui sisse kirjutatud nurgad ADB ja DAE toetuvad ringkaaredele, mille kraadiväärtused on vastavalt võrdsed ja. Esitage oma vastus kraadides.
Nurk ADB toetub kaarele AB, seega on kesknurga AOB väärtus võrdne 118°, seega nurk BDA on 59° ja külgnev nurk ADC on võrdne 180°-59° = 121° 
Sarnaselt on nurk DOE 38° ja vastav sisse kirjutatud nurk DAE 19°.
Kaaluge kolmnurka ADC:
Kolmnurga nurkade summa on 180°.
Nurk ACB on võrdne 180°- (121°+19°)=40°
Vastus: 40°
5 . Ülesanne B7 (nr 27872)
Nelinurga ABCD AB, BC, CD ja AD küljed ühendavad piiritletud ringikaare, mille kraadiväärtused on vastavalt võrdsed , , ja . Leidke selle nelinurga nurk B. Esitage oma vastus kraadides.
Nurk B toetub kaarele ADC, mille väärtus on võrdne kaare AD ja CD väärtuste summaga, st 71°+145°=216°
Sissekirjutatud nurk B on võrdne poole kaare ADC suurusest, see tähendab 108°
Vastus: 108°
6. Ülesanne B7 (nr 27873)
Ringjoonel asuvad punktid A, B, C, D jagavad selle ringi neljaks kaareks AB, BC, CD ja AD, mille kraadiväärtused on vastavalt 4:2:3:6. Leia nelinurga ABCD nurk A. Esitage oma vastus kraadides.
(vt eelmise ülesande joonist)
Kuna oleme andnud kaare suuruste suhte, siis võtame kasutusele ühikelemendi x. Seejärel väljendatakse iga kaare suurust järgmise suhtega:
AB = 4x, BC = 2x, CD = 3x, AD = 6x. Kõik kaared moodustavad ringi, see tähendab, et nende summa on 360°.
4x+2x+3x+6x=360°, seega x=24°.
Nurka A toetavad kaared BC ja CD, mille väärtus on kokku 5x=120°.
Seetõttu on nurk A 60°
Vastus: 60°
7. Ülesanne B7 (nr 27874)
Nelinurk ABCD ringi sisse kirjutatud. Nurk ABC võrdne , nurk CAD
Nurk ABC on sisse kirjutatud nurk. See toetub kaarele AC, mis on selle külgede vahele suletud (joonis 330).
Teoreem. Sissekirjutatud nurka mõõdetakse poole kaarega, millele see langeb.
Seda tuleks mõista nii: sisse kirjutatud nurk sisaldab nii palju nurgakraade, minuteid ja sekundeid, kui palju on kaarekraade, minuteid ja sekundeid kaare pooles, millel see toetub.
Selle teoreemi tõestamisel tuleb arvestada kolme juhtumiga.
Esimene juhtum. Ringi keskpunkt asub sisse kirjutatud nurga küljel (joonis 331).
Olgu ∠ABC sisse kirjutatud nurk ja ringi O keskpunkt asub küljel BC. On vaja tõestada, et seda mõõdetakse poolkaare vahelduvvooluga.
Ühendame punkti A ringi keskpunktiga. Sama ringjoone raadiustena saame võrdhaarse \(\Delta\)AOB, milles AO = OB. Seetõttu ∠A = ∠B.
∠AOC on kolmnurgast AOB väline, seega ∠AOC = ∠A + ∠B ja kuna nurgad A ja B on võrdsed, siis ∠B on 1/2 ∠AOC.
Kuid ∠AOC mõõdetakse kaarega AC, seega ∠B mõõdetakse poole vahelduvkaarega.
Näiteks kui \(\breve(AC)\) sisaldab 60°18', siis ∠B sisaldab 30°9'.
Teine juhtum. Ringi keskpunkt asub sisse kirjutatud nurga külgede vahel (joonis 332).
Olgu ∠ABD sisse kirjutatud nurk. Ringi O keskpunkt asub selle külgede vahel. Peame tõestama, et ∠ABD mõõdetakse poole kaare võrra AD.
Selle tõestamiseks joonistagem läbi diameeter BC. Nurk ABD on jagatud kaheks nurgaks: ∠1 ja ∠2.
∠1 mõõdetakse poolkaare vahelduvvooluga ja ∠2 mõõdetakse poolkaarega CD, seega mõõdetakse kogu ∠ABD 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \(\breve (CD)\), st poolkaare AD.
Näiteks kui \(\breve(AD)\) sisaldab 124°, siis ∠B sisaldab 62°.
Kolmas juhtum. Ringi keskpunkt asub väljaspool sisse kirjutatud nurka (joonis 333).
Olgu ∠MAD sisse kirjutatud nurk. Ringi O keskpunkt asub väljaspool nurka. Peame tõestama, et ∠MAD mõõdetakse poole kaarega MD.
Selle tõestamiseks joonistame läbimõõdu AB. ∠MAD = ∠MAB – ∠DAB. Kuid ∠MAB mõõdab 1/2 \(\breve(MB)\) ja ∠DAB mõõdab 1/2 \(\breve(DB)\).
Seetõttu mõõdab ∠MAD 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), st 1/2 \(\breve(MD)\).
Näiteks kui \(\breve(MD)\) sisaldab 48° 38", siis ∠MAD sisaldab 24° 19' 8".
Tagajärjed
1.
Kõik sama kaare sisse kirjutatud nurgad on üksteisega võrdsed, kuna neid mõõdetakse poolega samast kaarest
(joonis 334, a).
2. Diameetriga piiratud sisse kirjutatud nurk on täisnurk, kuna see katab pool ringi. Pool ringi sisaldab 180 kaare kraadi, mis tähendab, et läbimõõdul põhinev nurk sisaldab 90 kaare kraadi (joonis 334, b).
Kõige sagedamini algab matemaatika ühtseks riigieksamiks valmistumine põhimääratluste, valemite ja teoreemide kordamisega, sealhulgas teemal "Ringi kesk- ja sisse kirjutatud nurgad". Tavaliselt, see jaotis Gümnaasiumis õpitakse planimeetriat. Pole üllatav, et paljud õpilased seisavad silmitsi vajadusega läbi vaadata põhimõisted ja teoreemid teemal "Ringi kesknurk". Olles mõistnud selliste probleemide lahendamise algoritmi, saavad koolilapsed loota ühtse riigieksami sooritamise tulemuste põhjal võistlusskooride saamisele.
Kuidas lihtsalt ja tõhusalt valmistuda sertifitseerimistesti läbimiseks?
Enne ühtse riigieksami sooritamist õppides seisavad paljud gümnasistid silmitsi probleemiga leida vajalikku teavet teemal “Ringi kesk- ja sisse kirjutatud nurgad”. Alati ei ole kooliõpik käepärast. Ja valemite otsimine Internetist võtab mõnikord palju aega.
Meie meeskond aitab teil oma oskusi "pumbata" ja täiendada teadmisi sellises keerulises geomeetria osas nagu planimeetria haridusportaal. “Shkolkovo” pakub gümnaasiumiõpilastele ja nende õpetajatele uut võimalust ühtseks riigieksamiks valmistumise protsessi ülesehitamiseks. Kogu põhimaterjali esitavad meie spetsialistid võimalikult suures ulatuses. juurdepääsetav vorm. Pärast jaotise "Teoreetiline taust" teabe lugemist saavad õpilased teada, millised omadused on ringi kesknurgal, kuidas leida selle väärtust jne.
Seejärel soovitame omandatud teadmiste ja oskuste kinnistamiseks sooritada vastavaid harjutusi. Suur valik ülesandeid ringi sisse kirjutatud nurga suuruse ja muude parameetrite leidmiseks on toodud jaotises "Kataloog". Iga harjutuse jaoks kirjutasid meie eksperdid välja üksikasjaliku lahenduse ja märkisid õige vastuse. Saidil olevat ülesannete loendit täiendatakse ja uuendatakse pidevalt.
Gümnaasiumiõpilased saavad ühtseks riigieksamiks valmistuda, harjutades harjutusi, näiteks kesknurga suuruse ja ringikaare pikkuse leidmiseks Internetis mis tahes Venemaa piirkonnast.
Vajadusel saab lõpetatud ülesande salvestada jaotisesse “Lemmikud”, et hiljem selle juurde naasta ja veel kord selle lahenduse põhimõtet analüüsida.
Kesknurk on nurk, mille tipp asub ringi keskpunktis.
Sissekirjutatud nurk- nurk, mille tipp asub ringil ja mille küljed lõikuvad sellega.
Joonisel on kujutatud kesk- ja sissekirjutatud nurgad ning nende olulisemad omadused.
Niisiis, kesknurga suurus on võrdne selle kaare nurgasuurusega, millel see toetub. See tähendab, et 90-kraadine kesknurk toetub kaarele, mis võrdub 90°, see tähendab ringiga. Kesknurk, mis on võrdne 60°, toetub 60-kraadisele kaarele, see tähendab ringi kuuendale osale.
Sissekirjutatud nurga suurus on kaks korda väiksem kui samal kaarel põhinev kesknurk.
Samuti vajame probleemide lahendamiseks mõistet "akord".
Võrdsed kesknurgad ühendavad võrdsed akordid.
1. Kui suur on sisse kirjutatud nurk, mis jääb ringi läbimõõduga alla? Esitage oma vastus kraadides.
Läbimõõduga sisse kirjutatud nurk on täisnurk.
2. Kesknurk on 36° suurem kui sama ringkaarega ümbritsetud terav nurk. Leidke sisse kirjutatud nurk. Esitage oma vastus kraadides.
Olgu kesknurk võrdne x-ga ja sama kaare all olev sissekirjutatud nurk võrdne y-ga.
Teame, et x = 2y.
Seega 2a = 36 + y,
y = 36.
3. Ringjoone raadius on võrdne 1-ga. Leidke kõõluga jäetud nüri nurga väärtus, mis on võrdne . Esitage oma vastus kraadides.
Olgu akord AB võrdne . Sellel kõõlul põhinevat nürinurka tähistatakse tähega α.
Kolmnurga AOB küljed AO ja OB on võrdsed 1-ga, külg AB on võrdne . Oleme selliseid kolmnurki juba kohanud. Ilmselgelt on kolmnurk AOB ristkülikukujuline ja võrdhaarne, see tähendab, et nurk AOB on 90°.
Siis on kaar ACB võrdne 90° ja kaar AKB võrdub 360° - 90° = 270°.
Sissekirjutatud nurk α toetub kaarele AKB ja on võrdne poolega selle kaare nurga väärtusest, see tähendab 135°.
Vastus: 135.
4. Kõõl AB jagab ringi kaheks osaks, mille kraadiväärtused on vahekorras 5:7. Millise nurga all on see kõõl nähtav punktist C, mis kuulub ringi väiksemasse kaaresse? Esitage oma vastus kraadides.
Peamine selles ülesandes on õige joonistamine ja tingimuste mõistmine. Kuidas mõistate küsimust: "Mis nurga all on kõõl punktist C nähtav?"
Kujutage ette, et istud punktis C ja sa pead nägema kõike, mis toimub akordil AB. Tundub, nagu oleks akord AB ekraan kinos :-)
Ilmselgelt peate leidma nurga ACB.
Kahe kaare summa, milleks kõõl AB jagab ringi, on 360°, see on
5x + 7x = 360°
Seega x = 30° ja seejärel toetub sisse kirjutatud nurk ACB kaarele, mis on võrdne 210°.
Sissekirjutatud nurga suurus on võrdne poolega selle kaare nurga suurusest, millel see toetub, mis tähendab, et nurk ACB on 105°.
Juhised
Kui on teada ringjoone raadius (R) ja soovitud kesknurgale (θ) vastava kaare pikkus (L), saab seda arvutada nii kraadides kui ka radiaanides. Kogusumma määratakse valemiga 2*π*R ja see vastab kesknurgale 360° või kahele Pi-arvule, kui kraadide asemel kasutatakse radiaane. Seetõttu lähtuge proportsioonist 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Väljendage sellest kesknurk radiaanides θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R või kraadides θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) ja arvutage saadud valemi abil.
Kesknurka (θ) määravaid punkte ühendava kõõlu pikkuse (m) põhjal saab välja arvutada ka selle väärtuse, kui on teada ringi raadius (R). Selleks kaaluge kolmnurka, mille moodustavad kaks raadiust ja . See on võrdhaarne kolmnurk, kõik on teada, kuid peate leidma aluse vastasnurga. Selle poole siinus võrdub aluse - kõõlu - pikkuse ja külje kahekordse pikkuse suhtega - raadiusega. Seetõttu kasutage arvutusteks pöördsiinusfunktsiooni - arssiinus: θ = 2*arcsin(½*m/R).
Kesknurka saab määrata pöörde osades või pööratud nurga all. Näiteks kui teil on vaja leida kesknurk, mis vastab veerandile täispöördest, jagage 360° neljaga: θ = 360°/4 = 90°. Sama väärtus radiaanides peaks olema 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Voldimata nurk on võrdne poole täispöördega, seetõttu on näiteks veerandile vastav kesknurk nii kraadides kui radiaanides pool ülaltoodud väärtustest.
Siinuse pöördfunktsiooni nimetatakse trigonomeetriliseks funktsiooniks arcsiin. See võib võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi poole arvu Pi piires. negatiivne pool mõõdetuna radiaanides. Kraadides mõõdetuna on need väärtused vastavalt vahemikus -90° kuni +90°.
Juhised
Mõnda "ümmargust" väärtust pole vaja arvutada, neid on lihtsam meeles pidada. Näiteks:- kui funktsiooni argument võrdne nulliga, siis on ka selle arsiinuse väärtus null; - 1/2 on võrdne 30° või 1/6 Pi, kui seda mõõdetakse; - arsiinus -1/2 võrdub -30° või -1/ 6 arvust Pi in; - arcsinus 1-st võrdub 90° või 1/2 Pi-st radiaanides; - arsiinus -1 võrdub -90° või -1/2 Pi-st radiaanides;
Selle funktsiooni väärtuste mõõtmiseks muude argumentide põhjal on lihtsaim viis kasutada tavalist Windowsi kalkulaatorit, kui see on käepärast. Alustamiseks avage peamenüü nupul "Start" (või vajutades WIN-klahvi), minge jaotisse "Kõik programmid" ja seejärel alamjaotisesse "Tarvikud" ja klõpsake "Kalkulaator".
Lülitage kalkulaatori liides töörežiimile, mis võimaldab arvutada trigonomeetrilised funktsioonid. Selleks avage selle menüüs jaotis "Vaade" ja valige "Inseneritöö" või "Teadus" (olenevalt tüübist operatsioonisüsteem).
Sisestage argumendi väärtus, millest arktangens tuleks arvutada. Seda saab teha, klõpsates hiirega kalkulaatori liidesel olevaid nuppe või vajutades nuppe või kopeerides väärtuse (CTRL + C) ja seejärel kleepides (CTRL + V) kalkulaatori sisestusväljale.
Valige mõõtühikud, milles peate funktsiooni arvutamise tulemuse saama. Sisestusvälja all on kolm valikut, mille hulgast tuleb valida (hiirega klõpsates) üks - , radiaanid või rad.
Märkige ruut, mis muudab kalkulaatori liidese nuppudel näidatud funktsioonid ümber. Selle kõrval on lühike kiri Inv.
Klõpsake patu nuppu. Kalkulaator pöörab sellega seotud funktsiooni ümber, teostab arvutuse ja esitab teile tulemuse määratud ühikutes.
Video teemal
Üks levinumaid geomeetrilised probleemid on ringikujulise lõigu pindala arvutamine - ringjoone osa, mis on piiratud kõõluga ja vastav kõõl ringjoone kaarega.
Ringikujulise segmendi pindala on võrdne vastava ringikujulise sektori pindala ja lõigule vastava sektori raadiuste ja lõiku piirava kõõlu moodustatud kolmnurga pindala vahega.
Näide 1
Ringi alluva kõõlu pikkus on võrdne väärtusega a. Kõõlule vastava kaare kraadimõõt on 60°. Leidke ringikujulise segmendi pindala.
Lahendus
Kahe raadiuse ja kõõlusega moodustatud kolmnurk on võrdhaarne, seega kesknurga tipust kõõluga moodustatud kolmnurga küljeni tõmmatud kõrgus on ka kesknurga poolitaja, jagades selle pooleks ja mediaan, jagades akordi pooleks. Teades, et nurga siinus on võrdne vastasjala ja hüpotenuusi suhtega, saame arvutada raadiuse:
Sin 30° = a/2:R = 1/2;
Sc = πR²/360°*60° = πa²/6
S▲=1/2*ah, kus h on kesknurga tipust kõõluni tõmmatud kõrgus. Pythagorase teoreemi järgi h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.
Vastavalt sellele S▲=√3/4*a².
Segmendi pindala, arvutatuna Sreg = Sc - S▲, on võrdne:
Sreg = πa²/6 – √3/4*a²
Asendamine numbriline väärtus Väärtuse a asemel saate hõlpsalt arvutada segmendi pindala arvväärtuse.
Näide 2
Ringjoone raadius on võrdne a. Lõigule vastava kaare kraadimõõt on 60°. Leidke ringikujulise segmendi pindala.
Lahendus:
Antud nurgale vastava sektori pindala saab arvutada järgmise valemi abil:
Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,
Sektorile vastava kolmnurga pindala arvutatakse järgmiselt:
S▲=1/2*ah, kus h on kesknurga tipust kõõluni tõmmatud kõrgus. Pythagorase teoreemi järgi h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.
Vastavalt sellele S▲=√3/4*a².
Ja lõpuks, segmendi pindala, arvutatuna Sreg = Sc - S▲, on võrdne:
Sreg = πa²/6 – √3/4*a².
Mõlemal juhul on lahendused peaaegu identsed. Seega võime järeldada, et segmendi pindala arvutamiseks kõige lihtsamal juhul piisab, kui on teada segmendi kaarele vastava nurga väärtus ja üks kahest parameetrist - kas ringi raadius või lõigu moodustava ringjoone kaare all oleva kõõlu pikkus.
Allikad:
- Segment - geomeetria
