Valem joontega piiratud kujundi pindala leidmiseks. Arvutage joontega piiratud kujundi pindala

Hakkame kaaluma topeltintegraali arvutamise tegelikku protsessi ja tutvume selle geomeetrilise tähendusega.

Topeltintegraal numbriliselt võrdne pindalaga lame figuur (integratsiooni piirkond). See lihtsaim vorm topeltintegraal, kui kahe muutuja funktsioon on võrdne ühega: .

Mõelgem kõigepealt probleemile üldine vaade. Nüüd olete üsna üllatunud, kui lihtne kõik tegelikult on! Arvutame tasase kujundi pindala, piiratud joontega. Kindluse huvides eeldame, et segmendil . Selle joonise pindala on arvuliselt võrdne:

Kujutame ala joonisel:

Valime ala läbimiseks esimese viisi:

Seega:

Ja kohe oluline tehniline tehnika: itereeritud integraale saab arvutada eraldi. Kõigepealt sisemine integraal, seejärel välimine integraal. See meetod Soovitan soojalt teemaalgajatele.

1) Arvutame sisemise integraali ja integreerimine toimub muutuja “y” kaudu:

Määramatu integraal on siin kõige lihtsam ja siis kasutatakse banaalset Newtoni-Leibnizi valemit, ainsa erinevusega, et integreerimise piirid ei ole numbrid, vaid funktsioonid. Esiteks asendasime ülemise piiri "y"-ga (antiderivatiivne funktsioon), seejärel alumine piir

2) Esimeses lõigus saadud tulemus tuleb asendada välisintegraaliga:

Kogu lahenduse kompaktsem esitus näeb välja järgmine:

Saadud valem on täpselt töövalem tasapinnalise kujundi pindala arvutamiseks "tavalise" kindla integraali abil! Vaadake õppetundi Pindala arvutamine kasutades kindel integraal , seal ta on igal sammul!

See on, probleem pindala arvutamisel topeltintegraali abil ei erine palju ala leidmise probleemist kindla integraali abil! Tegelikult on see sama asi!

Seetõttu ei tohiks raskusi tekkida! Ma ei vaata väga palju näiteid, kuna tegelikult olete selle ülesandega korduvalt kokku puutunud.

Näide 9

Lahendus: Kujutame ala joonisel:

Valime ala läbimise järgmise järjekorra:

Siin ja edasi ma ei peatu sellel, kuidas ala läbida, kuna esimeses lõigus anti väga üksikasjalikud selgitused.

Seega:

Nagu ma juba märkisin, on algajatele parem itereeritud integraalid eraldi arvutada ja jään sama meetodi juurde:

1) Esiteks, kasutades Newtoni-Leibnizi valemit, käsitleme sisemist integraali:

2) Esimeses etapis saadud tulemus asendatakse välise integraaliga:

Punkt 2 on tegelikult tasapinnalise kujundi pindala leidmine kindla integraali abil.

Vastus:

See on nii rumal ja naiivne ülesanne.

Huvitav näide iseseisva lahenduse kohta:

Näide 10

Arvutage topeltintegraali abil tasapinnalise kujundi pindala, mis on piiratud joontega , ,

Lõpplahenduse ligikaudne näide tunni lõpus.

Näidetes 9-10 on palju tulusam kasutada ala läbimiseks esimest meetodit, uudishimulikud lugejad, muide, saavad läbimise järjekorda muuta ja alasid arvutada teise meetodi abil. Kui te ei eksi, saate loomulikult samad pindalaväärtused.

Kuid mõnel juhul on teine ala läbimise meetod tõhusam ja noore nohiku kursuse lõpus vaatame sellel teemal veel paari näidet:

Näide 11

Arvutage topeltintegraali abil joontega piiratud tasapinnalise kujundi pindala,

Lahendus: Ootame kahte omapäraga parabooli, mis asetsevad külili. Pole vaja naeratada, sarnased asjad esinevad üsna sageli mitmes integraalis.

Kuidas on kõige lihtsam joonistada?

Kujutagem ette parabooli kahe funktsiooni kujul:
– ülemine haru ja – alumine haru.

Samamoodi kujutage ette parabooli ülemise ja alumise kujul oksad.

Järgmiseks graafikureeglite punktipõhine joonistamine, mille tulemuseks on selline veider joonis:

Arvutame joonise pindala topeltintegraali abil vastavalt valemile:

Mis juhtub, kui valime ala läbimiseks esimese meetodi? Esiteks tuleb see ala jagada kaheks osaks. Ja teiseks jälgime seda kurba pilti: . Integraalid pole muidugi ülikeerulise tasemega, aga... on vana matemaatiline ütlus: see, kes on juurte lähedal, ei vaja testi.

Seetõttu väljendame tingimuses antud arusaamatusest pöördfunktsioonid:

Selle näite pöördfunktsioonide eeliseks on see, et nad määravad kogu parabooli korraga ilma lehtede, tammetõrude, okste ja juurteta.

Teise meetodi kohaselt on ala läbimine järgmine:

Seega:

Nagu öeldakse, tunneta erinevust.

1) Tegeleme sisemise integraaliga:

Asendame tulemuse välimise integraaliga:

Integreerimine muutuja "y" kohal ei tohiks segadust tekitada; kui oleks olemas täht "zy", oleks suurepärane integreerida selle üle. Kuigi kes loeb tunni teist lõiku Kuidas arvutada pöörleva keha ruumala, ei koge ta “Y” meetodi järgi integreerimisel enam vähimatki kohmetust.

Pöörake tähelepanu ka esimesele sammule: integrand on paaris ja integreerimise intervall on nulli suhtes sümmeetriline. Seetõttu saab segmenti poole võrra vähendada ja tulemust kahekordistada. Seda tehnikat kirjeldatakse õppetükis üksikasjalikult. Tõhusad meetodid kindla integraali arvutamine.

Mida lisada…. Kõik!

Vastus:

Integreerimistehnika testimiseks võite proovida arvutada . Vastus peaks olema täpselt sama.

Näide 12

Arvutage topeltintegraali abil joontega piiratud tasapinnalise kujundi pindala

See on näide, mille saate ise lahendada. Huvitav on märkida, et kui proovite kasutada ala läbimise esimest meetodit, ei pea kujund enam kaheks, vaid kolmeks osaks jagama! Ja vastavalt saame kolm paari korduvaid integraale. Mõnikord juhtub.

Meistriklass on lõppenud ja on aeg liikuda edasi suurmeistri tasemele - Kuidas arvutada topeltintegraali? Näited lahendustest. Püüan teises artiklis mitte nii maniakaalne olla =)

Soovin teile edu!

Lahendused ja vastused:

Näide 2:Lahendus: Kujutame piirkonda joonisel:

Valime ala läbimise järgmise järjekorra:

Seega:
Liigume edasi pöördfunktsioonide juurde:

Seega:
Vastus:

Näide 4:Lahendus: Liigume edasi otseste funktsioonide juurde:

Teeme joonise:

Muudame ala läbimise järjekorda:

Vastus:

Tegelikult pole figuuri pindala leidmiseks vaja nii palju teadmisi määramata ja kindla integraali kohta. Ülesanne “arvuta pindala kindla integraali abil” hõlmab alati joonise koostamist, nii palju veel aktuaalne teema on teie teadmised ja oskused joonistamisel. Sellega seoses on kasulik värskendada oma mälu põhiliste elementaarfunktsioonide graafikutest ning vähemalt osata konstrueerida sirgjoont ja hüperbooli.

Kõver trapets on lame kujund, mis on piiratud telje, sirgjoonte ja lõigul pideva funktsiooni graafikuga, mis sellel intervallil märki ei muuda. Olgu see kujund asukoht mitte vähem x-telg:

Siis ruut kaarjas trapets arvuliselt võrdne kindla integraaliga. Igal kindlal integraalil (mis eksisteerib) on väga hea geomeetriline tähendus.

Geomeetria seisukohalt on kindel integraal ALA.

See on, teatud integraal (kui see on olemas) vastab geomeetriliselt teatud joonise pindalale. Vaatleme näiteks kindlat integraali. Integrand määrab kõvera telje kohal asuval tasapinnal (soovijad saavad joonistada) ja kindel integraal ise on numbriliselt võrdne vastava kõverjoonelise trapetsi pindalaga.

Näide 1

See on tüüpiline määramisavaldus. Otsuse esimene ja kõige olulisem punkt on joonise konstrueerimine. Veelgi enam, joonis tuleb konstrueerida ÕIGE.

Joonise koostamisel soovitan järgmist järjekorda: Esiteks parem on konstrueerida kõik sirged (kui need on olemas) ja ainult Siis- paraboolid, hüperboolid, muude funktsioonide graafikud. Kasumlikum on koostada funktsioonide graafikuid punkt punktilt.

Selle probleemi puhul võib lahendus välja näha selline.
Joonistame joonise (pange tähele, et võrrand määrab telje):

Segmendil asub funktsiooni graafik telje kohal, Sellepärast:

Vastus:

Pärast ülesande täitmist on alati kasulik vaadata joonist ja aru saada, kas vastus vastab tõele. Sel juhul loendame "silma järgi" joonisel olevate lahtrite arvu - noh, neid on umbes 9, see tundub olevat tõsi. On täiesti selge, et kui saime, ütleme, vastuseks: 20 ruutühikut, siis on ilmselge, et kuskil tehti viga - 20 lahtrit ilmselgelt ei mahu kõnealusele joonisele, kõige rohkem kümmekond. Kui vastus on eitav, siis oli ka ülesanne valesti lahendatud.

Näide 3

Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joonte ja koordinaattelgedega.

Lahendus: Teeme joonise:

Kui asub kõver trapets telje all(või vähemalt mitte kõrgem antud telg), siis selle pindala saab leida järgmise valemi abil:

Sel juhul:

Tähelepanu! Neid kahte tüüpi ülesandeid ei tohiks segi ajada:

1) Kui teil palutakse lahendada lihtsalt kindel integraal ilma geomeetrilise tähenduseta, võib see olla negatiivne.

2) Kui teil palutakse leida figuuri pindala kindla integraali abil, siis on pindala alati positiivne! Seetõttu ilmub äsja arutatud valemis miinus.

Praktikas paikneb joonis enamasti nii ülemisel kui alumisel pooltasandil ja seetõttu liigume lihtsamate kooliülesannete juurest edasi sisukamate näidete juurde.

Näide 4

Leidke tasapinnalise kujundi pindala, mis on piiratud joontega , .

Lahendus: Kõigepealt peate joonise lõpetama. Üldiselt huvitab meid pindalaülesannetes joonise konstrueerimisel enim joonte lõikepunktid. Leiame parabooli ja sirge lõikepunktid. Seda saab teha kahel viisil. Esimene meetod on analüütiline. Lahendame võrrandi:

See tähendab, et integratsiooni alumine piir on , integratsiooni ülempiir on .

Võimaluse korral on parem seda meetodit mitte kasutada..

Punkthaaval on sirgeid palju tulusam ja kiirem ehitada ning integratsiooni piirid saavad selgeks "iseenesest". Sellegipoolest tuleb piiride leidmise analüütilist meetodit mõnikord siiski kasutada, kui näiteks graafik on piisavalt suur või detailne konstruktsioon ei toonud esile integreerimise piire (need võivad olla murdosalised või irratsionaalsed). Ja me kaalume ka sellist näidet.

Tuleme tagasi oma ülesande juurde: ratsionaalsem on kõigepealt konstrueerida sirge ja alles siis parabool. Teeme joonise:

Ja nüüd töövalem: Kui segmendil on pidev funktsioon suurem või võrdne mõni pidev funktsioon , siis nende funktsioonide graafikute ja joontega piiritletud joonise pindala , leiate valemiga:

Siin ei pea te enam mõtlema, kus joonis asub - telje kohal või telje all ja jämedalt öeldes loeb, milline graafik on KÕRGEM(teise graafiku suhtes), ja milline neist on ALL.

Vaadeldavas näites on ilmne, et lõigul asub parabool sirgest kõrgemal ja seetõttu tuleb sellest lahutada

Valmis lahendus võib välja näha selline:

Soovitud figuuri piirab ülaltoodud parabool ja allpool sirgjoon.
Segmendil vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Näide 4

Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega , , , .

Lahendus: Kõigepealt teeme joonise:

Kuju, mille ala peame leidma, on sinise varjundiga(vaadake hoolikalt seisukorda - kuidas figuur on piiratud!). Kuid praktikas juhtub tähelepanematuse tõttu sageli "tõrge", et peate leidma roheliseks varjutatud figuuri ala!

See näide on kasulik ka selle poolest, et see arvutab kujundi pindala kahe kindla integraali abil.

Tõesti:

1) Lõigul telje kohal on sirge graafik;

2) Lõigul telje kohal on hüperbooli graafik.

On üsna ilmne, et piirkondi saab (ja tuleks) lisada, seega:

Sellest artiklist saate teada, kuidas integraalarvutuste abil leida joontega piiratud joonise pindala. Esimest korda puutume sellise probleemi sõnastamisega kokku keskkoolis, mil oleme just lõpetanud kindlate integraalide õppe ja on aeg alustada omandatud teadmiste geomeetrilist tõlgendamist praktikas.

Niisiis, mida on vaja integraalide abil figuuri pindala leidmise probleemi edukaks lahendamiseks:

Oskus teha pädevaid jooniseid;
Oskus lahendada kindlat integraali, kasutades tuntud Newton-Leibnizi valemit;
Võimalus “näha” tulusamat lahendusvarianti – s.t. mõistad, kuidas ühel või teisel juhul on integreerimist mugavam läbi viia? Piki x-telge (OX) või y-telge (OY)?
Noh, kus me oleksime ilma õigete arvutusteta?) See hõlmab seda teist tüüpi integraalide lahendamise mõistmist ja õigeid arvulisi arvutusi.

Algoritm joontega piiratud joonise pindala arvutamise ülesande lahendamiseks:

1. Ehitame joonist. Soovitav on seda teha ruudulisel paberil, suures mahus. Selle funktsiooni nime kirjutame iga graafiku kohale pliiatsiga. Graafikute allkirjastamine toimub ainult edasiste arvutuste hõlbustamiseks. Pärast soovitud joonise graafiku saamist on enamikul juhtudel kohe selge, milliseid integreerimise piire kasutatakse. Seega lahendame probleemi graafiliselt. Siiski juhtub, et piiride väärtused on murdosa või irratsionaalsed. Seetõttu saate teha täiendavaid arvutusi, minge teise sammu juurde.

2. Kui integreerimise piirid pole selgesõnaliselt määratud, siis leiame graafikute omavahelised lõikepunktid ja vaatame, kas meie graafiline lahendus ühtib analüütilise lahendusega.

3. Järgmisena peate joonist analüüsima. Sõltuvalt sellest, kuidas funktsioonigraafikud on paigutatud, on joonise pindala leidmiseks erinevaid lähenemisviise. Mõelgem erinevaid näiteid figuuri pindala leidmisel integraalide abil.

3.1. Probleemi kõige klassikalisem ja lihtsam versioon on siis, kui peate leidma kõvera trapetsi pindala. Mis on kõver trapets? See on tasane joonis, mida piirab x-telg (y = 0), sirge x = a, x = b ja mis tahes pidev kõver intervallil alates a enne b. Pealegi ei ole see arv negatiivne ega asu x-telje all. Sel juhul on kõverjoonelise trapetsi pindala arvuliselt võrdne teatud integraaliga, mis arvutatakse Newtoni-Leibnizi valemi abil:

Näide 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Milliste joontega on joonis piiratud? Meil on parabool y = x2 – 3x + 3, mis asub telje kohal Oh, see ei ole negatiivne, sest kõik selle parabooli punktid on positiivsete väärtustega. Järgmiseks antud sirgjooned x = 1 Ja x = 3, mis kulgevad teljega paralleelselt OU, on joonise piirjooned vasakul ja paremal. Noh y = 0, see on ka x-telg, mis piirab joonist altpoolt. Saadud joonis on varjutatud, nagu on näha vasakpoolselt jooniselt. Sel juhul saate kohe alustada probleemi lahendamisega. Meie ees on lihtne näide kõverast trapetsist, mille lahendame seejärel Newtoni-Leibnizi valemi abil.

3.2. Eelmises lõigus 3.1 uurisime juhtumit, kui kõver trapets asub x-telje kohal. Mõelge nüüd juhtumile, kui ülesande tingimused on samad, välja arvatud see, et funktsioon asub x-telje all. Standardsele Newtoni-Leibnizi valemile lisatakse miinus. Kuidas sellist probleemi lahendada, kaalume allpool.

Näide 2 . Arvutage joontega piiratud kujundi pindala y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Selles näites on meil parabool y = x2 + 6x + 2, mis pärineb teljelt Oh, sirge x = -4, x = -1, y = 0. Siin y = 0 piirab soovitud figuuri ülalt. Otsene x = -4 Ja x = -1 need on piirid, mille piires arvutatakse kindel integraal. Joonise pindala leidmise ülesande lahendamise põhimõte langeb peaaegu täielikult kokku näitega number 1. Ainus erinevus on see, et antud funktsioon ei ole positiivne, vaid on ka intervallil pidev [-4; -1] . Mida sa selle all mõtled, et pole positiivne? Nagu jooniselt näha, on antud x-ide sees oleval joonisel eranditult “negatiivsed” koordinaadid, mida peame ülesande lahendamisel nägema ja meeles pidama. Figuuri pindala otsime Newtoni-Leibnizi valemi abil, ainult alguses miinusmärgiga.

Artikkel ei ole lõpetatud.

Ülesanne nr 3. Koostage joonis ja arvutage joontega piiratud joonise pindala

Integraali rakendamine rakendusülesannete lahendamisel

Pindala arvutamine

Pideva mittenegatiivse funktsiooni f(x) kindel integraal on arvuliselt võrdne kõverjoonelise trapetsi pindala, mida piiravad kõver y = f(x), O x telg ja sirged x = a ja x = b. Vastavalt sellele kirjutatakse pindala valem järgmiselt:

Vaatame mõnda näidet tasapinnaliste kujundite pindalade arvutamisest.

Ülesanne nr 1. Arvutage pindala, mis on piiratud sirgetega y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Lahendus. Koostame joonise, mille pindala peame arvutama.

y = x 2 + 1 on parabool, mille oksad on suunatud ülespoole ja parabool on nihutatud O y-telje suhtes ühe ühiku võrra ülespoole (joonis 1).

Joonis 1. Funktsiooni y = x 2 + 1 graafik

Ülesanne nr 2. Arvutage joontega y = x 2 – 1, y = 0 piiratud pindala vahemikus 0 kuni 1.

Lahendus. Selle funktsiooni graafik on ülespoole suunatud harude parabool ja parabool nihutatakse O y telje suhtes ühe ühiku võrra allapoole (joonis 2).

Joonis 2. Funktsiooni y = x 2 – 1 graafik

Ülesanne nr 3. Koostage joonis ja arvutage joontega piiratud joonise pindala

y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4.

Lahendus. Esimene neist kahest sirgest on parabool, mille harud on suunatud allapoole, kuna x 2 koefitsient on negatiivne, ja teine sirge, mis lõikab mõlemat koordinaattelge.

Parabooli konstrueerimiseks leiame selle tipu koordinaadid: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – tipu abstsiss; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 on selle ordinaat, N(1;9) on tipp.

Nüüd leiame võrrandisüsteemi lahendamise teel parabooli ja sirge lõikepunktid:

Võrrandi paremate külgede võrdsustamine, mille vasak küljed on võrdsed.

Saame 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 või x 2 – 12 = 0, kust .

Seega on punktid parabooli ja sirge lõikepunktid (joonis 1).

Joonis 3 Funktsioonide y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4 graafikud

Ehitame sirge y = 2x – 4. See läbib koordinaattelgedel olevaid punkte (0;-4), (2;0).

Parabooli konstrueerimiseks saab kasutada ka selle lõikepunkte 0x teljega ehk siis võrrandi 8 + 2x – x 2 = 0 või x 2 – 2x – 8 = 0 juuri. Vieta teoreemi kasutades on see lihtne selle juurte leidmiseks: x 1 = 2, x 2 = 4.

Joonisel 3 on kujutatud joonis (paraboolne segment M 1 N M 2), mis on piiratud nende joontega.

Probleemi teine osa on selle joonise ala leidmine. Selle pindala saab leida kindla integraali abil valemi järgi .

Rakendatud see tingimus, saame integraali:

2 Pöörleva keha ruumala arvutamine

Keha ruumala, mis saadakse kõvera y = f(x) pöörlemisel ümber O x telje, arvutatakse järgmise valemiga:

Ümber O y telje pööramisel näeb valem välja järgmine:

Ülesanne nr 4. Määrake keha ruumala, mis saadakse kõvera trapetsi pöörlemisel, mida piiravad sirged x = 0 x = 3 ja kõver y = ümber O x telje.

Lahendus. Joonistame pildi (joonis 4).

Joonis 4. Funktsiooni y = graafik

Vajalik maht on

Ülesanne nr 5. Arvutage keha ruumala, mis saadakse kõvera y = x 2 ja sirgjoontega y = 0 ja y = 4 ümber O y teljega piiratud trapetsi pöörlemisel.

Lahendus. Meil on:

Ülevaate küsimused