Mitmetahuliste sektsioonide ehitamine. Kuidas joonistada kaldlõike

Kas teate, mida nimetatakse hulktahuka lõiguks tasapinnaga? Kui kahtlete endiselt oma vastuse õigsuses sellele küsimusele, saate end üsna lihtsalt kontrollida. Soovitame teil teha allpool lühikese testi.

küsimus. Mis on joonise number, mis näitab rööptahuka läbilõiget tasapinnaga?

Niisiis, õige vastus on joonisel 3.

Kui vastad õigesti, kinnitab see, et saad aru, millega tegu. Kuid kahjuks ei taga isegi testiküsimuse õige vastus teile teema „Polühedra lõigud“ tundides kõrgeimaid hindeid. Lõppude lõpuks on kõige keerulisem mitte lõikude äratundmine valmis joonistel, kuigi see on samuti väga oluline, vaid nende konstruktsioon.

Alustuseks sõnastame hulktahuka lõigu definitsiooni. Seega on hulktahuka lõik hulknurk, mille tipud asuvad hulktahuka servadel ja mille küljed asuvad selle tahkudel.

Nüüd harjutame ristumispunktide kiiret ja täpset koostamist etteantud sirge antud tasapinnaga. Selleks lahendame järgmise probleemi.

Koostage sirge MN lõikepunktid kolmnurkprisma ABCA 1 B 1 C 1 alumise ja ülemise aluse tasanditega eeldusel, et punkt M kuulub külgserva CC 1 ja punkt N kuulub serva BB 1.

Alustame sirgjoone MN pikendamisega joonisel mõlemas suunas (joonis 1). Seejärel pikendame ülesandega nõutavate ristumispunktide saamiseks ülemises ja alumises aluses olevaid jooni. Ja nüüd tuleb probleemi lahendamisel kõige keerulisem hetk: milliseid mõlema aluse ridu tuleb pikendada, kuna igal neist on kolm rida.

Ehituse viimase etapi korrektseks lõpuleviimiseks on vaja kindlaks teha, millised otsealustest on meid huvitava sirgjoonega MN samas tasapinnas. Meie puhul on see sirge CB alumises ja C 1 B 1 ülemises aluses. Ja just neid pikendame, kuni need ristuvad sirgjoonega NM (joonis 2).

Saadud punktid P ja P 1 on sirge MN lõikepunktid kolmnurkprisma ABCA 1 B 1 C 1 ülemise ja alumise aluse tasanditega.

Pärast esitatud probleemi analüüsimist võite jätkata polühedra lõikude konstrueerimisega. Põhipunkt Siin on arutluskäik, mis aitab teil soovitud tulemuseni jõuda. Selle tulemusena proovime lõpuks luua malli, mis kajastaks seda tüüpi probleemide lahendamisel toimingute jada.

Niisiis, kaalume järgmist probleemi. Konstrueerime kolmnurkse prisma ABCA 1 B 1 C 1 lõike tasapinnaga, mis läbib vastavalt servi AA 1, AC ja BB 1 kuuluvaid punkte X, Y, Z.

Lahendus: Joonistame joonise ja määrame, millised punktide paarid asuvad samal tasapinnal.

Punktide X ja Y, X ja Z paarid saab ühendada, sest nad asuvad samas tasapinnas.

Ehitame lisapunkti, mis asub punktiga Z samal pinnal. Selleks pikendame sirgeid XY ja CC 1, kuna nad asuvad näo tasapinnal AA 1 C 1 C. Nimetame saadud punkti P.

Punktid P ja Z asuvad samal tasapinnal – näo tasapinnal CC 1 B 1 B. Seetõttu saame need omavahel ühendada. Sirge PZ lõikab serva CB teatud punktis, nimetagem seda T. Punktid Y ja T asuvad prisma alumisel tasapinnal, ühendage need. Nii moodustus nelinurk YXZT ja see on soovitud lõik.

Tehke kokkuvõte. Tasapinnaga hulktahuka lõigu konstrueerimiseks peate:

1) tõmmake sirgjooned läbi samas tasapinnas asuvate punktipaaride.

2) leida sirged, mida mööda hulktahuka lõiketasandid ja tahud ristuvad. Selleks tuleb leida lõiketasapinnale kuuluva sirge lõikepunktid sirgjoonega, mis asub ühes tahkis.

Polüheedri lõikude konstrueerimise protsess on keeruline, kuna see on igal konkreetsel juhul erinev. Ja ükski teooria ei kirjelda seda algusest lõpuni. Tegelikult on ainult üks kindel viis õppida, kuidas kiiresti ja täpselt mistahes hulktahukaid lõike ehitada – see on pidev praktika. Kuidas rohkem jaotisi ehitate, seda lihtsam on teil seda tulevikus teha.

blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.

Vaatame, kuidas konstrueerida püramiidi lõiku, kasutades konkreetsed näited. Kuna püramiidis puuduvad paralleelsed tasapinnad, siis lõiketasandi lõikejoone (jälje) konstrueerimine näo tasapinnaga hõlmab enamasti sirgjoone tõmbamist läbi kahe selle tahu tasapinnas asuva punkti.

Lihtsamate ülesannete korral peate konstrueerima püramiidi lõigu tasapinnaga, mis läbib antud punkte, mis asuvad juba samal pinnal.

Näide.

Tasaosa konstrueerimine (MNP)

Kolmnurk MNP - püramiidi sektsioon

Punktid M ja N asuvad samal ABS-tasandil, seetõttu saame läbi nende tõmmata sirge. Selle sirge jälg on lõik MN. See on nähtav, mis tähendab, et ühendame M ja N pideva joonega.

Punktid M ja P asuvad samal ACS-tasandil, seega tõmbame nende kaudu sirge. Trace on segment MP. Me ei näe seda, seetõttu joonistame lõigu MP joonega. Samamoodi konstrueerime jälje PN.

Kolmnurk MNP on vajalik osa.

Kui punkt, mille kaudu soovite lõiku joonistada, ei asu mitte serval, vaid näol, siis ei ole see jäljelõigu lõpp.

Näide. Koostage püramiidi lõik, mille tasapind läbib punkte B, M ja N, kus punktid M ja N kuuluvad vastavalt tahkudele ABS ja BCS.

Siin asuvad punktid B ja M ABS-i samal pinnal, nii et saame tõmmata nende kaudu sirge.

Samamoodi tõmbame sirge läbi punktide B ja P. Saime vastavalt jäljed BK ja BL.

Punktid K ja L asuvad ACS-i samal pinnal, nii et saame tõmmata nende kaudu sirge. Selle jälg on segment KL.

Kolmnurk BKL on vajalik osa.

Siiski ei ole alati võimalik punktitingimuses olevate andmete kaudu sirgjoont tõmmata. Sel juhul tuleb leida punkt, mis asub tahkusid sisaldavate tasapindade lõikejoonel.

Näide. Koostage püramiidi lõik, mille tasapind läbib punkte M, N, P.

Punktid M ja N asuvad samal ABS-tasandil, nii et läbi nende saab tõmmata sirge. Saame jälje MN. Samamoodi - NP. Mõlemad märgid on nähtavad, nii et ühendame need pideva joonega.

Punktid M ja P asuvad erinevatel tasapindadel. Seetõttu ei saa me neid sirgjoonega ühendada.

Jätkame sirget NP.

See asub BCS näo tasapinnal. NP lõikub ainult sirgetega, mis asuvad samas tasapinnas. Meil on kolm sellist otseliini: BS, CS ja BC. Sirgetel BS ja CS on juba lõikepunktid – need on vaid N ja P. See tähendab, et otsime NP ristumiskohta sirgega BC.

Lõikepunkt (nimetagem seda H-ks) saadakse sirgeid NP ja BC jätkates ristmikuni.

See punkt H kuulub nii tasapinnale (BCS), kuna see asub sirgel NP, kui ka tasapinnale (ABC), kuna see asub sirgel BC.

Nii saime veel ühe tasapinnas lebava lõiketasandi punkti (ABC).

Saame tõmmata sirge läbi punkti H ja punkti M, mis asuvad samas tasapinnas.

Saame MT jälje.

T on sirgete MH ja AC lõikepunkt.

Kuna T kuulub sirgele AC, saame tõmmata joone läbi selle ja punkti P, kuna mõlemad asuvad samal tasapinnal (ACS).

4-nurkne MNPT on püramiidi soovitud läbilõige antud punkte M,N,P läbiva tasapinnaga.

Töötasime sirgega NP, pikendades seda, et leida lõiketasandi ja tasapinna lõikepunkti (ABC). Kui töötame otsese MN-iga, saame sama tulemuse.

Arutleme nii: sirge MN asub tasapinnal (ABS), seega saab ta ristuda ainult samal tasapinnal asuvate sirgetega. Meil on kolm sellist liini: AB, BS ja AS. Kuid sirgjoonte AB ja BS korral on juba ristumispunktid: M ja N.

See tähendab, et laiendades MN, otsime selle lõikepunkti sirgjoonega AS. Nimetagem seda punkti R-ks.

Punkt R asub sirgel AS, mis tähendab, et see asub ka tasapinnal (ACS), millele sirge AS kuulub.

Kuna punkt P asub tasapinnal (ACS), saame tõmmata sirge läbi R ja P. Saame jälje PT-st.

Punkt T asub tasapinnal (ABC), nii et saame tõmmata selle läbi sirgjoone ja punkti M.

Seega saime sama MNPT ristlõike.

Vaatame teist sellist näidet.

Koostage püramiidi lõik, mille tasapind läbib punkte M, N, P.

Joonistage sirgjoon läbi punktide M ja N, mis asuvad samal tasapinnal (BCS). Saame jälje MN (nähtav).

Joonistage sirgjoon läbi punktide N ja P, mis asuvad samal tasapinnal (ACS). Saame PN (nähtamatu) jälje.

Me ei saa tõmmata sirgjoont läbi punktide M ja P.

1) Sirge MN asub tasapinnal (BCS), kus on veel kolm sirget: BC, SC ja SB. Sirgetel SB ja SC on juba lõikepunktid: M ja N. Seetõttu otsime ristmikupunkti MN BC-ga. Neid ridu jätkates saame punkti L.

Punkt L kuulub sirgele BC, mis tähendab, et see asub tasapinnal (ABC). Seetõttu saame tõmmata sirge läbi L ja P, mis asub samuti tasapinnal (ABC). Tema jälg on PF.

F asub sirgel AB ja seega tasapinnal (ABS). Seetõttu tõmbame läbi F ja punkti M, mis asub samuti tasapinnas (ABS), sirge. Tema jälg on FM. Vajalik on nelinurk MNPF.

2) Teine võimalus on jätkata sirget PN-i. See asub tasapinnal (ACS) ja lõikab sellel tasapinnal asuvaid sirgeid AC ja CS punktides P ja N.

See tähendab, et otsime PN lõikepunkti selle tasandi kolmanda sirgega - AS-ga. Jätkame AS ja PN, ristumiskohas saame punkti E. Kuna punkt E asub tasapinnale (ABS) kuuluval sirgel AS, saame läbi E ja punkti M tõmmata sirge, mis asub ka (ABS) . Tema jälg on FM. Punktid P ja F asuvad veetasandil (ABC), tõmmake läbi nende sirgjoon ja saate jälje PF (nähtamatu).

Selle meetodi puhul on esimene tegevus (pärast nende punktide sekundaarsete projektsioonide leidmist) lõiketasandi jälje loomine prisma või tüvipüramiidi ülemise või alumise aluse tasapinnale või püramiidi alusele.

tagasi 2. Antud on kolmnurkse prisma kujutis ABCA 1 B 1 C 1 ja kolm punktiM, N, P, mis asuvad vastavalt serval CC 1 ja servad ABB 1 A 1 , BCC 1 B 1 . Prisma lõigu konstrueerimine tasapinnaliselt, läbib M, N, P.

Lahendus. Meil on juba üks punkt prisma ülemisel alusel, seega rajame jälje ülemisele alusele. Punktide sekundaarsete projektsioonide konstrueerimine N Ja P ülemisele alusele. Seejärel: 1 .NPN 3 P 3 =X; 2 .MX=lk-rada; 3 .lkB 1 C 1 =D.

Edasised toimingud on juba ülaltoodud joonisel näidatud.

tagasi 3. dets. Prisma alumisele alusele ehitame lõiketasapinna jälje.

Ehitame: 1. MNED=X, MPE.P. 3 =Y;

2. lk=XY– jälg;3. lkBC=G, lkDC=H.

Peame leidma serval punkti BB 1 või serval A.A. 1 .

IN servad ABB 1 A 1 meil on juba üks punkt P. Seetõttu on selle näo alumine serv, s.o. AB, jätkame kuni rajaga ristumiseni.

4. ABlk=Z.

5. PZA.A. 1 =F; PZBB 1 =K.Edasised toimingud on juba näidatud ülal.

Kui selgub, et joon AB ei ristu jäljega, siis soovitud FK on samuti rajaga paralleelne. tagasi 4. dets. 1. PNP o N o = X;

2. MNCN o = Y;3. lk=XY- jälg;

3. CBlk=Z;4. ZMSB=E;

5. ENSA=G 6. GEMF– nõuete jaotis.

17. Silindri sektsiooni ehitus.

Kui lõiketasapind on antud kolme punktiga, siis leiame selle jälje alati silindri või koonuse aluse tasapinnalt ja punkti ( P, O) oma teljel. Seetõttu usume, et lõiketasapinna määravad need elemendid.

KOOS juhtumi algus on siis, kui tasapind lõikub ainult külgmine pind silinder. Siis on silindri ristlõige ellips (;¯ ja selle kujutis on samuti ellips. Me teame, kuidas ellipsi konstrueerida, kui on teada selle kaks konjugaadi diameetrit. Nüüd näitame, kuidas saate kujutist leida ellipsi põhiläbimõõtudest (;¯.

Olgu  ja  1 ellipsid, mis tähistavad silindri alumist ja ülemist põhja, O Ja O 1 – nende keskused. Joonistame läbimõõdu A 3 B 3 alumist alust, paralleelsed raja ja selle konjugaadi läbimõõduga C 3 D 3. Ehitamiseks C 3 D 3 kasutame akordi K 3 L 3, mille üks ots kuulub kontuurigeneraatorisse. Tuletame teile seda meelde A 3 B 3 ja C 3 D 3 on näidatud risti läbimõõdud. Jätkame C 3 D 3 rajaga ristumiskohani. Saame täpsed X. Otse. PX nimetatakse sektsiooni teljeks.

Tõstame punkte C 3 ja D 3 sektsiooni teljele. Saame C Ja D. Joonelõik CD on suure ristlõike läbimõõduga kujutis. Tõstame segmenti A 3 B 3 kõrgusele OP. Saame segmendi AB, mis on väikese ristlõike läbimõõduga kujutis. Negatiivne AB Ja CD – paaritusdia. ellips .

N Leidke rohkem punkte, kus ellips läheb silindri nähtavalt küljelt nähtamatuks, mis tähendab, et pidev joon muutub punktiirjooneks. Need on lõiketasandi ja kontuurigeneraatorite lõikepunktid. Lase Y 3 =K 3 L 3 C 3 D 3. Tõstame Y 3 sektsiooni teljele. Teeme punkti Y. Tõstame akordi K 3 L 3 kõrgusele YY 3. Saame segmendi KL. Leidsime vajaliku punkti K, ja teel veel üks lisapunkt L. Punkt M, mis kujutab lõiketasandi ristumiskohta teise kontuuri generaatoriga, on punkti suhtes sümmeetriline K punkti suhtes P.Lisaks konstrueerime täpse N, sümmeetriline L punkt-suhteline P

Näitame viisi, kuidas leida lõigul suvalise arvu punkte ilma neid diameetreid kasutamata.

vali ükskõik milline punkt V 3 ellipsil . Joonistame läbimõõdu V 3 T 3 ja jätkake seda, kuni see lõikub jäljega. Saame punkti U. Punktide tõstmine V 3 ja T 3 sirgeks U.P.. Saame kaks punkti V Ja T lõigul. Selle asemel valides V 3 punkti, saame veel 2 punkti lõigu kohta. Kui valite punkti K 3 lamades kontuuri generatrix, leiame punktid K Ja M, milles lõigu pidev joon peaks muutuma punktiirjooneks.

Selles õppetükis vaatleme tetraeedrit ja selle elemente (tetraeedri serv, pind, tahud, tipud). Ja me lahendame mitmeid ülesandeid tetraeedris sektsioonide ehitamisel, kasutades üldist lõikude ehitamise meetodit.

Teema: Sirgete ja tasandite paralleelsus

Õppetund: Tetraeeder. Ülesanded tetraeedris lõikude ehitamisel

Kuidas ehitada tetraeedrit? Võtame suvalise kolmnurga ABC. Ükskõik milline punkt D, mis ei asu selle kolmnurga tasapinnal. Saame 4 kolmnurka. Nendest neljast kolmnurgast moodustatud pinda nimetatakse tetraeedriks (joonis 1.). Selle pinnaga piiratud sisepunktid on samuti osa tetraeedrist.

Riis. 1. Tetraeeder ABCD

Tetraeedri elemendid
A,B, C, D - tetraeedri tipud.
AB, A.C., AD, B.C., BD, CD - tetraeedri servad.
ABC, ABD, BDC, ADC - tetraeedri näod.

Kommentaar: saab tasaseks võtta ABC taga tetraeedri alus, ja seejärel osutage D on tetraeedri tipp. Tetraeedri iga serv on kahe tasandi ristumiskoht. Näiteks ribi AB- see on tasapindade ristumiskoht ABD Ja ABC. Iga tetraeedri tipp on kolme tasandi lõikepunkt. Tipp A peitub lennukites ABC, ABD, ADKOOS. Punkt A on kolme määratud tasandi ristumiskoht. See fakt registreeritakse järgmisel viisil: A= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Tetraeedri määratlus

Niisiis, tetraeeder on neljast kolmnurgast moodustatud pind.

Tetraeedri serv- tetraeedri kahe tasandi lõikejoon.

Tehke 6 tikust 4 võrdset kolmnurka. Probleemi lahendamine lennukis on võimatu. Ja seda on kosmoses lihtne teha. Võtame tetraeedri. 6 vastet on selle servad, tetraeedri neli tahku ja on neli võrdsed kolmnurgad. Probleem on lahendatud.

Antud tetraeeder ABCD. Punkt M kuulub tetraeedri serva AB, punkt N kuulub tetraeedri serva IND ja periood R kuulub servale DKOOS(Joonis 2.). Konstrueerige tasapinnaga tetraeedri lõik MNP.

Riis. 2. Ülesande 2 joonis – konstrueerige tasapinnaga tetraeedri lõige

Lahendus:
Vaatleme tetraeedri nägu DPäike. Sellel teemal N Ja P kuuluvad nägudele DPäike ja seega ka tetraeedrit. Aga vastavalt punkti seisukorrale N, P kuuluvad lõiketasandisse. Tähendab, NP- see on kahe tasandi lõikejoon: näo tasapind DPäike ja lõiketasand. Oletame, et sirgjooned NP Ja Päike mitte paralleelne. Nad asuvad samas tasapinnas DPäike. Leiame sirgete lõikepunkti NP Ja Päike. Tähistame seda E(Joon. 3.).

Riis. 3. Ülesande joonistamine 2. Punkti E leidmine

Punkt E kuulub lõiketasandisse MNP, kuna see asub joonel NP, ja sirgjoon NP asub täielikult lõiketasandil MNP.

Samuti punkt E asub lennukis ABC, sest see asub sirgel Päike lennukist väljas ABC.

Me saame sellest aru SÖÖMA- tasapindade lõikejoon ABC Ja MNP, alates punktidest E Ja M lamada korraga kahel tasapinnal - ABC Ja MNP.Ühendame punktid M Ja E, ja jätkake otse SÖÖMA joonega ristumiskohani AC. Sirgete lõikepunkt SÖÖMA Ja AC tähistame K.

Nii et antud juhul NPQМ- vajalik osa.

Riis. 4. Ülesande 2 joonistamine. Ülesande 2 lahendus

Vaatleme nüüd juhtumit, mil NP paralleelselt B.C.. Kui sirge NP paralleelne mõne sirgega, näiteks sirge Päike lennukist väljas ABC, siis otse NP paralleelselt kogu tasapinnaga ABC.

Soovitud lõiketasand läbib sirget NP, tasapinnaga paralleelne ABC, ja lõikab tasapinna sirgjooneliselt MQ. Nii et ristumisjoon MQ joonega paralleelne NP. Saame NPQМ- vajalik osa.

Punkt M asub küljel ADIN tetraeeder ABCD. Koostage tetraeedri lõik punkti läbiva tasapinnaga M paralleelselt alusega ABC.

Riis. 5. Ülesande 3 joonistamine Koostage tasapinnaga tetraeedri lõige

Lahendus:
Lõiketasand φ paralleelselt tasapinnaga ABC tingimuse järgi tähendab see, et see lennuk φ paralleelsed joontega AB, AC, Päike.
Lennukis ABD punkti kaudu M teeme otse PQ paralleelselt AB(joonis 5). Otse PQ asub lennukis ABD. Samamoodi ka lennukis ACD punkti kaudu R teeme otse PR paralleelselt AC. Sai punkti R. Kaks ristuvat joont PQ Ja PR lennuk PQR vastavalt paralleelselt kahe ristuva sirgega AB Ja AC lennuk ABC, mis tähendab lennukeid ABC Ja PQR paralleelselt. PQR- vajalik osa. Probleem on lahendatud.

Antud tetraeeder ABCD. Punkt M- sisepunkt, punkt tetraeedri esiküljel ABD. N- segmendi sisemine punkt DKOOS(Joon. 6.). Koostage sirge lõikepunkt N.M. ja lennukid ABC.

Riis. 6. Ülesande 4 joonis

Lahendus:
Selle lahendamiseks konstrueerime abitasandi DMN. Las see olla sirge DM lõikub sirgega AB punktis TO(Joon. 7.). Siis SKD- see on osa lennukist DMN ja tetraeeder. Lennukis DMN valetab ja otse N.M., ja saadud sirgjoon SK. Nii et kui N.M. mitte paralleelne SK, siis nad mingil hetkel ristuvad R. Punkt R ja seal on joone soovitud lõikepunkt N.M. ja lennukid ABC.

Riis. 7. Ülesande joonistamine 4. Ülesande 4 lahendus

Antud tetraeeder ABCD. M- näo sisepunkt ABD. R- näo sisepunkt ABC. N- serva sisemine punkt DKOOS(Joon. 8.). Ehitage tetraeedri lõik, mille punkte läbib tasapind M, N Ja R.

Riis. 8. Ülesande 5 joonistamine Koostage tasapinnaga tetraeedri lõige

Lahendus:
Vaatleme esimest juhtumit, kui sirgjoon MN mitte tasapinnaga paralleelne ABC. Eelmises ülesandes leidsime sirge lõikepunkti MN ja lennukid ABC. See on asja mõte TO, saadakse see abitasapinna abil DMN, st. me teeme DM ja saame punkti F. Teostame CF ja ristmikul MN saame punkti TO.

Riis. 9. Ülesande joonistamine 5. Punkti K leidmine

Teeme otse KR. Otse KR asub nii lõiketasandil kui ka tasapinnal ABC. Punktide saamine P 1 Ja R 2. Ühendamine P 1 Ja M ja jätkuks saame punkti M 1. Punkti ühendamine R 2 Ja N. Selle tulemusena saame soovitud jaotise P 1 P 2 NM 1. Esimesel juhul on probleem lahendatud.
Vaatleme teist juhtumit, kui sirgjoon MN paralleelselt tasapinnaga ABC. Lennuk MNP läbib sirget MN paralleelselt tasapinnaga ABC ja ristub tasapinnaga ABC mööda mingit sirget joont R 1 R 2, siis otse R 1 R 2 paralleelselt antud sirgega MN(Joon. 10.).

Riis. 10. Ülesande joonis 5. Vajalik lõik

Nüüd tõmbame sirge R 1 M ja saame punkti M 1.P 1 P 2 NM 1- vajalik osa.

Niisiis, me vaatasime tetraeedrit ja lahendasime mõned tüüpilised tetraeedriprobleemid. Järgmises tunnis vaatleme rööptahukat.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. trükk, parandatud ja täiendatud - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lk. : haige. Geomeetria. 10.-11. klass: õpik õpilastele õppeasutused(põhi- ja profiilitase)

2. Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 lk.: ill. Geomeetria. 10.-11. klass: Õpik üldharidusasutustele

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. trükk, stereotüüp. - M.: Bustard, 008. - 233 lk. :il. Geomeetria. 10. klass: matemaatika süva- ja erialaõppega õpik üldharidusasutustele

Täiendavad veebiressursid

2. Kuidas konstrueerida tetraeedri ristlõiget. Matemaatika ().

3. Festival pedagoogilised ideed ().

Tehke kodus ülesandeid teemal “Tetraeeder”, kuidas leida tetraeedri serv, tetraeedri tahud, tetraeedri tipud ja pind

1. Geomeetria. 10-11 klass: õpik üldharidusasutuste õpilastele (põhi- ja erialatase) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. trükk, parandatud ja täiendatud - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lk.: ill. Ülesanded 18, 19, 20 lk 50

2. Punkt E keskriba MA tetraeeder MAVS. Koostage tetraeedri lõik, mille punkte läbib tasapind B, C Ja E.

3. Tetraeedris MABC kuulub punkt M tahu AMV, punkt P tahu BMC, punkt K serva AC alla. Koostage tetraeedri lõik, mille punkte läbib tasapind M, R, K.

4. Milliseid kujundeid võib saada tetraeedri ja tasapinna lõikumise tulemusena?

Polüheedri osade ehitamiseks on kaks peamist meetodit:

Aksiomaatiline meetod lõikude ehitamiseks

1. Jälgimismeetod

Näide 1.

Prisma ABCA"B"C" servadel AA" ja B"C" määratleme vastavalt punktid P ja Q. Konstrueerime prisma lõigu tasapinnaga (PQR), mille punkti R määratleme üks järgmistest nägudest:
a) VSSV"S";
b) A"B"C";
c) ABC

Lahendus.

A) 1) Kuna punktid Q ja R asuvad tasapinnal (ВСС"), siis sirgjoon QR asub sellel tasapinnal. Joonistame selle. See on tasandi (PQR) jälg tasapinnale (ВСС"). (Joon.1)

2) Leidke punktid B" ja C", kus sirge QR lõikub vastavalt sirgjoontega BB" ja SS. Punktid B" ja C" on tasandi jäljed (PQR) vastavalt sirgetel BB" ja SS.

3) Kuna punktid B"" ja P asuvad tasapinnal (ABV"), siis sirge B""P asub sellel tasapinnal. Joonistame selle. Lõik B**P on tasandi jälg (PQR) näol ABC"A".

4) Kuna punktid P ja C asuvad tasapinnal (ACC"), siis sirge PC"" asub sellel tasapinnal. Joonistame selle. See on tasapinna (PQR) jälg tasapinnal (ACC").

5) Leidke punkt V, milles sirge PC"" lõikub servaga A"C". See on tasapinna jälg (PQR) serval A"C".

6) Käru kuna punktid Q ja V asuvad tasapinnal (A"B"C"), siis sirge QV asub sellel tasapinnal. Joonistame sirge QV Lõik QV on tasandi jälg (PQR) ) näol ABC. Seega saame hulknurga QB ""PV - vajalik lõik.

b) 1) Kuna punktid Q ja R asuvad tasapinnal (A"B"C"), siis sirge QR asub sellel tasapinnal. Joonistame selle. See on tasapinna (PQR) jälg tasapinnal (A" B"C"). (Joonis .2)

2) Leidke punktid D" ja E", kus sirge QR lõikub vastavalt sirgjoontega A"B" ja B"C". Kuna punkt D" asub serval A"B", on segment QD" tasandi (PQR) jälg serval A"B"C.

3) Kuna punktid D" ja P asuvad tasapinnal (ABB"), siis sirge D"P asub sellel tasapinnal. Joonistame selle. See on tasapinna (ABB") tasandi (PQR) jälg. , ja segment D"P on jäljetasand (PQR) näo АВВ "А".

4) Kuna punktid P ja E "asuvad tasapinnal (ACC"), siis sirgjoon PE asub sellel tasapinnal. Joonistame selle. See on tasandi (PQR) jälg tasapinnal (ACC").

5) Leidke punkt C""=PE""CC". Kuna punkt C"" asub serval CC", siis segment PC"" on tasapinna (PQR) jälg pinnal ACC"A".

6) Kuna punktid Q ja C"" asuvad tasapinnal (ВСС"), siis sirgjoon QC"" asub sellel tasapinnal. Joonistame selle. See on tasapinna (ВСС") tasandi (PQR) jälg ) ja segment QC"" on tasapinnaline jälg (PQR) näol ВСС "В". Niisiis, oleme saanud hulknurga QD "PC" - see on soovitud jaotis.

V) 1) Kolmest antud punktist P, Q ja R ei asu kaks prisma pindade ühelgi tasapinnal, seega leiame tasandi põhijälje (PQR) (st tasapinna lõikejoone () PQR) tasapinnaga (ABC), mis on valitud peamiseks). Selleks leiame esmalt punktide P, Q ja R projektsioonid tasapinnale (ABC) prisma külgservaga paralleelses suunas. Kuna punkt P asub serval AA, siis punkt P ühtib punktiga A. Kuna punkt Q asub tasapinnal (BCC), siis sellel tasapinnal tõmmatakse läbi punkti Q sirge BB" paralleelse sirge ja leiame punkti Q ", milles tõmmatud sirge lõikub sirgega BC. Kuna punkt R asub tingimuse järgi põhitasandiks valitud tasapinnal, siis punkt R" ühtib punktiga R. (Joon. 3)

2) Tasapind on määratletud paralleelsete sirgjoontega PP" ja QQ". Joonistame sellele tasapinnale sirged PQ ja P"Q" ning leiame punkti S=PQ, mis lõikub P"Q". Kuna punkt S" asub sirgel PQ, siis asub see tasapinnal (PQR) ja kuna punkt S" asub sirgel P"Q, siis asub see tasapinnal (ABC). Seega on punkt S" tasandite (PQR) ja (ABC) ühine punkt. See tähendab, et tasapinnad (PQR) ja (ABC) lõikuvad piki punkti S".

3) Kuna punkt R langeb kokku punktiga R", siis punkt R on teine ​​tasandite (PQR) ja (ABC) ühine punkt. Seega on sirge S"R tasandi põhijälg (PQR). Tõmbame selle joone. Nagu jooniselt näeme, lõikub sirge S"R vastavalt prisma aluse servadega AB ja BC punktides S" "ja S""".

4) Kuna punktid S""" ja Q asuvad tasapinnal (ВСС"), siis sirge S""" Q asub sellel tasapinnal. Joonistame selle. See on tasapinna (PQR) jälg. lennuk (ВСС). Ja segment S""" Q, on tasapinna (PQR) jälg näol ВСС"В".

5) Samamoodi leiame lõigu S"" P - tasapinna (PQR) jälje ABC"A" näol.

7) Leia punkt F=PC"" lõikub A"C" ja seejärel saada lõik PF – tasapinna jälg (PQR) näol ACC"A".

8) Punktid Q ja F asuvad tasapinnal A"B"C", seega sirge QF asub tasapinnal (A"B"C"). Joonistame sirge QF ja saame lõigu QF – tasapinna jälg (PQR) pinnal A "B" C. Niisiis, oleme saanud hulknurga QS"""S""PF - soovitud lõik.

3 märkus. Näitame teist võimalust punkti C"" leidmiseks, milles me ei leia sirge S""" Q ja sirge C"C lõikepunkti. Põhjendame järgmiselt. Kui tasandi jälg (PQR) sirgel CC" on teatud punkt V, siis selle projektsioon tasapinnale (ABC) langeb kokku punktiga C. Siis punkt S""""= V"P" lõikub VP asub tasapinna põhijäljel S"R (PQR). Konstrueerime selle punkti S"""" sirgete V"P" (see on sirge SA) ja S"R lõikepunktiks. Ja siis tõmbame sirge S"""P. See lõikub sirgega SS" punktis V.

Näide 2.

Püramiidi МАВСD serval MB määratleme punkti P, selle esiküljel MCD defineerime punkti Q. Konstrueerime püramiidi tasapinna (PQR) lõike, mille punkti R määratleme:
a) MS serval;
b) MADi äärel;
c) tasapinnal (MAS), väljaspool püramiidi.

Lahendus.

a) Tasapinna jälg (PQR) esiküljel MBC on segment PR ja selle jälg pinnal MCD on lõik RD", kus punkt D" on sirge RQ ja serva MD lõikepunkt. On selge, et tasapinnal (PQR) on jäljed külgedel MAD ja MAB (kuna tasapinnal (PQR) on nende tahkudega ühised punktid). Leiame tasapinna jälje (PQR) sirgel MA. Teeme seda nii:

1) Konstrueerime punktid P", Q" ja R" - punktide P, Q ja R projektsioonid keskpunktist M tasapinnale (ABC), seega võetud põhitasandiks. (Joonis 4)

3) Kui tasapind (PQR) lõikab sirget MA mingis punktis V, siis punkt V" langeb kokku punktiga A ja punkt S""" = VQ lõikub punktiga V"Q" asub sirgel S" S" Teisisõnu, punktis S""" ristuvad kolm sirget: VQ, V"Q"" ja S" S"". Nendest kolmest kaks viimast sirget on juba joonisel. Seetõttu konstrueerime punkti S""" sirgete V"Q" ja SS"" lõikepunktiks.

4) Joonistame sirge QS""" (see ühtib sirgega VQ, kuna sirge VQ peab läbima punkti S""", st punktid V, Q ja S""" asuvad samal sirgel).

5) Leidke punkt V, milles sirge QS"" "lõikub sirgega MA. Punkt V on tasandi (PQR) jälg MA serval. Lisaks on selge, et lõigud PV ja VD" on tasandi jäljed (PQR) vastavalt MAB ja MAD külgedel. Seega on hulknurk PRD"V vajalik lõik.

b) 1) Võtame põhitasandiks tasapinna (ABC) ja konstrueerime punktid P, Q" ja R" - vastavalt punktide P, Q ja R projektsioonid tasapinnale (ABC) Selle siseprojektsiooni keskpunkt on punkt M. (joon. 5.)

2) Ehitame sirge S"S"" - tasapinna põhijälg (PQR).

3) Kui tasapind (PQR) lõikub sirgega MA punktis V, siis punkt V" - punkti V projektsioon tasapinnale (ABC) keskpunktist M - langeb kokku punktiga A ja sirged S" S "", V "R" ja sirge VR, mille punkti V me pole veel konstrueerinud, ristuvad punktis S""". Leiame selle punkti S"""=V"R" lõikub S"S "" ."", ja leida punkt V=RS""" MA lõikub. Edasine konstruktsioon on selge. Vajalik lõik on hulknurk PVD"T.

V)

(Joonis 6.) Olgu punkt R asetseb tasapinnal (MAC), nagu on näidatud joonisel 6.

1) Võtame põhitasandiks tasapinna (ABC) ja konstrueerime punktid P, Q" ja R" - punktide P, Q ja R projektsioonid vastavalt tasapinnale (ABC). (Keskpunkt on punkt M). .)

2) Ehitame sirge S"S"", - tasapinna põhijälg (PQR).

3) Leidke MA sirgel punkt V - tasapinna jälg (PQR). Punkt V" - punkti V projektsioon tasapinnale (ABC) keskpunktist M - langeb sel juhul kokku punktiga A.

4) Leidke punkt S"""= P"V" lõikub S"S" ja siis punkt V =PS""" lõikab MA.

5) Saame PV tasapinna (PQR) jälje tasapinnal (MAB).

6) Leidke punkt T - tasapinna jälg (PQR) sirgel MO. On selge, et punkt T" langeb sel juhul kokku punktiga D. Punkti T konstrueerimiseks konstrueerime punkti S""""=Q"T", mida lõikab S"S"", ja seejärel punkt T = QS""" "ristunud MT" .

7) Soovitud lõik on jälgede PV, VT, TC ja C"P komplekt, st hulknurk PVTC".

Sektsioonide ehitamise kombineeritud meetod

Mitmetahuliste lõikude konstrueerimise kombineeritud meetodi olemus on teoreemide rakendamine sirgete ja tasandite paralleelsuse kohta ruumis koos aksiomaatilise meetodiga.

Näide nr 1.

MABCD püramiidi servadel AB ja AD määratleme vastavalt punktid P ja Q nende servade keskpunktid ning serval MC punkti R. Konstrueerime püramiidi läbiva tasandiga lõigu punktid P, Q ja R.

Lahendus

(Joonis 14):

1). On selge, et tasapinna PQR põhijälg on sirgjoon PQ.

2). Leiame punkt K, milles MAC tasand lõikub sirgega PQ. Punktid K ja R kuuluvad nii PQR-i kui ka MAC-tasandisse. Seega, tõmmates sirge KR, saame nende tasandite lõikejoone.

3). Leiame punkti N=AC BD, tõmbame sirge MN ja leiame punkti F=KR MN.

4). Punkt F on tasandite PQR ja MDB ühine punkt, see tähendab, et need tasandid lõikuvad piki punkti F läbivat sirget. Kuna aga PQ - keskmine joon kolmnurga ABD, siis PQ on paralleelne BD-ga, st sirge PQ on paralleelne tasapinnaga MDB. Siis lõikub sirget PQ läbiv tasapind PQR tasapinnaga MDB piki sirget PQ paralleelset sirget, st paralleelset ja sirget BD. Seetõttu joonistame tasapinnal MDB läbi punkti F sirge BD paralleelse sirge.

5). Edasised konstruktsioonid on jooniselt selged. Selle tulemusena saame hulknurga PQD"RB" - soovitud sektsiooni.

1. Teatud sirget läbiva lõigu ehitamine paralleelselt teise etteantud sirgega.

Olgu näiteks vaja konstrueerida hulktahukas lõik, mille tasapind @ läbib antud sirget p paralleelselt teise antud sirgega q. Üldiselt nõuab selle probleemi lahendamine mõningaid eelkonstruktsioone, mida saab läbi viia järgmise plaani järgi:

1). Läbi teise sirge q ja mõne punkti W esimesest reast p joonistame betta tasapinna (joonis fig.

2). Betta tasapinnal tõmbame läbi punkti W sirge q" paralleelselt q-ga.

3). Lõikuvad sirged p ja q." Määratakse @ tasand. Siinkohal lõppevad eelkonstruktsioonid ja saab edasi liikuda @ tasapinna järgi hulktahuka otselõike konstrueerimisele. Mõnel juhul on konkreetse tasandi iseärasused probleem võimaldab ellu viia lühema lahendusplaani Vaatleme näiteid.

Näide nr 2.

Püramiidi MABC servadel BC ja MA määratleme vastavalt punktid P ja Q. Konstrueerime püramiidi lõigu, mille tasapind @ läbib sirgjoonega AR paralleelset sirget PQ, punkti R, mida me defineerige järgmiselt: a). serval MB; b). See langeb kokku punktiga B; V). MAB piiril.

Lahendus:

A)

.(joonis) Teist sirget ehk sirget AR läbiv tasapind ja esimesel real võetud punkt Q on juba pildil.See on MAB tasand.

2). MAB-tasandil tõmbame läbi punkti Q sirge QF, mis on paralleelne AR-ga.

3). Lõikuvad sirged PQ ja QF määravad tasandi @ (see tasapind PQF) - soovitud lõigu tasapinna. Ehitame selle lõigu jälgimismeetodi abil.

4). Punkt B langeb kokku punktiga F" - punkti F projektsioon tasapinnale ABC (keskpunktist M) ja punkt A langeb kokku punktiga Q" - punkti Q projektsioon sellele tasapinnale. Siis asub punkt S"=FQ F"Q" lõiketasandi @ põhijäljel. Kuna punkt P asub lõiketasandi põhijäljel, on sirge S"P tasandi @ põhijäljeks ja segment S""P on tasapinna @ jälg ABC piiril. Lisaks on selge, et punkt P tuleks ühendada punktiga F. Selle tulemusena saame nelinurga PFQS"" - soovitud sektsioon.

b)

(Joonis: Tasand, mis läbib sirget AB ja sirge PQ punkti P, on pildil juba konstrueeritud. See on tasapind ABC. Jätkame ehitamist ülaltoodud plaani järgi.

2). ABC tasapinnal tõmbame läbi punkti P sirge PD, mis on paralleelne sirgega AB.

3). Lõikuvad sirged PQ ja PD määravad alfatasandi (see on PQD tasand) - soovitud lõigu tasapinna. Ehitame selle osa.

4). On selge, et alfatasandi jälg MAC-pinnal on segment DQ.

5). Edasisi ehitustöid teostame, võttes arvesse järgmisi kaalutlusi. Kuna sirge PD on paralleelne sirgega AB, siis sirge PD on paralleelne tasapinnaga MAB. Siis lõikab sirget PD läbiv alfatasand MAB-tasandit mööda sirget, mis on paralleelne sirgjoonega PD, st sirgega AB. Niisiis, tasapinnal MAB läbi punkti Q tõmbame AB-ga paralleelse sirge QE. Segment QE on alfatasandi jälg MAB-pinnal.

6). Ühendame punkti P punktiga E. Lõik PE on alfatasandi jälg MBC esiküljel. Seega on nelinurk PEQD vajalik lõik. langeb kokku punktiga A ja punkt L" langeb kokku punktiga R"=MR BC. Siis asub punkt S"=LQ L"Q" lõiketasandi alfa põhijäljel. See põhijälg on sirge S"P ja alfatasandi jälg näol ABC on lõik S"" P. Lisaks on sirgjoon PL alfatasandi jälg tasandil MVS ja segment PN on alfatasandi jälg MVS-i pinnal. Niisiis, nelinurk PS""QN on vajalik lõik.

Näide 3.

Prisma ABCDEA"B"C"D"E" aluste diagonaalidel AC ja C"E" määratleme vastavalt punktid P ja Q. Konstrueerime prisma lõigu, mille alfatasapind läbib sirget PQ paralleelne ühega järgmistest joontest: a).AB; b) .AS"; V). BC" Lahendus:

A)

(Joonis Tasand, mis läbib sirget AB - teine ​​etteantud sirge ja esimesel sirgel võetud punkt P on juba konstrueeritud. See on tasapind ABC.

2). Tasapinnal ABC tõmbame punkti P kaudu joonega AB paralleelse sirge ning leiame punktid K ja L, kus see sirge lõikab vastavalt sirgeid BC ja AE. B"C" on samuti üksteisega paralleelsed. Arvestades, et KL on paralleelne AB-ga ja A"B" on paralleelne AB-ga, tõmmake tasapinnal A"B"C joonega A"B" paralleelne joon läbi punkti Q ja leiame punktid F ja T mida see sirge lõikub, vastavalt sirgjooned C"D" ja A"E". Järgmiseks saame lõigu TL - alfatasandi jälg näol AEE"A", punkt S"=KL CD, sirge S"F - alfatasandi jälg tasapinnal CDD", segment FC"" - alfatasandi jälg pinnal CDD"C" ja lõpuks segment C""K - alfatasandi jälg pinnal BCC "B". Selle tulemusena saame hulknurga KLTFC"" - soovitud jaotis.

b)

(Joonis Joonestame tasapinna läbi sirge AC" - teine ​​etteantud sirge ja esimesel sirgel võetud punkt P. See on tasapind ACC".

2). ACC tasapinnas tõmbame läbi punkti P sirge AC" paralleelse sirge ja leiame punkti C", kus see sirge lõikub sirgega CC".

3). Lõikuvad sirged PQ ja PC"" määravad alfatasandi (tasand C""PQ) – soovitud lõigu tasapinna. Ehitame selle lõigu näiteks jälgimismeetodi abil. Üks punkt, mis kuulub alfatasandi jälge ABC tasapinnale, mille võtame peamiseks, on juba joonisel. See on punkt P. Leiame sellel jäljel veel ühe punkti.

4). Punkti C"" projektsioon tasapinnale ABC on punkt C ja punkti Q projektsioon punkt Q" - sirge CE lõikepunkt sirgjoonega, mis kulgeb tasapinnal CEE" läbi punkti Q paralleelselt sirgjoonega. EE." Punkt S"=C""Q CQ " on alfatasandi põhijälje teine ​​punkt. Seega on alfatasandi põhijäljeks sirge S"P. See lõikab prisma aluse külgi BC ja AE vastavalt punktides S"" ja S""". Siis on lõik S""S""" lõiketasandi alfa jälg näol ABCDE. Ja segment S""C"" on alfatasandi jälg näo BCC"B" pinnal. On lihtne näha, et sirged C"" Q ja EE" asuvad samal tasapinnal. Leiame punkti E"" = C""Q EE". Siis on selge saada alfatasandi edasised jäljed: S"""S"", S"""T, TF ja FC"". Selle tulemusena saame hulknurga S""S"""TFC"" - soovitud sektsioon.

V)

(Joonis: Läbi teise etteantud sirge - sirge BC" - ja näiteks läbi esimesel etteantud sirgel asuva punkti P, joonestame tasapinna. Teeme seda jälgimismeetodil. Seda on lihtne luua et selle tasandi BC põhijälg "P on sirgjoon BP. Siis leiame punkti S"=BP CD ja tasandi BC"P ja tasandi CDD jälje S"C".

2).Tasapinnal BC"P, läbi punkti P tõmbame sirge BC paralleelse sirge". Tähistame tõmmatud sirge ja sirge S lõikepunkti "C" tähega V.

3). Lõikuvad sirged PQ ja PV määravad alfatasandi (PQV tasapinna) - soovitud lõigu tasandi. Ehitame selle osa.

4). Leiame punktid Q" ja V" - punktide Q ja V projektsioonid vastavalt ABC tasapinnale, mida võtame põhitasandiks. Siis leiame punkti S""=QV Q"V". See on üks alfatasandi peamisi jälgimispunkte. Ja selles jäljes on juba üks punkt veel. See on antud punkt P. Niisiis, sirge S""P on alfatasandi põhijälg ja sellest tulenev lõik S"""S"""" on alfatasandi jälg pinnal ABCDE. ehituse edasine käik on selge: S"""" "=S""P CD, S"""""V, punktid C""=S"""""V CC" ja F=S"""" "V C"D", siis FQ ja punkt T= FQ A"E" ja lõpuks TS"""". Selle tulemusena saame hulknurga S"""C""FTS"""" - soovitud jaotis.

Märkus. Kirjeldame lühidalt näite 3,c lahendamise protsessi, kus esimesele antud sirgele võeti punkt Q, mitte punkt P (joonis 22).

1). Konstrueerime tasapinna BC"Q (see on tasapind BC"E").

2). Tasapind BC"Q lõikub tasapinnaga ABC mööda sirget BN, mis on paralleelne C"E"-ga (konstrueerimiseks võite kasutada asjaolu, et BN on paralleelne CE-ga).

3). Tasapinnal BC"Q, läbi punkti Q tõmbame BC-ga paralleelse sirge QM" (M=QM BN).

4). Konstrueerime prismast lõigu ristuvate sirgete PQ ja QM poolt määratud tasapinna järgi. Seda saab teha järgmises järjekorras: MP, S"=MP AE ja S""=MP BC, S"""=MP CE, C""=S""""Q CC", S"""C " ", F=S"""C"" C"D", FQ, T=FQ A"E", TS. Hulknurk S""C""FTS" on nõutav jaotis.

2. Antud punkti läbiva lõigu ehitamine paralleelselt kahe etteantud ristuva sirgega.

Olgu vaja konstrueerida hulktahukas läbilõige läbiva tasapinnaga antud punkt Kahele paralleelsele antud ristumisjoonele l ja m. Kell taust:#FFCCCC; border:outset #CC33FF 1.5pt">

1. Valige mõni punkt W. (See punkt võib asuda ühel antud lõikuvatest sirgetest või langeda kokku punktiga K.)

2.Joonista sirged l" ja m" läbi punkti W. (Loomulikult, kui punkt W asub ühel sirgel, näiteks sirgel l, siis joon l" langeb kokku sirgega l.)

3. Lõikuvad sirged l" ja m" määravad betta tasandi – hulktahuka abilõike tasapinna. Konstrueerime hulktahuka lõigu beetatasandi järgi.

4. Konstrueerige beetatasandiga paralleelselt punkti K läbiva alfatasapinnaga polüeedri lõiked.

Vaatame välja toodud plaani rakendamise näiteid.

Näide 4.

Prisma ABCDA"B"C"D" servadel AD ja C"D" määratleme vastavalt punktid P ja Q ning serval DD" punkti K. Konstrueerime prisma lõigu, kus alfatasand, mis läbib punkti K paralleelselt sirgjoonega PQ ja ühega järgmistest sirgjoontest: a) AB; ​​b) A"B; c) BR, mille punkt R on seatud servale A"D".

Lahendus. a)

(Joonis 2. Las punkt W langeb kokku punktiga P.

2) Tasapinnal ABC läbi punkti P tõmbame joonega AB paralleelse sirge. Leiame punkt E, kus tõmmatud sirge lõikub sirgega BC.

3) Lõikuvad sirged PQ ja PE määravad betta tasapinna - abisektsiooni tasapinna. Ehitame beetatasandi abil prisma lõigu. Otsene PE ja punktid C"" ja D"" on vastavalt betta tasandi jäljed sirgetel CC" ja DD". Seejärel ehitame sirge D""P" ja saame punkti F servale A"D". Seega on prisma ristlõige beetatasandi järgi hulknurk PEC""QF.

4) Nüüd konstrueerime prismast lõigu, mille alfatasand läbib punkti K paralleelselt beetatasandiga. Selle tulemusena saame kolmnurga KLN - soovitud sektsiooni.

b)

(Joonis. Olgu punkt W ühtib punktiga Q. Selleks, et tõmmata läbi punkti Q sirge A"B paralleelne joon, tõmmake esmalt gammatasand läbi sirge A"B ja punkti Q. Teeme seda nii. Leia punkt Q" - punkti Q projektsioon tasapinnale ABC ja joonestada sirge AQ". On selge, et AQ" on paralleelne AQ-ga. Nüüd tõmbame läbi punkti B tasapinnal ABC, mis on paralleelne AQ-ga". ristuvad sirged A"B ja l" määravad gammatasandi. Gammatasandil läbi punkti Q tõmmake A"B-ga paralleelne sirge l"".

3) Lõikuvad sirged PQ ja l"" määravad betta tasandi - prisma abilõike tasandi. Ehitame selle osa. Selle jaoks leiame punkti S"=l" lõikub l"" ja seejärel sirge PS" - betta tasapinna põhijälje. Järgmiseks leiame punkti s""=PS" lõikub CD-ga ja joonistame sirge rida S""Q - betta tasandi jälg CDD tasapinnal ". Saame punkti D" - betta tasandi jälg sirgel DD". Punkt D"" ja punkt P asuvad ADD-tasandil. Seetõttu on sirgjoon PD"" beeta-tasandi jälg ADD-tasandil" ja segment PF on beeta-tasandi jälg näo ADD-tasandil" A". Seega on prisma beetatasandi lõige nelinurk PS""QF. (Pange tähele: QF on paralleelne PS-ga." Ja see on loomulikult nii. Prisma alused asuvad ju paralleelsetel tasapindadel. Seda asjaolu saab kasutada prisma beetatasandiga lõigu konstrueerimisel.)

4) Nüüd konstrueerime prismast lõigu, mille alfatasand läbib punkti K paralleelselt beetatasandiga. Seda konstruktsiooni pole keeruline lõpule viia. Selle tulemusena saame kolmnurga KLN - soovitud sektsiooni.

V)

(Joon. Valime punktiks W punkti Q.

2) Sirge BR ja punkti Q kaudu joonistame gammatasandi. Gammatasand lõikab ABC tasapinda piki QR-ga paralleelset sirget l". Sirge l" konstrueerimiseks konstrueerime punktid R" ja Q" - punktide R ja Q projektsioonid vastavalt ABC-tasandile - ning joonestame sirge joon Q "R", seejärel tõmmake ABC-tasandil läbi punkti B sirge l" paralleelselt Q"R-ga. Gammatasandil läbi punkti Q tõmmake BR-ga paralleelne sirge l"". Saame punkti S"=l" lõikub l"".

3) Lõikuvad sirged PQ ja l"" määravad betta tasandi - prisma abilõike tasandi. Ehitame selle osa. On selge, et sirge PS" on betta tasandi põhijälg. Seejärel leiame punktid S""= PS" lõikub CD, S"""= RS" lõikub BC ja C"" = QS"" lõikub CC". Saame segmendid RS"" ", S"""C"" ja C""Q on betta tasapinna jäljed vastavalt tahkudel ABCD, ВСС"В ja CDD"С". Järgmiseks tõmbame tasapinnale A"B"C" paralleelse jäljega PS" sirge ja saame punkti F või leiame punkti D""=S""Q lõikub punktiga DD" ja joonistame sirge D"" P. See sirge lõikub sirgega A "D" punktis F. Nii saame veel kaks betta-tasandi jälge: QF n FP. Seega on hulknurk PS"""C""QF prisma lõige Betta lennukiga.

4) Nüüd konstrueerime prismast lõigu, mille alfatasand läbib punkti K paralleelselt beetatasandiga. Selle tulemusena saame kolmnurga KLN - soovitud sektsiooni.

Näide 5.

Püramiidi МАВСD servadel MB ja MA määratleme vastavalt punktid P ja K ning lõigul AC punkti Q. Konstrueerime püramiidi lõigu, mille alfatasand läbib punkti K paralleelselt punktiga K. sirge PQ ja üks järgmistest sirgjoontest: a) CD; b) MS; c) RV, mille punktid R ja V seatakse vastavalt püramiidi servadele AB ja MC.

Lahendus.

a)

(Joonis 2 ABC tasapinnal läbi punkti Q tõmmake sirgjoonega CD paralleelne joon ja leidke punktid S", S"" ja S""", kus see sirge lõikab vastavalt sirgeid BC, AD ja AB .

2) Lõikuvad sirged PQ ja S"S"" määravad beetatasandi – püramiidi abilõike tasapinna. Ehitame selle lõigu. Betta tasandi põhijäljeks on sirge S"S"". Segment PS" on betta tasandi jälg esiküljel MBC, sirgjoon PS""" on selle jälg tasapinnal MAB, segment PA" on pinnal MAB, segment A"S"" on peal. nägu HULL.

b)

(Joonis 27.) Koostame antud lõigu järgmises järjekorras:

1) MAC tasapinnas läbi
punkt Q tõmmake MC-ga paralleelne sirgjoon QA

2) Ehitame püramiidi abilõike tasandiga, mille määrab. Selleks leiame punkti S"=PA" lõikab AB, joonestage sirge S"Q, mis on tasandi PQA põhijälg", saame punktid S""=S"Q lõikab AD ja S ""=S"Q lõikab BC ja ühendab punkti A" punktiga S"", ja punkt P punktiga S""". Nelinurk PA"S""S""" on püramiidi abilõik. Tasand selle lõigu on paralleelne sirgetega PQ ja MC, kuid ei läbi punkti K .

3) Nüüd konstrueerime püramiidi lõigu tasapinnaga, mis läbib punkti K, mis on paralleelne tasapinnaga PQA." Selle tulemusena saame nelinurga B"KFE - soovitud lõik.

a)

(Joonis 28.) Ehitame püramiidi etteantud lõigu nii, et esmalt konstrueerime sellest abilõike tasapinnaga, mis läbib sirgjoonega RV paralleelset sirget PQ. Teeme seda järgmises järjekorras:

1) Koostage punkt S"=PV, mis lõikub BC-ga ja tõmmake sirge S"R.

2) Lõikuvad sirged S"V ja S"R määratlevad tasapinna. Sellel tasapinnal tõmbame läbi punkti P sirge PS"" paralleelselt RV-ga.

3) Lõikuvad sirged PQ ja PS"" määravad püramiidi abilõike tasandi. Ehitame selle osa. Leiame järjestikku sirge S""Q - abilõike tasandi põhijälg, siis punktid T"=S""Q lõikuvad BC, T""=S""Q lõikab AB ja T""= S""Q lõikab CD, teostame siis sirge T"P ja leiame punkti E = T"P lõikub "MC. Ühendame punkt P punktiga T"", ja punkt E punktiga T""". Nelinurk PT""T""E on püramiidi abilõik. Selle lõigu tasand on paralleelne sirgetega PQ ja RV, kuid ei läbi punkti K. Nüüd konstrueerime püramiidi lõigu tasapind, mis läbib punkti K paralleelselt abisektsiooni tasapinnaga. Selle tulemusena saame nelinurga KV "C"D" on vajalik lõik.

Ristlõike pindala leidmine hulktahukas.

Ülesanne nr 1.

Ülesanne nr 2

Ülesanne nr 3.

Ülesanne nr 4.

Ülesanne nr 5.

Ülesanne nr 6.

Probleem nr 7

Ülesanne nr 8.

Sarnaste kolmnurkade omaduste kasutamine.

Seetõttu on allpool välja toodud mitu lihtsat ülesannet, milles sellised kolmnurgad mängivad peamist rolli – seda enam, et neid tuleb ka konstrueerida (ja näha!!!) standardse stereomeetrilise tehnika abil: lõikuvad üks tasapind teise tasapinnaga ja konstrueerige nende lõikejoon mööda seda. kaks lennukite ühist punkti.

Ülesanne nr 1.

Ülesanne nr 2

Ülesanne nr 3

Ülesanne nr 4

Probleem nr 5

Ristuvate joonte vahelise kauguse leidmiseks võite kasutada nelja peamist meetodit:

1) Kahe ristuva sirge ühisristi pikkuse, st lõigu, mille otsad on neil sirgel ja mõlemaga risti.

2) Kauguse leidmine ühest ristuvast sirgest sellega paralleelse, teist sirget läbiva tasapinnani.

3) Kahe paralleelse tasandi vahelise kauguse leidmine, mis läbivad etteantud ristumissirge.

4) Kauguse leidmine punktist - mis on ühe lõikuva sirge projektsioon sellega risti olevale tasapinnale - teise sirge projektsioonini samale tasapinnale.

Ülesanne nr 18

Ülesanne nr 19

Esitage selle probleemi lahendamiseks 4 võimalust ja valige kõige ratsionaalsem. Põhjendage oma valikut.

Ülesanne nr 20

Ülesanne nr 21

Ülesanne nr 22

Polüeedris lõikuvate sirgete vahelise kauguse ja nurga leidmine.

Ülesanne nr 1.

Ülesanne nr 2.

Ülesanne nr 3.

läbib külgribi ja sellega lõikuva aluse mediaan ning sama mediaani ja mis tahes muu külgserva keskosa läbiv tasapind.

Sektsioonid.

Ülesanne nr 1.

Ülesanne nr 2.

Ülesanne nr 3.

Tetraeedri kaks vastandlikku serva on risti ja nende pikkused on võrdsed a ja b-ga, nende vaheline kaugus on c. Kuubik on kirjutatud tetraeedrisse, mille neli serva on risti nende kahe tetraeedri servaga ja tetraeedri mõlemal küljel on täpselt kaks kuubi tippu. Leidke kuubi serv.

Ülesanne nr 4.

Ülesanne nr 5.

Ülesanne nr 6.

Ülesanne nr 7.

Ülesanne nr 8.

Ülesanne nr 9.

Hulktahuka osade mahtude suhe.

Ülesanne nr 1.

Ülesanne nr 2.

Ülesanne nr 3.

Ülesanne nr 4.

Tavaliste hulktahukate projektsioonid ja lõiked.

Ülesanne nr 1.

Näidake, et dodekaeedri ja ikosaeedri projektsioonid nende tahkudega paralleelsetele tasapindadele on korrapärased hulknurgad.

Ülesanne nr 2.

Näidake, et dodekaeedri projektsioon tasapinnale, mis on risti selle keskpunkti ja serva keskosa läbiva sirgega, on kuusnurk (mitte kümmenurk).

Ülesanne nr 3.

a) näitavad, et ikosaeedri projektsioon tasapinnale. selle keskpunkti ja tippu läbiva sirgega risti on korrapärane kümmenurk. b). Tõesta, et dodekaeedri projektsioon selle keskpunkti ja tippu läbiva sirgega risti olevale tasapinnale on ebakorrapärane 12-nurkne.

Ülesanne nr 4.

Kas kuubis on osa, mis on tavaline kuusnurk?

Ülesanne nr 5.

Kas oktaeedris on lõik, mis on korrapärane kuusnurk?

Ülesanne nr 6.

Kas dodekaeedris on lõik, mis on korrapärane kuusnurk?

Ülesanne nr 7.

Ikosaeedri kõikidel tahkudel ABC ja ABD on ühine serv AB. Läbi tipu D tõmmatakse tasapinnaga ABC paralleelne tasapind. Kas vastab tõele, et ikosaeedri lõik selle tasandiga on korrapärane kuusnurk?

Vastused probleemidele teemade kaupa:

4. Tasapindadevaheline nurk.

5. Sektsioonid

6. Hulktahuka osade ruumalade suhe.

7. Regulaarsete hulktahukate projektsioonid ja lõiked.

1. Polüheedri ristlõike pindala leidmine.

Probleemi lahendus

№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8

Ülesanne nr 1.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image040_59.gif" width="597" height="292 src=">

Ülesanne nr 2.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image042_56.gif" width="577" height="277 src=">

Ülesanne nr 3.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image044_53.gif" width="630" height="275 src=">

Ülesanne nr 4.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image046_49.gif" width="641" height="332 src=">

Ülesanne nr 5.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image048_46.gif" width="642" height="245 src=">

Ülesanne nr 6.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image050_46.gif" width="680" height="340 src=">

Ülesanne nr 7.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image052_47.gif" width="659" height="340 src=">left" style="margin-left: 6.75pt;margin-right:6.75 pt">

2. Sarnaste kolmnurkade omaduste kasutamine.

Probleemi lahendus

№1 №2 №3 №4 №5

Ülesanne nr 1.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">

2. juhtum

Ülesanne nr 2.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">

Ülesanne nr 3.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image061_42.gif" width="536" height="203">

https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">MsoNormalTable">

Punkt C kuulub tasapinnale CB"A"D (kuna CD" on risti C"D kui ruudu diagonaaliga ja kuna B"C" on risti tasapinnaga CC"D"D, millest järeldub, et B "C" on risti CE-ga, saame, et CE on risti B"C"-ga ja CE on risti C"D-ga. Seejärel joonistame EF-i risti B"D-ga ja siis saame, et B"D on risti CF-ga (by teoreem kolmest ristist: CF tasapinna AB suhtes"C"D on kaldu, CE - risti ja EF - kaldpinna CF projektsioon; siis on see risti kaldu CF endaga.) Kuna EF ja CF kuuluvad vastavalt mõlemal tasapinnal on soovitud nurk phi (nurk CFE).

Sellele põhjendusele järgneb lihtne arvutuslik osa.

"B"EF ja D"C"EF), mille tulemusena mõlemal joonisel nende ristumisjoonele tõmmatud perpendikulid A""M ja D""M jõuavad ühte punkti M ja - seespool , mitte väljaspool prismat, kuna nurgad B"A""D ja C"D""A on nüri (B"D ja suurem kui BD=AC=A""C"" ja C"A suurem kui AC= BD=B""D"" Järgmiseks, olles leidnud rombide diagonaalid ja küljed, saate leida lõigud A""M ja D""M, kasutades näiteks kahte rombi pindala valemit

Märge: Muidugi pole selles ja sarnastes probleemides polüeedri mõõtmeid (näiteks "a") vaja, seetõttu pole parameetri "k" arvväärtuste valimisel vaja. erinevaid valikuid probleem, tuleks selle tingimuse sisu sobivas kohas sõnastada näiteks nii: “... prismas, mille kõrgus on nii mitu korda suurem kui aluse külg...” jne. .

3. Polühedris ristuvate sirgete vahelise kauguse ja nurga leidmine.

Probleemi lahendus

№1 №2 №3 №4 №5

Ülesanne nr 1.

MsoNormalTable">

№1 Probleemi lahendamine esimesel viisil eeldab:
- raske põhjendus sellele, et soovitud risti (h skr.), mille otsad on kahel etteantud lõikuval sirgel, asub kuubi sees (mitte sellest väljaspool);
- selle perpendikulaari asukoha ligikaudne määramine;
- oletus, et leida lõigu pikkus h skr. Kolme risti teoreemi kasutades tuleb see projitseerida kuubi külgnevatele tahkudele, kuhu kuuluvad ristuvad sirged (diagonaalid), ja alles siis läheneda lihtsale lahendusele:

Teise lõiketasapinna ehitamine, mis läbib diagonaali B"D ja lõikab teist lõikuvat sirget A"C"; selle tasapinnaga on mugav valida diagonaallõik BB"D"D, see kahe risti risti tasapindadel, on tasapind BB"D"D risti tasapinnaga ACD", kuna tasand BB"D"D läbib sirget (B"D), mis on risti teise tasapinnaga (ACD"). Järgmisena ehitage mõlema tasapinna, neist 2, lõikejoon ühised punktid(D"O) ja on fikseeritud selle sirge ja diagonaali B"D lõikepunktis (punkt N);
- ja lõpuks, vastavalt teoreemile, et kui tasapind on risti ühe paralleelse sirgega, siis on ta risti ka teisega, punktist O" kuulub A"C" joonestame lõigutasandile BB lõigu O "D"D, kuni see lõikub D"O-ga "M on paralleelne B"D-ga; sel juhul on O"M tasandiga ACD risti" ja seetõttu O"M = h skr.;
- siis lahenduse arvutuslikus osas, võttes arvesse lõiku BB"D'D ja selles täisnurkset kolmnurka OO'D", leiame: Nagu näeme, on mõlemast esimesest meetodist vähe kasu probleemide korral, mis esitavad vähemalt teatud keerukus

Ja lõpuks, lahenduse arvutuslikus osas saate kasutada eelmise lahendusmeetodi tehnikat või kasutada kolmnurkade sarnasust:

Ülesanne nr 3.

Selles ülesandes on lahendusmeetodi valimisel määravaks teguriks sirge AC risti diagonaaltasandiga ВB'D'D (kuna AC on risti ВD ja AC on risti BB'), millele teine ​​sirge joon B'F kuulub, st lõiketasapinda BB' D'D on mugav valida projektsioonitasandiks. Ja siis tuleb lihtne arvutuslik osa:
1). Kolmnurga DFT ja kolmnurga D'FB' sarnasuse põhjal leiame DT = kd;
2). Kolmnurga NOT ja kolmnurga BB'T sarnasusest leiame ON:

Ülesanne nr 4.

See probleem on esitatud siin, et demonstreerida teise meetodi (risti konstrueerimine esimesest sirgest paralleeltasandile, mis sisaldab teist joont) rakendamist lihtsaimates olukordades, mis puudutavad sirgete paiknemist nii keerulises hulktahukas nagu korrapärane kuusnurkne prisma. .

https://pandia.ru/text/78/375/images/image077_33.gif" width="186" height="87 src=">

Ülesanne nr 5.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image079_29.gif" width="347" height="326 src=">

5. Sektsioonid.

Probleemi lahendus

№1 №2 №3 №4 №5 №6

Ülesanne nr 1.

Igal juhul asuvad punktid A, B ja C samal tasapinnal ja seetõttu võime vaadelda neid punkte sisaldava tasandi lõiku. Kuna lõiketasand läbib sfääride (tasapinna sfääride) kokkupuutepunkti ja lõigud puutuvad ringiga (ringjoon ja sirge). Olgu O' ja 0'' esimese ja teise ringi keskpunktid. Kuna O'A || 0''B ja punktid O', C ja 0'' asuvad samal sirgel, nurk AO'C = nurk BO''C. Seetõttu on nurk ACO' = nurk BCO'', st punktid A, B ja C asuvad samal sirgel.

Ülesanne nr 2.

Selle tüvikoonuse telglõikeks on piiritletud trapets ABCD alustega AD = 2R ja BC = 2r. Olgu P sisse kirjutatud ringjoone kokkupuutepunkt küljega AB, O aga sisse kirjutatud ringi keskpunkt. Kolmnurgas ABO on tippude A ja B nurkade summa 90°, seega on see ristkülikukujuline. Seetõttu AR: RO - RO: BP, st RO'2 = AR*BP. Samuti on selge, et AP = R ja BP = r. Seetõttu on koonusesse kirjutatud sfääri raadius RO võrdne ruutjuur R ja r korrutisest, mis tähendab S = 4n(R2 + Rr+ r2). Väljendades valemite abil antud kärbikoonuse mahtu, leiame, et selle pindala täispind on võrdne 2n(R2 + Rr+ r2) = S/2 (tuleb arvestada, et kärbikoonuse kõrgus on võrdne selle sfääri kahekordse raadiusega, mille ümber seda kirjeldatakse).

Ülesanne nr 3.

Nende servadega ühine risti jagatakse nendega paralleelsete kuubi pindade tasanditega y, x ja z pikkusteks segmentideks (x on kuubi serva pikkus; y pikkune segment külgneb servaga a) . Kuubi tahkude tasapinnad, mis on paralleelsed nende servadega, lõikuvad tetraeedriga piki kahte ristkülikut. Nende ristkülikute väiksemad küljed on võrdsed kuubi x servaga. Kuna nende ristkülikute külgi on lihtne arvutada, saame x = bу/с ja x = az/с. Järelikult c = x + y + g = x + cx/b + ex/a, st x = abc/(ab + bc + ca).

Ülesanne nr 4.

Saadud hulknurga kumbki külg kuulub kuubi ühele tahkule, seega ei ületa selle külgede arv 6. Lisaks on kuubi vastaskülgede küljed paralleelsed, kuna tasapinna lõikejooned kahe paralleelse tasandiga on paralleelsed. Järelikult ei saa kuubi ristlõige olla tavaline viisnurk, kuna sellel ei ole paralleelseid külgi. Lihtne on kontrollida, kas tavaline kolmnurk, ruut ja tavaline kuusnurk võivad olla kuubi osad.

Ülesanne nr 5.

Vaatleme ringjoont, mis on antud keha lõik, ja joonestame selle keskpunkti läbiva sirge l, mis on risti selle tasandiga. See sirge lõikub antud kehaga mööda teatud lõiku AB. Kõik joont l läbivad lõigud on ringid läbimõõduga AB.

Ülesanne nr 6.

Vaatleme suvalist lõiget, mis läbib tippu A. See lõige on kolmnurk ABC ning selle küljed AB ja AC on koonuse generaatorid, s.t. on püsiva pikkusega. Seetõttu on ristlõike pindala võrdeline nurga BAC siinusega. BAC nurk muutub 0°-st f-ni,

MsoNormalTable">

Ülesanne nr 2.

Vaatleme kuubikut, mille tipud asuvad dodekaeedri tippudes. Meie ülesandes me räägime projektsiooni kohta selle kuubi esiküljega paralleelsele tasapinnale. Nüüd on lihtne kontrollida, kas dodekaeedri projektsioon on tõepoolest kuusnurk (joonis 70).

Ülesanne nr 3.

a) Vaadeldav ikosaeedri projektsioon muundub 36° pööramisel iseendaks (sel juhul muutuvad ülemiste tahkude projektsioonid alumiste tahkude projektsioonideks). Järelikult on see tavaline 10-nurkne (joon. 71, a).

b) Vaadeldava dodekaeedri projektsioon on 12-nurkne, mis muundub 60° pööramisel iseendaks (joon. 71. b). Pooled selle külgedest on projektsioonitasandiga paralleelsete servade projektsioonid ja teine ​​pool külgedest on projektsioonitasandiga mitteparalleelsete servade projektsioonid. Seetõttu on see 12-nurkne ebakorrapärane.

MsoNormalTable">

Ülesanne nr 4.

Olemas. Joonisel fig näidatud keskpunktid. Kuubi 72 serva on tavalise kuusnurga tipud. See tuleneb asjaolust, et selle kuusnurga küljed on paralleelsed korrapärase kolmnurga PQR külgedega ja nende pikkused on pooled selle kolmnurga külgede pikkusest.

Ülesanne nr 7.

Ei, see pole tõsi. Vaatleme ikosaeedri projektsiooni ABC-tasandile. See on korrapärane kuusnurk (vt joonis 69). Seetõttu oleks vaadeldav lõik korrapärane kuusnurk ainult siis, kui kõik 6 tippu, mis on servadega ühendatud punktidega A, B ja C (ja erinevad punktidest A, B ja C), asuvad samal tasapinnal. Kuid nagu näete kergesti, pole see tõsi (muidu selgub, et ikosaeedri kõik tipud asuvad kolmel paralleelsel tasapinnal).

ÜLESANDED

2. Sarnaste kolmnurkade omaduste kasutamine.

Probleemi lahendus

№1 №2 №3 №4 №5

Ülesanne nr 1.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">

2. juhtum

Ülesanne nr 2.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">

Ülesanne nr 3.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image060_43.gif" width="570" height="264 src=">

Ülesanne nr 4.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">right">