Miks nimetatakse olekut kirjeldavat funktsiooni lainefunktsiooniks? Lainefunktsiooni mõiste

Laine funktsioon, või psi funktsioon ψ (\displaystyle \psi )- kompleksväärtusega funktsioon, mida kasutatakse kvantmehaanikas süsteemi puhta oleku kirjeldamiseks. Kas olekuvektori laienduskoefitsient üle aluse (tavaliselt koordinaat):

| ψ (t) ⟩ = ∫ Ψ (x, t) | x ⟩ d x (\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx)

Kus | x⟩ = | x 1 , x 2 , … , x n ⟩ (\displaystyle \left|x\right\rangle =\left|x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)\right\rangle ) on koordinaatide baasvektor ja Ψ(x, t) = ⟨x | ψ (t) ⟩ (\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle )- lainefunktsioon koordinaatide esituses.

Lainefunktsiooni normaliseerimine

Laine funktsioon Ψ (\displaystyle \Psi ) selle tähenduses peab vastama nn normaliseerimistingimusele, näiteks koordinaatide esituses kujul:

See tingimus väljendab tõsiasja, et antud lainefunktsiooniga osakese leidmise tõenäosus kõikjal ruumis on võrdne ühega. Üldjuhul tuleb integreerimine läbi viia kõigi muutujate üle, millest sõltub lainefunktsioon antud esituses.

Kvantolekute superpositsiooni põhimõte

Lainefunktsioonide puhul kehtib superpositsiooni põhimõte, mis seisneb selles, et kui süsteem võib olla lainefunktsioonidega kirjeldatavates olekutes Ψ 1 (\displaystyle \Psi _(1)) Ja Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(2)), siis võib see olla ka lainefunktsiooniga kirjeldatud olekus

Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+c_(2)\Psi _(2)) mis tahes kompleksi jaoks c 1 (\displaystyle c_(1)) Ja c 2 (\displaystyle c_(2)).

Ilmselgelt saame rääkida suvalise arvu kvantolekute superpositsioonist (liitmisest) ehk siis süsteemi kvantoleku olemasolust, mida kirjeldab lainefunktsioon Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + … + c N Ψ N = ∑ n = 1 N c n Ψ n (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+ c_(2)\Psi _(2)+\ldots +(c)_(N)(\Psi )_(N)=\summa _(n=1)^(N)(c)_(n)( \Psi )_(n)).

Selles olekus koefitsiendi mooduli ruut c n (\displaystyle (c)_(n)) määrab tõenäosuse, et mõõtmisel tuvastatakse süsteem lainefunktsiooniga kirjeldatud olekus Ψ n (\displaystyle (\Psi )_(n)).

Seetõttu normaliseeritud lainefunktsioonide jaoks ∑ n = 1 N | c n | 2 = 1 (\displaystyle \sum _(n=1)^(N)\left|c_(n)\right|^(2)=1).

Lainefunktsiooni regulaarsuse tingimused

Tõenäosuslik tähendus lainefunktsioon seab kvantmehaanika ülesannetes lainefunktsioonidele teatud piirangud või tingimused. Neid standardtingimusi nimetatakse sageli lainefunktsiooni regulaarsuse tingimused.

Lainefunktsioon erinevates esitustes olekuid kasutatakse erinevates esitustes – vastavad sama vektori väljendusele erinevates koordinaatsüsteemides. Ka teistel lainefunktsioonidega operatsioonidel on vektorite keeles analooge. Lainemehaanikas kasutatakse esitust, kus psi-funktsiooni argumendid on terviklik süsteem pidev pendeldades vaadeldavaid andmeid ja maatriksesitus kasutab esitust, kus psi-funktsiooni argumendid on terviklik süsteem diskreetne pendelrände jälgitavad andmed. Seetõttu on funktsionaalsed (laine-) ja maatriksvormid ilmselt matemaatiliselt samaväärsed.

Eksperimentaalne kinnitus Louis de Broglie ideele osakeste-laine dualismi universaalsusest, klassikalise mehaanika piiratud rakendamisest mikroobjektide suhtes, mis on tingitud määramatuse seosest, samuti mitmete katsete vastuoludest alguses kasutatud teooriatega. 20. sajand tõi kaasa kvantfüüsika arengu uue etapi - kvantmehaanika loomise, mis kirjeldab mikroosakeste liikumise ja vastastikmõju seaduspärasusi, võttes arvesse nende laineomadusi. Selle loomine ja arendamine hõlmab ajavahemikku 1900. aastast (kvanthüpoteesi sõnastus Plancki poolt) kuni 20. sajandi 20. aastateni ning seda seostatakse eelkõige Austria füüsiku E. Schrödingeri, saksa füüsiku W. Heisenbergi ja inglise füüsiku P töödega. Dirac.

Vajadus tõenäosusliku lähenemise järele mikroosakeste kirjeldamisel on kvantteooria kõige olulisem eristav tunnus. Kas de Broglie laineid saab tõlgendada tõenäosuslainetena, s.t. oletada, et mikroosakese tuvastamise tõenäosus ruumi erinevates punktides muutub vastavalt laineseadusele? Selline de Broglie lainete tõlgendus ei ole enam õige, kasvõi juba sellepärast, et siis võib osakese tuvastamise tõenäosus mõnes ruumipunktis olla negatiivne, millel pole mõtet.

Nende raskuste kõrvaldamiseks soovitas saksa füüsik M. Born 1926. aastal Laineseaduse järgi ei muutu mitte tõenäosus ise,ja suurusjärk,nimega tõenäosuse amplituud ja tähistatakse . Seda kogust nimetatakse ka lainefunktsioon (või -funktsioon). Tõenäosuse amplituud võib olla keeruline ja tõenäosus W on võrdeline selle mooduli ruuduga:

(4.3.1)

kus , kus on Ψ kompleksne konjugeeritud funktsioon.

Seega on mikroobjekti oleku kirjeldamisel lainefunktsiooni abil statistiline, tõenäosuslik Iseloom: lainefunktsiooni mooduli ruut (de Broglie laine amplituudi mooduli ruut) määrab tõenäosuse, et koordinaatidega piirkonnast leitakse teatud ajahetkel osake x ja d x, y ja d y, z ja d z.

Niisiis kirjeldatakse kvantmehaanikas osakese olekut põhimõtteliselt uudsel viisil - lainefunktsiooni abil, mis on nende korpuskulaarsete ja laineomaduste peamiseks teabekandjaks.

.

(4.3.2)

Suurusjärk (funktsiooni Ψ ruutmoodul) on mõistlik tõenäosustihedus , st. määrab osakese leidmise tõenäosuse ruumalaühiku kohta punkti lähedusest,millel koordinaadidx, y, z. Seega ei oma füüsikalist tähendust mitte funktsiooni Ψ ise, vaid selle mooduli ruut, mis määrab de Broglie laine intensiivsus .

Osakese leidmise tõenäosus korraga t lõppköites V, on tõenäosuste liitmise teoreemi kohaselt võrdne:

.

Sest on defineeritud kui tõenäosus, siis on vaja lainefunktsiooni Ψ esitada nii, et usaldusväärse sündmuse tõenäosus muutuks ühikuks, kui ruumala jaoks V aktsepteerige kogu ruumi lõpmatut mahtu. See tähendab, et antud tingimusel peab osake asuma kuskil ruumis. Seetõttu on tõenäosuste normaliseerimise tingimus:

(4.3.3)

kus see integraal arvutatakse üle kogu lõpmatu ruumi, s.t. koordinaatide järgi x, y, z alates kuni . Seega räägib normaliseerimistingimus osakese objektiivsest olemasolust ajas ja ruumis.

Selleks, et lainefunktsioon oleks mikroosakese oleku objektiivne tunnus, peab see vastama mitmetele piiravatele tingimustele. Funktsioon Ψ, mis iseloomustab mikroosakese tuvastamise tõenäosust mahuelemendis, peaks olema:

· lõplik (tõenäosus ei saa olla suurem kui üks);

· üheselt mõistetav (tõenäosus ei saa olla mitmetähenduslik väärtus);

· pidev (tõenäosus ei saa järsult muutuda).

Lainefunktsioon rahuldab superpositsiooni põhimõtet: kui süsteem võib olla erinevates olekutes, mida kirjeldavad lainefunktsioonid , , ..., siis võib see olla olekus, mida kirjeldab nende funktsioonide lineaarne kombinatsioon:

Kus ( n= 1, 2, 3...) on üldiselt suvalised kompleksarvud.

Lainefunktsioonide lisamine(tõenäosusamplituudid, mis on määratud lainefunktsioonide ruudumoodulitega) eristab põhimõtteliselt kvantteooriat klassikalisest statistikateooriast, milles tõenäosusteoreemi liitmine kehtib sõltumatute sündmuste puhul.

Laine funktsioonΨ on mikroobjektide oleku peamine omadus. Näiteks elektroni keskmine kaugus tuumast arvutatakse valemiga

,

Kvantmehaanika ümberkujundamine

1. Probleemi olemus

Schrödinberg ei tuletanud oma kuulsat võrrandit, ta arvas selle ära:

Osakeste mass;

Imaginaarne ühik;

Kvantkonstant;

Välja energia;

Schrödingeri lainekompleksfunktsioon (de Broglie lainete amplituud).

Lainefunktsiooni füüsikaline tähendus või õigemini selle mooduli ruut määrati Kopenhaageni tõlgenduse kohaselt lainefunktsiooni tõenäosustihedusena. Osakese tuvastamise tõenäosus antud punktis teatud ajahetkel on null, mistõttu ei räägita mitte tõenäosusest, vaid tõenäosustihedusest.

Siin pole venitamist. Olukord on üsna reaalne, näiteks tõenäosus, et pall kukub selle pinnal valitud punkti, on null, kuid pall kukub ühel hetkel kindlasti.

Osakese tuvastamise tõenäosus antud ruumiruumis teatud ajahetkel Kopenhaageni tõlgenduses:

(2)

Statistilise füüsika rajajatele ei tulnud pähegi kujutleda molekuli või aatomit uduse pilvena kogu anuma mahu ulatuses. Samuti ei hoolinud nad sellest, et statistilises füüsikas pidid nad "osakeste trajektoori" mõistega hüvasti jätma. Juhuslikkust mikromaailmas tajusid Maxwell, Boltzmann ja Gibbs täiesti objektiivse mustrina. Ju siis tegelikult trajektoorid jätkusid.

Seetõttu on üsna loomulik, et Schrödinger, de Broglie, Einstein ja teised vähemtuntud füüsikud olid Borni pakutud lainefunktsiooni statistilise tõlgenduse vastu.

Probleemi olemus taandus küsimuse selgitamisele, kas elektron ja teised elementaarosakesed on tõesti jagamatud ja siis pole lainefunktsioonil füüsilist tähendust või kas elektron ja teised elementaarosakesed pole mateeria esimesed ehitusplokid, vaid koosnevad väiksematest tõeliselt fundamentaalsetest osakestest. Sel juhul omandas lainefunktsioon tõelise füüsikalise tähenduse: mehaanikas on see materjaliosakeste vibratsiooni amplituud ja elektrodünaamikas elektroni laengu moodustavate osakeste vibratsiooni amplituud. Tõsi, viimasel juhul oli vaja kuidagi selgitada, miks elektron Coulombi tõukejõudude mõjul laiali ei lenda.

2. Absoluutne süsteem füüsikaliste suuruste mõõtmiseks

Kasutades füüsikaliste suuruste mõõtmiseks absoluutset süsteemi, määrati lainefunktsiooni mõõde.

Füüsikaliste suuruste mõõtmise absoluutse süsteemi koostamise aluseks on valem:

Kus ja on aja ja vahemaa SI ühikud.

Valem (3) on aine struktuuri sügavama teooria tagajärg, mille käsitlemine väljub vaadeldava kvantmehaanika ümbersõnastamise probleemi ulatusest. Pangem vaid tähele, et valem (3) peegeldab ruumi ja aja dialektilist ühtsust ja vastandumist.

Füüsikaliste suuruste mõõtmise absoluutses süsteemis saab kõiki suurusi väljendada kas meetrites või sekundites. Näiteks kõigi suuruste väljendamiseks meetrites peate kasutama ühtse liikumise valemit

Asendusmõõtmed, . Selle tulemusena saame füüsikaliste suuruste mõõtmise absoluutses süsteemis kiiruse mõõtme:

Valides füüsikalised valemid nii, et need sisaldavad ainult ühte tundmatu mõõtmega füüsikalist suurust, on võimalik arvutada kõigi füüsikaliste suuruste mõõtmed absoluutses mõõtühikute süsteemis.

Näiteks mõõtmed on järgmised: pikkus, sagedus, nurkkiirus, kiiruse gradient, mahuvool, elektrilaeng, elektrinihkevoog, magnetvälja tugevus, absoluutne magnetiline läbilaskvus, temperatuur jne.

Mõõtmed on: pindala, nurkiirendus, kiirus, mass, erikaal, dünaamiline viskoossus, induktiivsus, magnetjuhtivus jne.

Mõõtmed on: maht, kiirendus, mahuline energiatihedus, rõhk, kinemaatiline viskoossus, gravitatsioonivälja tugevus, difusioonitegur, elektritakistus, erisoojusmahtuvus, gaasikonstant jne.

Mõõtmed on: impulss, pindpinevus, energiavoo tihedus, inertsimoment, gravitatsioonivälja potentsiaal, elektrivälja tugevus, elektritakistus, magnetvoog, vooluringi magnetmoment, konkreetne soojushulk jne.

Mõõdud on: jõud, konstantne varras, nurkimment, tegevus, elektripinge, soojusjuhtivus jne.

Mõõdud on: energia, töö, jõumoment, soojushulk jne.

Dimensioonil on jõud.

Mõõtmel on tasapind ja ruuminurk.

Valemist (3) järeldub, et , mis võimaldab tuletada järgmised seosed:

(6)

(8),

Füüsikaline suurus, millel on mõõde füüsikaliste suuruste absoluutses mõõtmissüsteemis.

3. Lainefunktsiooni mõõtmed

Nüüd saame Schrödingeri võrrandis (1) määrata lainefunktsiooni mõõtme. Võrrandi esimene liige

Ja teguril on sama mõõde, nii et

(9)

Mõlema külje (9) jagamisel saame:

(10)

Võrrand (10) kehtib ainult

Niisiis, vastupidiselt Borni väidetele, võimaldas füüsikaliste suuruste mõõtmise absoluutne süsteem määrata lainefunktsiooni mõõtme füüsikaliste suuruste mõõtmise absoluutses süsteemis. Kuid mehaanilised arvestid, Plancki konstant, elektrilised kulonid ja termodünaamiline temperatuur on selle mõõtmega. See tähendab, et mehaanika, kvantmehaanika, elektrodünaamika ja termodünaamika võrrandid on muutumatud.

Miks aga keelab Kopenhaageni tõlgendus lainefunktsioonile füüsilise tähenduse andmise? Asi on selles, et võrrandis (2) Born võrdustas lainefunktsiooni ruudu mooduli nulliga eeldusel, et lainefunktsiooni mõõde on võrdne, ja kehtestas sellega keelu anda lainefunktsioonile mis tahes füüsikalisi omadusi.

Tegelikult, nagu füüsikaliste suuruste mõõtmise absoluutsest süsteemist järeldub, saab lainefunktsiooni väljendada nii ruumiliste kui ka ajakoordinaatidena ning ainult nende funktsioonide korrutis on mõõtmeteta:

Funktsioon on kompleksselt ühendatud funktsiooniga .

Valemis (2) lainefunktsiooni Kopenhaageni tõlgenduse õige tulemus on tagatud ainult siis, kui ruum on ajast sõltumatu. Muutujate sõltumatuse nõue on tõenäosusteooria nõue. Teine valemiga (2) kaudselt kehtestatud tingimus on lainefunktsiooni mõõtmete muutumatuse tingimus.

Relatiivsusteooria paljastas ruumi ja aja vastastikuse sõltuvuse, mis tähendab, et valemit (2) saab kasutada ainult siis, kui süsteemid liiguvad valguse kiirusest oluliselt väiksema kiirusega.

Vaadeldes objekti kolmemõõtmelisest ruumist (vt joonis) näeb ruut välja nagu ruut mõõtmega . Kui hakkate ruutu kiirendama paralleelselt selle tasapinnaga, hakkab ühe külje pikkus vastavalt SRT-le lühenema ja ruut muutub segmendiks mõõtmega . See punkt vastab punktile joonisel ja punkt vastab kogu lainefunktsiooni Kopenhaageni tõlgendusele, kui , ja

Seega on lainefunktsiooni Borni tõlgendus vaid selle laiema tõlgenduse erijuhtum kvantmehaanikas, mis on ümber sõnastatud absoluutse füüsikaliste suuruste mõõtmise süsteemi seisukohast.

Lainefunktsiooni tegeliku füüsilise tähenduse mõistmiseks peame ümber mõtlema liikumise kontseptsiooni.

4. Mis on liikumine?

Füüsika on kohanud energiakvante, kuid elektroni puhul pole ta jõudnud elektrilaengute ja massikvantideni.

Kvantmehaanika ümbersõnastamine füüsikaliste suuruste absoluutse mõõtmise süsteemi alusel võimaldab meil naasta elektronide ja teiste elementaarosakeste klassikalise tõenäosusliku kirjelduse juurde, kasutades statistilise mehaanika meetodeid suure hulga tõeliselt fundamentaalsete osakeste jaoks, millest elektron koosneb. .

Tõepoolest, valguse leviku kirjeldamisel ilmnevad kvantefektid.

Meie kolmemõõtmeline ruum on kvantiseeritud, seetõttu Zenoni paradoksid selles ei kehti ja kaheväärtusliku loogika kasutamine on võimalik. Kuid universumis on nullmõõtmetega dimensioonideta ruum, mida füüsikas identifitseeritakse energia või ajaga. See ruum ei ole kvantiseeritud, selles toimivad Zenoni paradoksid ja aristotelelik kaheväärtuslik loogika ei ole selle suhtes rakendatav. Näib, et teaduslikul teadmisel on selle rakendatavuse piirid ja need piirid algavad sealt, kus algab nullmõõtmete ruum.

Apooriates “dihhotoomia” ja “Achilleus” järgib Zenon ruumi ja aja järjepidevuse aksioomi nende tegeliku abstraktse lõpmatuse mõttes. Ilma selle aksioomi eelduseta hävivad mõlemad apooriad.

“Noole” ja “etappide” apooriates järgib Zenon ruumi ja aja diskreetsuse aksioomi. Apooria variseb kokku, kui liikumise hüpoteesist eemaldatakse diskreetsuse aksioomid.

Zenoni ümberlükkajate katsed esitada asja nii, nagu ei oleks “nool” ja “lavade” apooriad mõttetud ning nendega filosoofile ette heita ei kannata mingit kriitikat. Vastupidi, Zenoni teene seisneb selles, et ta esitas küsimuse, mida on juba kaks ja pool aastatuhandet püüdnud kõikvõimalikud paljastajad oma pseudovastuste ilmumisega keskpäraselt maha matta.

Gödel aitas oma teoreemiga, et igas järjekindlas teoorias on ebapiisav arv aksioome ja täielik aksioomide komplekt viib vastuolulise teooriani, andis olulise panuse, kui mitte lahendusse, siis Zenoni olemuse selgitamisse. paradoksid. Gödeli järgi peab terviklik liikumisteooria sisaldama diskreetse ja pideva ruumi ja aja vastuolulisi hüpoteese.

Võime väita, et Zenoni paradokside olemus ei ole tema loogika puudustes, vaid liikumise enda ebajärjekindluses. Liikumisest endast teame väga vähe. Teadus käsitleb liikumist eri aegadel erinevates kohtades. Meie liikumise kontseptsioon on vähem kriitiline kui eleaatikute oma; me nimetame liikumiseks seda, mida eleatics poleks kunagi liikumiseks nimetanud.

Meie mõistes liigub sama keha. Galileo tõlgendas liikumist kui "edenemiste kogumit", st samamoodi, nagu Zeno kirjeldas seda "noolte" apooriates. Ja sellisest liikumisest arusaamisest kaugemale teadus ei jõudnudki. Vähemalt kuni kvantmehaanika sünnini

Diskreetse liikumise mudelis objekt isegi ei hüppa punktist punkti, vaid kaob ühest ruumipunktist ja ilmub teise. Need pole isegi mitte sama objekt, vaid kaks erinevat objekti. Vastasel juhul jõuame ruumi ja aja järjepidevuse hüpoteesini.

Kaasaegne kvantfüüsika on eemaldunud füüsikaliste protsesside mudelesitusest. Näiteks arvatakse, et laine-osakeste duaalsust ei saa esitada ühegi mudeli kujul. Füüsik V. A. Fok (1898-1974) andis laine-osakeste duaalsuse tõlgenduse järgmiselt: „Võime öelda, et aatomiobjektil on potentsiaalne võimalus avalduda, olenevalt välistingimustest, kas laine või osakesena. või vahepealsel viisil . Just selles potentsiaalses mikroobjektile omaste omaduste avaldumise võimalikkuses seisnebki laine-osakeste dualism. Igasugune muu, sõnasõnalisem arusaam sellest dualismist mingisuguse mudeli kujul on vale.

Füüsika täielik geometriseerimine, mis põhineb füüsikaliste suuruste absoluutsel mõõtmissüsteemil, lükkab sellise vaatenurga täielikult ümber. Geomeetrilisi mudeleid on võimalik konstrueerida mis tahes füüsikalistest protsessidest. Mikromaailmal ei ole oma eriseadusi. Loodus on üks ja loodusseadused on üks.

4. Kvantrelatiivsusteooria

Arvukad katsed kehtestada erirelatiivsusteooria raames fundamentaalne pikkus, et ehitada lahknemistest vaba teooria, näitavad, et see viib paratamatult põhjuslikkuse põhimõtte rikkumiseni. Et ühendada relatiivsusteooria kvantmehaanikaga, on vaja kvantiseerida ruum ja aeg ise.

Kvantrelatiivsusteooria konstrueerimise lähtepunktiks on Heisenbergi määramatuse printsiip. Kõige kuulsam debatt määramatuse printsiibi üle toimus viiendal Solvay rahvusvahelisel teadlaste kongressil 1927. aastal Brüsselis. ja Niels Bohr. Nad arutlesid selle üle, kas universum on põhimõtteliselt tõenäoline. Legendi järgi ütles Einstein just sellel kongressil oma kuulsat "Jumal ei mängi täringuid".

Kaks aastat pärast kongressi, olles olukorda põhjalikult kaalunud, pakkus Einstein koos Podolski ja Roseniga välja mõtteeksperimendi, mis tema arvates lükkab täielikult ümber lainefunktsiooni olemasolu reaalsuse, mille mooduli ruut , nagu teada, määrab elektroni leidmise tõenäosuse punktis x,y,z kolmemõõtmeline ruum.

Katse olemus on järgmine. Koosneb süsteem kahest elektronist ja olgu elektronid mingil ajahetkel üksteisest suurel (teadaoleval) kaugusel. Olgu ka elektronidel teadaolev summaarne impulss. Kui mõõta esimese elektroni impulsi, siis saab kohe leida ka teise elektroni impulsi, sest impulsi summa on teada. Teisest küljest, kui keegi mõõdab esimese elektroni asukohta, saab teise elektroni asukoht hetkega teada. See tähendab, et esimese elektroni olekut jälgides saame hetkega muuta lainefunktsiooni nii, et teine ​​elektron hõivaks teatud positsiooni ja omaks teatud impulssi, hoolimata sellest, et me sellele lähedale ei jõudnud.

Huvitaval kombel viidi lõpuks läbi sarnane eksperiment, mis näitas, et kõik juhtub täpselt nii, nagu Einstein kirjeldas, ja lainefunktsioon muutub peaaegu silmapilkselt. Üks katsetest viidi 2008. aastal läbi footonitega, mis olid teatud “põimunud olekus”. Genfi ülikooli teadlased eraldasid takerdunud footonite paarid ja saatsid need mööda optilist kiudu kahte detektorisse, mis paiknesid vastassuundades emitterist 9 kilomeetri kaugusel. Sisendis ja väljundis olevad detektorid määrasid footonite “värvid” (nende laineomadused). Mõõtmisi korrati mitu korda 12 tunni jooksul. Selgus, et footonite füüsikalised omadused muutusid võrdselt ja sünkroonselt. Kui üks footon muutus punaseks, muutus ka teine. Viiteaega ei olnud võimalik tuvastada, kuid seadmete täpsuse piires võis väita, et lainefunktsioon muutus kiirusel, mis ületas valguse kiirust vähemalt 10 000 korda. Mõlemad osakesed näivad järgivat välise liikumiskontrolleri signaali.

Ükski füüsikaline teooria ei suuda anda eksperimentaalsete tulemuste rahuldavat selgitust. Lõppude lõpuks, kui looduses on nähtusi, mille puhul vastastikmõjude edastamise kiirus on lõpmatult suur, siis võivad kehad üksteisele mõjuda vahemaa tagant ja aine puudumisel. Füüsikas nimetatakse seda kehade mõju üksteisele kaugtegevuseks. Kui kehad toimivad üksteisele nende vahel paikneva aine abil, siis nende vastasmõju nimetatakse lähitegevuseks.

Paljudel füüsikutel ei ole kombeks öelda "ma ei tea", kui probleemi ei saa neile kättesaadavate vahenditega lahendada, mistõttu on korduvalt väidetud, et Einsteini, Podolsky ja Roseni paradoks on lahendatud, kuid igaüks aeg selgub, et see pole nii.

Põhimõtteliselt taandub probleem samadele Zenoni paradoksidele ja nõuab selle lahendamiseks ühe kahest postulaadist: kas ruum ja aeg on diskreetsed (Bohri positsioon) või ruum ja aeg on pidevad (Einsteini positsioon). Bohri positsiooni ekslikkus seisneb selles, et tunnistades kolmemõõtmelise ruumi ja aja diskreetsust, võimaldab ta selles interaktsioonide edastamise lõputu kiirusega.

Ühe keha mõju ülekandmine teisele vahekeskkonna kaudu võtab aega, kuna kõik materiaalses keskkonnas toimuvad protsessid kanduvad punktist punkti lõpliku ja täpselt määratletud kiirusega. Spetsiaalne relatiivsusteooria väidab, et vastastikmõjude edastamise kiirust ei ole suurem kui m/s. Einsteini seisukoha ekslikkus seisneb selles, et tunnistades ruumi ja aja (nullmõõtmetega ruum ja aeg) järjepidevust, piirab ta selles interaktsioonide edastamise kiirust.

Paragrahvis 3 näitasime, et erirelatiivsusteooria kirjeldab ainult ühte erijuhtumit paljudest faasilistest aegruumi teisendustest. Meie kolmemõõtmeline ruum, milles toimub kahemõõtmelise ruumi muutumine ühemõõtmeliseks ruumiks, ei ole absoluutne tühimik, mistõttu m/c. Tänu ruumi ja aja erinevale suhtele ainekvantides väheneb ruumi tihedus järsult liikudes suurema mõõtmete arvuga ruumidesse. Tulevikku vaadates ütleme, et näiteks neljanda dimensioonide arvu ruumis kulgevad kõik protsessid mitu korda kiiremini kui meie kolmemõõtmelises ruumis.

Max Planck tegi ettepaneku kasutada põhikonstantidest konstrueeritud ühikuid looduslike ühikutena:

= 1,6 m

Lihtne on kontrollida, kas Plancki pikkuse, massi ja aja mõõtmed vastavad füüsikaliste suuruste mõõtmise absoluutsüsteemi mõõtmetele. Halvem on olukord Plancki põhikoguste arvväärtustega. Kaasaegse füüsika saavutatud väärtuste vahemikus on need suurused suurusjärgus: ~m, ~c. Võime eeldada, et me pole veel jõudnud Plancki pikkuse ja aja väärtusteni, kuid mida teha Plancki massiga? Plancki mass on ju tavalise tolmukübeme mass, mis koosneb miljonitest aatomitest ja seetõttu ei saa see olla põhimass. Tegelikult on olukord veelgi hullem.

Teeme kindlaks, et gravitatsioonikonstant ei ole nii fundamentaalne, see on valguse kiiruse tuletis. Pealegi, kuna valguse kiirusel on nullist erinev tuletis, on see ka muutuv suurus ega saa olla põhikonstant. Kuid see pole veel kõik. Energia jäävuse seaduse järgimiseks peab Plancki konstant muutuma koos valguse kiirusega. Tundub, et looduses pole üldse midagi püsivat ja relativistidel on õigus, kui nad väidavad, et kõik on suhteline. Aga see pole tõsi. Energia jäävuse seaduse järgimiseks peavad valguse kiirus ja Plancki konstant muutuma nii, et

m~

Kuna pole jõudu vähem kui h, ja suuremat kiirust pole kui Koos, (me kaalume Koos kolmemõõtmelises ruumis asuva vaatleja positsioonist), siis esimese mõõtme ruumi kuuluv suurus on põhiline pikkus, mida kvantmehaanika on oma loomisest saati otsinud:

Seega (4.1) annab meile esimese mõõtme ruumi füüsikaliste suuruste minimaalse väärtuse. Mitmemõõtmeliste ruumide teoorias saab Heisenbergi määramatuse printsiibi sõnastada järgmiselt: viienda mõõtme ruumi füüsikaliste suuruste minimaalne väärtus on võrdne Plancki konstandiga:

Teades ja , pole keeruline leida valemit mis tahes mõõtmetega ruumi füüsikaliste suuruste miinimumväärtuste arvutamiseks, nii et füüsikaliste suuruste mõõtmed vastavad ruumi mõõtmetele:

Heisenbergi määramatuse printsiip on valemi (4.3) erijuhtum ja ühes võimalikus valikus võib selle kirjutada järgmiselt:

(4.4)

kus: ja on massiga keha koordinaatide ja kiiruse määramise määramatused.

Ebakindlusel pole vaatlejaga mingit pistmist, need on täielikult määratud aegruumi kvantomadustega. Kvantrelatiivsusteoorias eemaldatakse vaatleja vaadeldavast ruumist kõrgema mõõtmega ruumi ega saa kuidagi mõjutada mõõtmiste tulemusi.

Põhjus, miks kvantmehaanika spetsialist R. Feynman võis üsna rahulikult väita, et kvantmehaanikast ei saa keegi aru, peitub selles, et kvantmehaanika põhialused ei olnud lõpuni sõnastatud.

Valem (4.3) on geomeetrilise progressiooni üldliikme valem, mis moodustab teatud hüperreaalarvu. Kahe naaberruumi minimaalsete osade (kvantide) suhe on konstantne väärtus:

(4.5) kehtivust tõestab väärtuste otsene asendamine valemiga (4.3)

Faasiruumi-aja transformatsioonide käigus muutub ruumi mõõde. Protsess toimub vastavalt aine jäävuse seadusele, mistõttu ruumi mahu suurenemine (vähenemine) viib aines oleva aja vähenemiseni (pikenemiseni):

(4.5) ja (4.6) järeldub, et protsesside maksimaalne kiirus kahes naaberruumis erineb mitu korda:

(4.7)

Valem (4.7) ei tühista relatiivsuspõhimõtet, füüsikalised protsessid kulgevad identselt mis tahes dimensiooniga ruumides. (4.7) põhjal saame vaid väita, et erineva mõõtmega ruumides toimuvad protsessid erinevatel maksimumkiirustel. Elementaarosakeste eluea pikenemist ei seleta mitte ainult aja aeglustumine (skaala suurenemine), vaid ka ruumi ulatuse vähenemine.

Maksimaalse kiiruse väärtus muutub järsult aegruumi mõõtme muutudes. Valguse kiiruse püsivuse postulaat toimib ainult kindla arvu mõõtmetega ruumis. Liikudes edasi kõrgema mõõtmega ruumi, võtame madalama mõõtmega ruumi valguse kiiruse nulliks.

Absoluutsete (mittekõverate) ruumide kvantide lineaarsed mõõtmed leiame puhtalt geomeetrilistel kaalutlustel:

(4.8) abil leiame, et absoluutse ühemõõtmelise ruumi kvant on 7,37 m pikkune sirge lõik; kahemõõtmelise ruumi kvant on ruut, mille külg on 1,13 m; Kolmemõõtmelise ruumi kvant on kuup, mille külg on 1,30 m.

Absoluutse aegruumi kvantide lineaarsed mõõtmed on seotud aja vastavate mõõtmetega seosega:

(4.9) järeldub, et protsesside minimaalne võimalik kestus esimese mõõtme ruumis on 2,45 s; teise mõõtme ruumis – 3,76 s; ja kolmanda dimensiooni ruumis – 4,34 s

Suletud (ühtlaselt kõverdatud) ruumi kvantraadius vastavalt punktile (3.6):

(4.10)

Kvantide arv suletud ruumis:

(4.11)

(4.3) ja (4.11) järeldub, et aegruumi kvante üheks füüsiliseks süsteemiks ühendav energia on võrdne:

Sama energia vabaneb faaside aegruumi transformatsioonide käigus . Einsteini energiavalem on valemi (4.12) erijuht. Einsteini valemit kasutades eraldame tuumaelektrijaamades kahemõõtmelise ruumi kvantide sidumisenergia. Kuid kolmemõõtmelise ruumi kvantidel või, nagu seda praegu nimetatakse, füüsiliseks vaakumiks, on ka sidumisenergia:

Võib välja arvutada, et üks kuupmeeter kolmemõõtmelist ruumi sisaldab energiat, mis võrdub 1130 tonni TNT energiaga. Kui õpime vaakumkvante poolitama, saame ammendamatu energiaallika. Muuhulgas avaneb meil võimalus mitte luua kosmoselaevadele suuri energiavarusid, vaid ammutada seda otse kosmosest.

Mitmemõõtmeliste ruumide teoorias võib käsitleda ruumi murdmõõtmeid (joonis 1). Murdintegraalide ja tuletiste laialdast kasutamist takistab nende selge füüsikalise tõlgenduse puudumine, nagu näiteks hariliku integraali ja tavatuletise oma.

Klassikalises geomeetrias ei ole vahepealseid objekte punkti () ja sirglõigu (), lõigu ja ruudu () ja nii edasi vahel. Üldjuhul leitakse kogu murdmõõtme väärtus järgmise valemi abil:

Statsionaarsel kahemõõtmelisel ruumil on mõõde , samal valguse kiirusel liikuval ruumil on mõõde ja selle kogu murdmõõde on võrdne:

Täisarvuliste mõõtmete indikaatorid on ainult fikseeritud tühikutel. See on ülim ideaaljuhtum, mida saame ette kujutada vaid teoreetiliselt, sest reaalset ruumi – aega ilma liikumiseta ei eksisteeri.

Murdmõõtmelisi näitajaid peetakse sageli ebaloomulikeks. See vaade sai võimalikuks ainult tänu sellele, et enamiku füüsiliste protsesside dimensiooninäitajad erinevad reaalsete füüsiliste objektide madalate liikumiskiiruste tõttu vähe täisarvudest.

Fraktaalsete (erineva skaala, tervikuga sarnase) keskkondade kirjeldamisel tekivad ka mõõtmeindeksite murdarvud. Fraktaalkeskkonnas, erinevalt pidevast keskkonnast, eemaldub juhuslikult ekslev osake alguspunktist aeglasemalt, kuna kõik liikumissuunad ei muutu talle kättesaadavaks. Difusiooni aeglustumine fraktaalikeskkonnas on nii märkimisväärne, et füüsikalised suurused hakkavad muutuma aeglasemalt kui esimene tuletis ja seda efekti saab arvesse võtta ainult murdosa järku ajatuletist sisaldavas integraal-diferentsiaalvõrrandis.

Lõpmatult väikeste arvude pöördarvud on lõpmata suured arvud. Näiteks pöördarv annab ruumi füüsiliste suuruste maksimaalse väärtuse, millest on lahutatud esimene mõõde, st aeg:

Kuna need moodustavad geomeetrilise progressiooni, peavad arvud moodustama ka geomeetrilise progressiooni. Lisaks peavad mõõtmed vastama füüsikaliste suuruste mõõtmetele absoluutses mõõtesüsteemis. Kõik need nõuded on valemiga täidetud

Valem (4.3) kirjeldab mikrokosmose negatiivse kõveruse füüsikalisi ruume ja valem (4.13) kirjeldab Universumi positiivse kõveruse ruume. Füüsikaliste suuruste maksimum- ja miinimumväärtuste arvväärtused on toodud tabelis 2.

Vastab mateeria dimensioonile, seetõttu töötab tavaline matemaatika dimensioonideta täpsete arvudega nullist kujuteldamatult suurte arvudeni. Kvant-mikromaailmas võib määramatuse tähelepanuta jätmine põhjustada vigu. Kui füüsikalised protsessid on stabiilsed ja lähenevad teatud tulemusele, peavad määramatused olema piisavalt väikesed, et võimaldada tavaloogika ja matemaatika kasutamist.

Ebastabiilsete protsesside korral peaksid määramatused viima tulemuse täieliku "hägustumiseni", mis võimaldab kasutada kvantmehaanika traditsioonilisi tõenäosuslikke meetodeid. Kui protsess on ebastabiilne, põhjustab väike "hägusus" tulemuses ebakindlust.

Igal juhul peaksite peatuma, kui jõuate .

Määramatuste olemasolu võimaldab kasutada nn otstarbeka loogikat. Otstarbekas loogika ei pretendeeri peamise loogilise struktuurina. See määrab ära mitteklassikalise loogika tuntud variantide, nagu konstruktiivne, asjakohane, mitme väärtusega ja häguloogika, rakendusala. Selles loogilises süsteemis on väide A = B tõene või väär sõltuvalt sellest, kui suur on vahe A - B ja kas see takistab eesmärgi saavutamist.

Otstarbeka loogika raames lahendatakse kahe heinakuhja vahel seisva eesli probleem, liikudes käsitlema eeslite ansamblit. Eeslid ei asu täpselt keskel, vaid mingis virnadevahelises ruumis. Sel juhul jagatakse eeslid kahte võrdsesse rühma ja lähevad mööda lühimat teed, mõned paremale ja teised vasakule. Selline eeslite käitumine on asjakohane. On kohatu tõstatada küsimust, kuhu iga konkreetne eesel läheb. See on hind, mida tuleb maksta tõenäosuslikele arvutusmeetoditele ülemineku eest.

Klassikalise loogika järgi jääb eesel paigale ja sureb nälga. Selline eesli käitumine on kohatu. Otstarbeloogika rakendamisel, nagu ka tavaloogika rakendamisel, peaksid arvutused peatuma jõudmisel või. Meil pole õigust ületada teaduslike teadmiste piire.

Tuleb märkida ühte olulist asjaolu: me liigume tõenäosusarvutuste juurde mitte sellepärast, et oleme saavutanud , vaid seetõttu, et oleme jõudnud oma instrumentide täpsuspiirini. Kopenhaageni kvantmehaanika tõlgenduse toetajad kiirustasid teatama, et füüsika on jõudnud füüsikaliste suuruste miinimumväärtusteni, mis piiravad füüsikaseaduste toimimist ja tavaloogika rakendamist. Sellega seoses on vale eeldada, et elektronil ja teistel elementaarosakestel puudub sisemine struktuur. Ühemõõtmelise ruumi ehitusplokkidest (pikkustest stringidest) on võimalik konstrueerida elektronide ja elementaarosakeste mehaanilisi mudeleid m) kahemõõtmeline ruum (sfäär pindalaga). m2) ja kolmemõõtmeline ruum (mahuga kuubikud m3).

Veelgi enam, meil on võimalus anda matemaatiline definitsioon ja süstematiseerida mõned füüsikalised suurused, millel varem sellist määratlust ei olnud.

Asi: ;

Eeter: . Eetris interaktsioone kas ei edastata () või edastatakse koheselt (), ruumilise ja ajalise laienemise mõisted on mõttetud, osa võrdub tervikuga, algus on ühendatud lõpuga, lõpmata suur on võrdne lõpmata väikesele. Põhjuslikkuse põhimõtet eetris ei järgita. Eetri ebatavalised füüsikalised omadused viisid selle hülgamiseni 20. sajandi alguses;

Füüsiline vaakum:. See on kolmemõõtmeline ruum ilma mateeria ja väljata

Valem (4.13) laiendab Heisenbergi määramatuse printsiibi toimet kõigi füüsikaliste suuruste maksimaalsele väärtusele. (4.3) ja (4.13) järeldub, et Heisenbergi määramatuse printsiip on ainult viienda mõõtme ruumi füüsikaliste suuruste väärtuste määramatuste erijuhtum ja see tuleks kirjutada kujul:

(4.14)

Kui on liikuva ruumi mõõtmete arv, siis mitmemõõtmeliste ruumide teooria puhul annab superstringide teooria at - eri- ja at - üldrelatiivsusteooria.

3. KVANTMEHAANIKA ELEMENDID

3.1.Lainefunktsioon

Iga mikroosake on eriline moodustis, mis ühendab endas nii osakeste kui lainete omadused. Mikroosakese ja laine erinevus seisneb selles, et see tuvastatakse jagamatu tervikuna. Näiteks poolelektroni pole keegi vaadelnud. Samal ajal saab laine jagada osadeks ja seejärel iga osa eraldi tajuda.

Kvantmehaanika mikroosakeste ja tavalise mikroosakeste erinevus seisneb selles, et sellel ei ole samaaegselt teatud koordinaatide ja impulsi väärtusi, mistõttu mikroosakese trajektoori mõiste kaotab oma tähenduse.

Osakese leidmise tõenäosuse jaotust teatud ruumipiirkonnas teatud ajahetkel kirjeldab lainefunktsioon (x, y, z , t) (psi-funktsioon). Tõenäosus dP et osake asub mahuelemendis dV, proportsionaalne
ja mahuelement dV:

dP=
dV.

Funktsioonil endal pole füüsilist tähendust
, ja selle mooduli ruut on tõenäosustihedus. See määrab tõenäosuse, et osake on antud ruumipunktis.

Laine funktsioon
on mikroobjektide (mikroosakeste) oleku põhitunnus. Selle abil saab kvantmehaanikas arvutada füüsikaliste suuruste keskmisi väärtusi, mis iseloomustavad antud objekti lainefunktsiooniga kirjeldatud olekus
.

3.2. Määramatuse põhimõte

Klassikalises mehaanikas täpsustatakse osakese olekut koordinaatide, impulsi, energia jne abil. Need on dünaamilised muutujad. Mikroosakest ei saa selliste dünaamiliste muutujatega kirjeldada. Mikroosakeste eripära on see, et mitte kõik muutujad ei saa mõõtmise ajal teatud väärtusi. Näiteks ei saa osakesel korraga olla täpseid koordinaatide väärtusi X ja impulsskomponendid R X. Väärtuste ebakindlus X Ja R X rahuldab seost:

(3.1)

– mida väiksem on koordinaadi Δ määramatus X, seda suurem on impulsi Δ määramatus R X, ja vastupidi.

Seost (3.1) nimetatakse Heisenbergi määramatuse seoseks ja see saadi 1927. aastal.

Δ väärtused X ja Δ R X nimetatakse kanooniliselt konjugeeritud. Samad kanooniliselt konjugaadid on Δ juures ja Δ R juures, ja nii edasi.

Heisenbergi määramatuse printsiip väidab, et kahe konjugeeritud muutuja määramatuste korrutis ei saa olla suurusjärgus väiksem Plancki konstandist. ħ.

Seetõttu on energia ja aeg samuti kanooniliselt konjugeeritud
. See tähendab, et energia määramine täpsusega Δ E peaks võtma ajavahemikku:

Δ t ~ ħ/ Δ E.

Määrame koordinaatide väärtuse X vabalt lendav mikroosake, mis asetab selle teele tühimiku laiusega Δ X, mis asub osakeste liikumise suunaga risti. Enne osakese pilu läbimist on selle impulsi komponent R X sellel on täpne tähendus R X= 0 (vahe on impulsi vektoriga risti), seega on impulsi määramatus null, Δ R X= 0, kuid koordinaat X osakesed on täiesti ebakindel (joon. 3.1).

IN hetkel, kui osake läbib pilu, asend muutub. Täieliku koordinaatide määramatuse asemel X ilmneb määramatus Δ X, ja ilmub impulsi määramatus Δ R X .

Tõepoolest, difraktsiooni tõttu on teatud tõenäosus, et osake liigub 2 nurga all. φ , Kus φ – esimesele difraktsioonimiinimumile vastav nurk (kõrgemate järkude maksimumid jätame tähelepanuta, kuna nende intensiivsus on keskmaksimumi intensiivsusega võrreldes väike).

Seega tekib ebakindlus:

Δ R X =R patt φ ,

Aga patt φ = λ / Δ X– see on esimese miinimumi tingimus. Siis

Δ R X ~рλ/Δ X,

Δ XΔ R X ~рλ= 2πħ ≥ħ/ 2.

Määramatuse seos näitab, mil määral saab klassikalise mehaanika mõisteid mikroosakeste suhtes kasutada, eriti millise täpsusega saab rääkida mikroosakeste trajektoorist.

Liikumist mööda trajektoori iseloomustavad osakese kiiruse ja selle koordinaatide teatud väärtused igal ajahetkel. Asendades selle asemel määramatuse suhtega R X impulsi väljendus
, meil on:

–

Mida suurem on osakese mass, seda väiksem on selle koordinaatide ja kiiruse määramatus, seda täpsemalt on trajektoori mõisted sellele rakendatavad.

Näiteks 1,10-6 m suuruse mikroosakese puhul määramatused Δх ja Δ ületada nende suuruste mõõtmise täpsust ja osakese liikumine on lahutamatu liikumisest mööda trajektoori.

Määramatuse seos on kvantmehaanika põhiline väide. Näiteks aitab see selgitada tõsiasja, et elektron ei lange aatomi tuumale. Kui elektron langeks punkttuumale, omandaksid selle koordinaadid ja impulss teatud (null) väärtused, mis ei sobi kokku määramatuse põhimõttega. See põhimõte nõuab, et elektronkoordinaadi määramatus Δ r ja impulsi määramatus Δ R suhtega rahul

Δ rΔ lk ≥ ħ/ 2,

ja tähendus r= 0 on võimatu.

Elektroni energia aatomis on minimaalne r= 0 ja R= 0, nii et madalaima võimaliku energia hindamiseks määrame Δ r ≈ r, Δ lk ≈ lk. Siis Δ rΔ lk ≥ ħ/ 2 ja väikseima määramatuse väärtuse jaoks on meil:

meid huvitab ainult selle seose suurusjärk, seega võib teguri kõrvale jätta. Sel juhul on meil
, siit р = ħ/r. Elektronide energia vesinikuaatomis

(3.2)

Me leiame r, millisel energial E minimaalne. Diferentseerime (3.2) ja võrdsustame tuletise nulliga:

,

Jätsime selle avaldise arvulised tegurid kõrvale. Siit
- aatomi raadius (esimese Bohri orbiidi raadius). Energia jaoks, mis meil on

Võiks arvata, et mikroskoobi abil oleks võimalik määrata osakese asukohta ja seeläbi ümber lükata määramatuse printsiip. Mikroskoobi abil saab aga parimal juhul määrata osakese asukoha kuni kasutatud valguse lainepikkuse täpsusega, st. Δ x ≈ λ, aga sest Δ R= 0, siis Δ RΔ X= 0 ja määramatuse printsiip ei ole täidetud?! On see nii?

Me kasutame valgust ja valgus koosneb kvantteooria järgi impulsiga footonitest p =k/λ . Osakese tuvastamiseks peab vähemalt üks valguskiire footon olema selles hajutatud või neeldunud. Järelikult kandub impulss osakesele üle, vähemalt jõuab h/λ . Seega koordinaatide määramatusega Δ osakese vaatlushetkel x ≈ λ impulsi määramatus peab olema Δ p ≥h/λ .

Korrutades need määramatused, saame:

–

määramatuse põhimõte on täidetud.

Seadme ja uuritava objekti interaktsiooni protsessi nimetatakse mõõtmiseks. See protsess toimub ruumis ja ajas. Seadme koostoimel makro- ja mikroobjektidega on oluline erinevus. Seadme interaktsioon makroobjektiga on kahe makroobjekti vastastikmõju, mida klassikalise füüsika seadused kirjeldavad üsna täpselt. Sel juhul võime eeldada, et seade ei mõjuta mõõdetavat objekti või on mõju väike. Kui seade suhtleb mikroobjektidega, tekib teistsugune olukord. Mikroosakese teatud positsiooni fikseerimise protsess toob kaasa muutuse selle impulssis, mida ei saa nulliga võrdseks muuta:

Δ R X ≥ ħ/ Δ X.

Seetõttu ei saa seadme mõju mikroosakesele pidada väikeseks ja tähtsusetuks, seade muudab mikroobjekti olekut - mõõtmise tulemusena osutuvad täpsustatuks osakese teatud klassikalised omadused (impulss jne). ainult määramatuse suhtega piiratud raamistikus.

3.3 Schrödingeri võrrand

1926. aastal sai Schrödinger oma kuulsa võrrandi. See on kvantmehaanika põhivõrrand, põhieeldus, millel kogu kvantmehaanika põhineb. Kõik sellest võrrandist tulenevad tagajärjed on kooskõlas kogemusega – see on selle kinnitus.

De Broglie lainete tõenäosuslik (statistiline) tõlgendus ja määramatuse seos viitavad sellele, et kvantmehaanikas peab liikumisvõrrand olema selline, mis võimaldab selgitada osakeste eksperimentaalselt vaadeldud laineomadusi. Osakese asukoht ruumis antud ajahetkel määratakse kvantmehaanikas lainefunktsiooni täpsustades
(x, y, z, t), õigemini selle suuruse mooduli ruut.
on osakese leidmise tõenäosus punktis x, y, z teatud ajahetkel t. Kvantmehaanika põhivõrrand peab olema funktsiooni võrrand
(x, y, z, t). Lisaks peab see võrrand olema lainevõrrand; mikroosakeste difraktsioonikatsed, mis kinnitavad nende lainelist olemust, peavad sellest saama selgituse.

Schrödingeri võrrandil on järgmine vorm:

. (3.3)

Kus m- osakeste mass, i- kujuteldav ühik,
- Laplace'i operaator,
,U– osakeste potentsiaalse energia operaator.

Funktsiooni Ψ kuju määrab funktsioon U, st. osakesele mõjuvate jõudude olemus. Kui jõuväli on statsionaarne, on võrrandi lahendus järgmine:

, (3.4)

Kus E on osakese koguenergia, see jääb igas olekus konstantseks, E=konst.

Võrrandit (3.4) nimetatakse statsionaarsete olekute Schrödingeri võrrandiks. Selle võib kirjutada ka kujul:

.

See võrrand on rakendatav mitterelativistlike süsteemide puhul eeldusel, et tõenäosusjaotus ajas ei muutu, s.t. kui funktsioonid ψ näevad välja nagu seisulained.

Schrödingeri võrrandi võib saada järgmiselt.

Vaatleme ühemõõtmelist juhtumit – piki telge vabalt liikuv osake X. See vastab Broglie tasapinnale:

,

Aga
, Sellepärast
. Eristagem seda väljendit t:

.

Leiame nüüd psi funktsiooni teise tuletise koordinaadi suhtes

,

Mitterelativistlikus klassikalises mehaanikas on energia ja impulss seotud seosega:
Kus E- kineetiline energia. Osake liigub vabalt, tema potentsiaalne energia U= 0 ja täis E=E k. Sellepärast

,

on vaba osakese Schrödingeri võrrand.

Kui osake liigub jõuväljas, siis E– kogu energia (nii kineetiline kui ka potentsiaalne), seega:

,

siis saame
, või
,

ja lõpuks

See on Schrödingeri võrrand.

Ülaltoodud arutluskäik ei ole Schrödingeri võrrandi tuletis, vaid näide selle võrrandi loomisest. Schrödingeri võrrand ise on postuleeritud.

Väljenduses

vasak pool tähistab Hamiltoni operaatorit – Hamiltoni on operaatorite summa
Ja U. Hamiltonlane on energiaoperaator. Füüsikaliste suuruste operaatoritest räägime üksikasjalikumalt hiljem. (Operaator väljendab funktsiooni all mingit tegevust ψ , mis on operaatori märgi all). Võttes arvesse ülaltoodut, on meil:

.

Sellel ei ole füüsilist tähendust ψ -funktsioon ja selle mooduli ruut, mis määrab kindlaks osakese leidmise tõenäosuse tiheduse ruumis antud kohas. Kvantmehaanika on statistiliselt mõttekas. See ei võimalda määrata osakese asukohta ruumis ega trajektoori, mida mööda osake liigub. Funktsioon psi annab ainult tõenäosuse, millega saab osakest antud ruumipunktis tuvastada. Sellega seoses peab psi-funktsioon vastama järgmistele tingimustele:

See peab olema üheselt mõistetav, pidev ja lõplik, sest määrab osakese oleku;

Sellel peab olema pidev ja lõplik tuletis;

Funktsioon I ψ I 2 peab olema integreeritav, st. lahutamatu

peab olema lõplik, sest see määrab osakese tuvastamise tõenäosuse.

Integraalne

,

See on normaliseerimise tingimus. See tähendab, et tõenäosus, et osake asub mis tahes ruumipunktis, on võrdne ühega.

korpuskulaarne - laine dualism kvantfüüsikas, osakese olekut kirjeldatakse lainefunktsiooni abil ($\psi (\overrightarrow(r),t)$- psi-funktsioon).

Definitsioon 1

Laine funktsioon on funktsioon, mida kasutatakse kvantmehaanikas. See kirjeldab ruumis mõõtmetega süsteemi olekut. See on olekuvektor.

See funktsioon on keeruline ja sellel on formaalselt laineomadused. Mikromaailma mis tahes osakese liikumine on määratud tõenäosusseadustega. Tõenäosuse jaotus selgub siis, kui teostatakse suur hulk vaatlusi (mõõtmisi) või suur hulk osakesi. Saadud jaotus on sarnane laine intensiivsuse jaotusele. See tähendab, et maksimaalse intensiivsusega kohtades märgitakse maksimaalne osakeste arv.

Lainefunktsiooni argumentide hulk määrab selle esituse. Seega on võimalik koordinaatide esitus: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, impulssesitus: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$ jne.

Kvantfüüsikas ei ole eesmärgiks sündmuse täpne ennustamine, vaid konkreetse sündmuse tõenäosuse hindamine. Teades tõenäosusväärtust, leidke füüsikaliste suuruste keskmised väärtused. Lainefunktsioon võimaldab selliseid tõenäosusi leida.

Seega võib mikroosakeste esinemise tõenäosust mahus dV ajahetkel t määratleda järgmiselt:

kus $\psi^*$ on kompleksne konjugeeritud funktsioon funktsiooniga $\psi.$ Tõenäosuse tihedus (tõenäosus ruumalaühiku kohta) on võrdne:

Tõenäosus on suurus, mida saab katses jälgida. Samal ajal ei ole lainefunktsioon vaatluseks kättesaadav, kuna see on keeruline (klassikalises füüsikas on osakese olekut iseloomustavad parameetrid vaatlemiseks saadaval).

Funktsiooni $\psi$ normaliseerimistingimus

Lainefunktsioon määratakse kuni suvalise konstantse tegurini. See asjaolu ei mõjuta osakese olekut, mida funktsioon $\psi$ kirjeldab. Lainefunktsioon valitakse aga nii, et see rahuldaks normaliseerimistingimust:

kus integraal võetakse üle kogu ruumi või piirkonna, milles lainefunktsioon ei ole null. Normaliseerimistingimus (2) tähendab, et kogu piirkonnas, kus $\psi\ne 0$ on osake usaldusväärselt olemas. Lainefunktsiooni, mis järgib normaliseerimistingimusi, nimetatakse normaliseeritud. Kui $(\left|\psi\right|)^2=0$, siis see tingimus tähendab, et uuritaval alal tõenäoliselt osakest ei leidu.

Vormi (2) normaliseerimine on võimalik diskreetse omaväärtuste spektriga.

Normaliseerimistingimus ei pruugi olla teostatav. Seega, kui $\psi$ on Broglie tasand ja osakese leidmise tõenäosus on kõigis ruumipunktides sama. Neid juhtumeid peetakse ideaalseks mudeliks, milles osake on suures, kuid piiratud ruumi piirkonnas.

Lainefunktsiooni superpositsiooni põhimõte

See põhimõte on kvantteooria üks peamisi postulaate. Selle tähendus on järgmine: kui mõne süsteemi jaoks on võimalikud olekud, mida kirjeldavad lainefunktsioonid $\psi_1\ (\rm ja)\ $ $\psi_2$, siis selle süsteemi jaoks on olek:

kus $C_(1\ ) ja\ C_2$ on konstantsed koefitsiendid. Superpositsiooni põhimõte on empiiriliselt kinnitatud.

Võime rääkida suvalise arvu kvantolekute liitmisest:

kus $(\left|C_n\right|)^2$ on tõenäosus, et süsteem leitakse olekus, mida kirjeldab lainefunktsioon $\psi_n.$ Normaliseerimistingimusele (2) alluvate lainefunktsioonide puhul täidetud on järgmine tingimus:

Statsionaarsed seisundid

Kvantteoorias mängivad erilist rolli statsionaarsed seisundid (seisundid, milles kõik jälgitavad füüsikalised parameetrid ajas ei muutu). (Lainefunktsioon ise on põhimõtteliselt jälgimatu.) Püsiseisundis on funktsioonil $\psi$ järgmine vorm:

kus $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ ei sõltu ajast, $E$ on osakeste energia. Lainefunktsiooni vormi (3) korral on tõenäosustihedus ($P$) ajakonstant:

Alates füüsikalised omadused statsionaarsed olekud järgivad lainefunktsiooni $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \ (\psi(x,y,z))$ matemaatilisi nõudeid.

Statsionaarsete olekute lainefunktsiooni matemaatilised nõuded

$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$- funktsioon peab olema kõigis punktides:

• pidev,
• ühemõtteline,
• lõplik.

Kui potentsiaalsel energial on katkestuspind, siis sellistel pindadel peab funktsioon $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ ja selle esimene tuletis jääma pidevaks. Ruumi piirkonnas, kus potentsiaalne energia muutub lõpmatuks, peab $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ olema null. Funktsiooni $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ järjepidevus eeldab, et selle piirkonna mis tahes piiril $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$. Järjepidevuse tingimus on seatud lainefunktsiooni osalistele tuletistele ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \ psi)(\ osaline z)$).

Näide 1

Harjutus: Teatud osakese jaoks on antud kujul lainefunktsioon: $\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))$, kus $r$ on kaugus osakesest jõu keskmesse (joon. 1 ), $a=const$. Rakendage normaliseerimistingimus, leidke normaliseerimiskoefitsient A.

Pilt 1.

Lahendus:

Kirjutame oma juhtumi normaliseerimistingimuse kujul:

\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1.1\right),))\]

kus $dV=4\pi r^2dr$ (vt joon. 1 Tingimustest on selge, et ülesandel on sfääriline sümmeetria). Probleemi tingimustest saame:

\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\ to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a ))\left(1,2\right).\]

Asendame normaliseerimistingimuses $dV$ ja lainefunktsioonid (1.2):

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1,3\ õige).)\]

Teostame integreerimise vasakul küljel:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\vasak(1,4\parem).)\]

Valemist (1.4) väljendame nõutava koefitsiendi:

Vastus:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$

Näide 2

Harjutus: Milline on elektroni kõige tõenäolisem kaugus ($r_B$) tuumast, kui lainefunktsiooni, mis kirjeldab elektroni põhiseisundit vesinikuaatomis, saab defineerida järgmiselt: $\psi=Ae^(-(r)/ (a))$, kus $ r$ on kaugus elektronist tuumani, $a$ on esimene Bohri raadius?

Lahendus:

Kasutame valemit, mis määrab mikroosakese esinemise tõenäosuse mahus $dV$ ajahetkel $t$:

kus $dV=4\pi r^2dr.\ $Seega on meil:

Sel juhul kirjutame $p=\frac(dP)(dr)$ järgmiselt:

Kõige tõenäolisema kauguse määramiseks on tuletis $\frac(dp)(dr)$ võrdne nulliga:

\[(\left.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\right)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\right)=0(2,4)\]

Kuna lahendus $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\to \infty $ meile ei sobi, käib see nii: