Kohalik maksimum. Silt: kohalik ekstreemum

Funktsiooni äärmuspunkt on punkt funktsiooni määratluspiirkonnas, kus funktsiooni väärtus omandab minimaalse või maksimaalse väärtuse. Funktsiooni väärtusi nendes punktides nimetatakse funktsiooni ekstreemumiteks (minimaalne ja maksimaalne)..

Definitsioon. Punkt x1 funktsiooni domeen f(x) kutsutakse funktsiooni maksimaalne punkt , kui funktsiooni väärtus selles punktis rohkem väärtusi funktsioon talle piisavalt lähedal asuvates punktides, mis asuvad sellest paremal ja vasakul (st ebavõrdsus f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimaalselt.

Definitsioon. Punkt x2 funktsiooni domeen f(x) kutsutakse funktsiooni miinimumpunkt, kui funktsiooni väärtus selles punktis on väiksem kui funktsiooni väärtused sellele piisavalt lähedal asuvates punktides, mis asuvad sellest paremal ja vasakul (st ebavõrdsus kehtib f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Sel juhul ütleme, et funktsioonil on punkt x2 miinimum.

Ütleme punkt x1 - funktsiooni maksimaalne punkt f(x) . Seejärel intervallis kuni x1 funktsioon suureneb, seega on funktsiooni tuletis suurem kui null ( f "(x) > 0 ) ja intervallis pärast x1 funktsioon väheneb, mistõttu funktsiooni tuletis vähem kui null (f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Oletame ka, et punkt x2 - funktsiooni minimaalne punkt f(x) . Seejärel intervallis kuni x2 funktsioon väheneb ja funktsiooni tuletis on väiksem kui null ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funktsioon kasvab ja funktsiooni tuletis on suurem kui null ( f "(x) > 0). Sel juhul ka punktis x2 funktsiooni tuletis on null või seda pole olemas.

Fermat' teoreem (vajalik märk funktsiooni ekstreemumi olemasolust). Kui punkt x0 - funktsiooni äärmuspunkt f(x) siis selles punktis on funktsiooni tuletis võrdne nulliga ( f "(x) = 0 ) või seda pole olemas.

Definitsioon. Nimetatakse punkte, kus funktsiooni tuletis on null või seda ei eksisteeri kriitilised punktid .

Näide 1. Vaatleme funktsiooni.

Punktis x= 0 funktsiooni tuletis on null, seega punkt x= 0 on kriitiline punkt. Kuid nagu funktsiooni graafikult näha, suureneb see kogu definitsioonipiirkonna ulatuses, seega punkt x= 0 ei ole selle funktsiooni äärmuspunkt.

Seega on tingimused, et funktsiooni tuletis punktis on võrdne nulliga või seda ei eksisteeri, ekstreemumi jaoks vajalikud tingimused, kuid mitte piisavad, kuna funktsioonide kohta, mille puhul need tingimused on täidetud, võib tuua muid näiteid, kuid funktsioon ei oma vastavas punktis ekstreemumit. Sellepärast peab olema piisavalt tõendeid, mis võimaldab otsustada, kas konkreetses kriitilises punktis on ekstreemum ja milline ekstreemum see on - maksimaalne või minimaalne.

Teoreem (esimene piisav märk funktsiooni ekstreemumi olemasolust). Kriitiline punkt x0 f(x) kui selle punkti läbimisel funktsiooni tuletis muudab märki ja kui märk muutub "plussist" "miinusseks", siis on tegemist maksimumpunktiga ja kui "miinusest" "plussiks", siis see on miinimumpunkt.

Kui punkti lähedal x0 , sellest vasakul ja paremal jääb tuletis oma märgi, mis tähendab, et funktsioon kas ainult väheneb või suureneb ainult punkti teatud läheduses x0 . Sel juhul punktis x0 ekstreemsust pole olemas.

Niisiis, funktsiooni äärmuspunktide määramiseks peate tegema järgmist :

Leia funktsiooni tuletis.
Võrdsusta tuletis nulliga ja määra kriitilised punktid.
Märgi mõtteliselt või paberil arvujoonele kriitilised punktid ja määra funktsiooni tuletise märgid saadud intervallides. Kui tuletise märk muutub "plussist" "miinusseks", siis on kriitiline punkt maksimumpunkt ja kui "miinus" asemel "pluss", siis miinimumpunkt.
Arvutage funktsiooni väärtus äärmuspunktides.

Näide 2. Leia funktsiooni äärmuspunkt .

Lahendus. Leiame funktsiooni tuletise:

Kriitiliste punktide leidmiseks võrdsustame tuletise nulliga:

Kuna mis tahes "x" väärtuste puhul ei ole nimetaja seda võrdne nulliga, siis võrdsustame lugeja nulliga:

Sain ühe kriitilise punkti x= 3. Määrame selle punktiga piiritletud intervallides tuletise märgi:

vahemikus miinus lõpmatus kuni 3 - miinusmärk, see tähendab, et funktsioon väheneb,

intervallis 3 kuni pluss lõpmatuseni on plussmärk, see tähendab, et funktsioon suureneb.

See tähendab, punkt x= 3 on miinimumpunkt.

Leiame funktsiooni väärtuse miinimumpunktis:

Seega leitakse funktsiooni äärmuspunkt: (3; 0) ja see on miinimumpunkt.

Teoreem (teine piisav märk funktsiooni ekstreemumi olemasolust). Kriitiline punkt x0 on funktsiooni äärmuspunkt f(x) kui funktsiooni teine tuletis selles punktis ei ole võrdne nulliga ( f ""(x) ≠ 0) ja kui teine tuletis on suurem kui null ( f ""(x) > 0 ), siis maksimumpunkt ja kui teine tuletis on väiksem kui null ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Märkus 1. Kui punktis x0 Kui nii esimene kui ka teine tuletis kaovad, siis pole siinkohal võimalik otsustada ekstreemumi olemasolu teise piisava kriteeriumi alusel. Sel juhul peate funktsiooni ekstreemumi jaoks kasutama esimest piisavat kriteeriumi.

Märkus 2. Funktsiooni ekstreemumi teine piisav kriteerium ei ole rakendatav isegi siis, kui statsionaarses punktis esimest tuletist ei eksisteeri (siis pole ka teist tuletist). Sel juhul tuleb kasutada ka funktsiooni ekstreemumi esimest piisavat märki.

Funktsiooni äärmuste lokaalne iseloom

Ülaltoodud definitsioonidest järeldub, et funktsiooni ekstreemum on olemuselt lokaalne – see on funktsiooni suurim ja väikseim väärtus võrreldes lähiväärtustega.

Oletame, et vaatate oma tulusid ühe aasta jooksul. Kui mais teenisite 45 000 rubla ja aprillis 42 000 rubla ja juunis 39 000 rubla, siis on maikuu sissetulek tulufunktsiooni maksimum võrreldes lähedal asuvate väärtustega. Kuid oktoobris teenisite 71 000 rubla, septembris 75 000 rubla ja novembris 74 000 rubla, seega on oktoobrikuu sissetulek tulufunktsiooni miinimum võrreldes lähedal asuvate väärtustega. Ja näete hõlpsalt, et aprilli-mai-juuni väärtuste maksimum on väiksem kui septembri-oktoobri-novembri miinimum.

Üldiselt võib öelda, et intervallil võib funktsioonil olla mitu äärmust ja võib selguda, et funktsiooni mingi miinimum on suurem kui mis tahes maksimum. Seega ülaltoodud joonisel näidatud funktsiooni jaoks .

See tähendab, et ei tohiks arvata, et funktsiooni maksimum ja miinimum on vastavalt selle suurim ja väikseim väärtus kogu vaadeldaval segmendil. Maksimaalses punktis on funktsioonil suurim väärtus ainult võrreldes nende väärtustega, mis tal on kõigis punktides maksimumpunktile piisavalt lähedal, ja minimaalses punktis on tal väikseim väärtus ainult nende väärtustega võrreldes et selle kõik punktid on minimaalsele punktile piisavalt lähedal.

Seetõttu saame ülaltoodud funktsiooni äärmuspunktide mõistet selgitada ja nimetada miinimumpunkte kohalikeks miinimumpunktideks ja maksimumpunkte kohalikeks maksimumpunktideks.

Otsime koos funktsiooni äärmusi

Näide 3.

Lahendus: Funktsioon on defineeritud ja pidev kogu arvureal. Selle tuletis eksisteerib ka tervel arvureal. Seetõttu on antud juhul kriitilisteks punktideks vaid need, mille juures, s.o. , kust ja . Kriitilised punktid ja jagage kogu funktsiooni määratluspiirkond kolmeks monotoonsuse intervalliks: . Valime neist igaühe hulgast ühe kontrollpunkt ja leidke sellest punktist tuletise märk.

Intervalli jaoks võib kontrollpunktiks olla: leia. Võttes intervalli punkti, saame, ja võttes intervalli punkti, saame. Niisiis, intervallide ja , Ja intervalliga . Ekstreemumi esimese piisava kriteeriumi kohaselt ei ole punktis ekstreemumit (kuna tuletis säilitab oma märgi intervallis) ja punktis on funktsioonil miinimum (kuna tuletis muudab möödumisel märgi miinusest plussiks läbi selle punkti). Leiame funktsioonile vastavad väärtused: , a . Intervallis funktsioon väheneb, kuna selles intervallis , ja intervallis see suureneb, kuna selles intervallis .

Graafi ehituse selgitamiseks leiame selle lõikepunktid koordinaatide telgedega. Kui saame võrrandi, mille juured on ja, st leitakse funktsiooni graafiku kaks punkti (0; 0) ja (4; 0). Kasutades kogu saadud teavet, koostame graafiku (vt näite algust).

Näide 4. Leidke funktsiooni äärmuspunkt ja koostage selle graafik.

Funktsiooni definitsioonipiirkonnaks on terve arvurida, välja arvatud punkt, s.o. .

Uuringu lühendamiseks võite kasutada asjaolu, et see funktsioon on paaris, kuna . Seetõttu on selle graafik telje suhtes sümmeetriline Oy ja uuringut saab teha ainult intervalli jaoks.

Tuletise leidmine ja funktsiooni kriitilised punktid:

1) ;

2) ,

kuid funktsioon kannatab selles punktis katkestuse, seega ei saa see olla äärmuspunkt.

Seega on antud funktsioonil kaks kriitilist punkti: ja . Võttes arvesse funktsiooni paarsust, kontrollime ainult punkti, kasutades ekstreemumi teist piisavat kriteeriumi. Selleks leiame teise tuletise ja määrake selle märk aadressil: saame . Kuna ja , on see funktsiooni ja miinimumpunkt .

Funktsiooni graafikust täielikuma pildi saamiseks uurime välja selle käitumise määratluspiirkonna piiridel:

(siin näitab sümbol soovi x paremalt nulli ja x jääb positiivseks; samamoodi tähendab püüdlust x vasakult nulli ja x jääb negatiivseks). Seega, kui , siis . Järgmisena leiame

need. kui siis .

Funktsiooni graafikul puuduvad lõikepunktid telgedega. Pilt on näite alguses.

Jätkame koos funktsiooni äärmuste otsimist

Näide 8. Leia funktsiooni äärmuspunkt.

Lahendus. Leiame funktsiooni definitsioonipiirkonna. Kuna ebavõrdsus peab olema täidetud, saame .

Leiame funktsiooni esimese tuletise:

Leiame funktsiooni kriitilised punktid.

MAKSIMAAL- JA MIINIMUMPUNKTID

punktides, kus võtab suurima või väikseim väärtus määratluse valdkonnas; selliseid punkte nimetatakse ka absoluutse maksimumi või absoluutse miinimumi punktid. Kui f on defineeritud topoloogilisel tühik X, seejärel punkt x 0 helistas kohaliku maksimumi punkt (kohalik miinimum), kui selline punkt on olemas x 0, et vaadeldava funktsiooni piiramiseks selles naabruses punkt x 0 on absoluutne maksimum (minimaalne) punkt. Seal on ranged ja mitteranged maksimumi (miinimum) punktid (nii absoluutne kui ka kohalik). Näiteks punkt nimega funktsiooni f mitterange (range) lokaalse maksimumi punkt, kui selline punkti naabrus on olemas x 0, mis kehtib kõigi kohta (vastavalt f(x) x 0). )/

Lõpliku mõõtmega domeenidel defineeritud funktsioonide jaoks on diferentsiaalarvutuses tingimused ja märgid, et antud punkt oleks kohaliku maksimumi (miinimum) punkt. Olgu funktsioon f defineeritud arvtelje punkti x 0 teatud läheduses. Kui x 0 - mitterange lokaalse maksimumi (miinimum) punkt ja selles punktis on olemas f"( x 0), siis on see võrdne nulliga.

Kui antud funktsioon f on punkti naabruses diferentseeruv x 0, välja arvatud võib-olla see punkt ise, kus see on pidev, ja tuletis f" punkti mõlemal küljel x 0 selles naabruses säilib pidev märk, siis selleks, et x 0 oli range lokaalse maksimumi punkt (kohalik miinimum), on vajalik ja piisav, et tuletis muudaks märgi plussist miinusesse, st et f" (x)>0 x juures<.x 0 ja f"(x)<0 при x>x 0(vastavalt miinusest plussile: f"(X) <0 x juures<x 0 ja f"(x)>0 at x>x 0). Kuid mitte iga punkti naabruses diferentseeritava funktsiooni jaoks x 0, saame siinkohal rääkida tuletise märgi muutumisest. . "

Kui funktsioonil f on punkt x 0 t tuletisinstrumente ja seejärel selleks x 0 oli range kohaliku maksimumi punkt, on vajalik ja piisav, et te oleks ühtlane ja et f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.

Olgu funktsioon f( x 1 ..., x n] on määratletud punkti n-mõõtmelises läheduses ja on selles punktis diferentseeruv. Kui x (0) on mitterange lokaalse maksimumi (miinimum) punkt, siis on funktsioon f selles punktis võrdne nulliga. See tingimus on võrdne funktsiooni f 1. järku osatuletiste võrdsusega nulliga selles punktis. Kui funktsioonil on punktis x(0) 2. pidevad osatuletised, kaovad kõik selle 1. tuletised punktis x(0) ja teist järku diferentsiaal punktis x(0) on negatiivne (positiivne) ruutvorm, siis x (0) on range kohaliku maksimumi (miinimum) punkt. M. ja M.T diferentseeruvate funktsioonide jaoks on teada tingimused, kui argumentide muutumisele seatakse teatud piirangud: seose võrrandid on täidetud. Keerulisema struktuuriga reaalfunktsiooni maksimumi (miinimum) vajalikke ja piisavaid tingimusi uuritakse matemaatika eriharudes: nt. kumeranalüüs, matemaatiline programmeerimine(Vaata ka Maksimeerimine ja funktsioonide minimeerimine). M. ja m.t. funktsioone, mis on defineeritud kollektoritel, on uuritud variatsioonide arvutamine üldiselt, a M. ja m.t funktsiooniruumides defineeritud funktsioonide jaoks, st funktsioonide jaoks in variatsioonide arvutus. Samuti on olemas erinevaid meetodeid m ja m.t arvuline ligikaudne määramine.

Valgus.: Il'in V.A., Poznya to E.G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3. väljaanne, 1. osa, M., 1971; KudrjavtsevL. L. D. Kudrjavtsev.

Matemaatiline entsüklopeedia. - M.: Nõukogude entsüklopeedia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Vaadake, mis on "MAXIMUM JA MINIMUM POINTS" teistes sõnaraamatutes:

Pontrjagini diskreetse maksimumi põhimõte aja-diskreetsete juhtimisprotsesside jaoks. Sellise protsessi puhul ei pruugi lõpliku erinevuse operaator kehtida, kuigi selle pideva analoogi puhul, mis saadakse lõpliku erinevuse operaatori asendamisel diferentsiaaloperaatoriga... ... Matemaatiline entsüklopeedia

Teoreem, mis väljendab analüütilise mooduli üht põhiomadust. funktsioonid. Olgu f(z) kompleksmuutujate regulaarne analüütiline või holomorfne funktsioon D-kompleksarvuruumi domeenis, mis erineb konstandist, M.mp. Matemaatiline entsüklopeedia

Reaalväärtusi võtva funktsiooni suurimad ja vastavalt väikseimad väärtused. Vaadeldava funktsiooni määratluspiirkonnas nimetatakse punkti, kus see võtab maksimumi või miinimumi. vastavalt maksimumpunkt või miinimumpunkt... ... Matemaatiline entsüklopeedia

Vaadake funktsiooni maksimum ja miinimum, punkti maksimum ja miinimum... Matemaatiline entsüklopeedia

Pideva funktsiooni väärtus, mis on maksimaalne või minimaalne (vt maksimum- ja miinimumpunktid). Mõiste lE... Matemaatiline entsüklopeedia

Näitaja- (Indikaator) Indikaator on infosüsteem, aine, seade, seade, mis kuvab mis tahes parameetri muutusi Forex valuutaturu graafiku indikaatorid, mis need on ja kust saab alla laadida? MACD indikaatorite kirjeldus,... ... Investorite entsüklopeedia

Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Extremum (tähendused). Ekstreemum (lat. extremum extreme) on matemaatikas funktsiooni maksimaalne või minimaalne väärtus antud hulgal. Punkt, kus saavutatakse äärmus... ... Wikipedia

Diferentsiaalarvutus on matemaatilise analüüsi haru, mis uurib tuletise ja diferentsiaali mõisteid ning nende rakendamist funktsioonide uurimisel. Sisukord 1 Ühe muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutus ... Wikipedia

Lemniskaat ja selle fookused Bernoulli lemniskaat on tasapinnaline algebraline kõver. Määratletakse punktide asukohana, toote ... Wikipedia

Lahknevus- (Erinevus) Divergents kui indikaator Kauplemisstrateegia MACD lahknemisega Sisukord Sisu Jaotis 1. edasi. 2. jagu. Erinevus kuidas. Divergents on majandusteaduses kasutatav termin, mis viitab liikumisele mööda lahknevat... ... Investorite entsüklopeedia

Paljude muutujatega funktsiooni f(x) korral on punkt x vektor, f'(x) on funktsiooni f(x) esimeste tuletiste (gradient) vektor, f ′ ′(x) on teise funktsiooni sümmeetriline maatriks. osatuletised (Hessi maatriks – Hessi) funktsioonid f(x).
Paljude muutujate funktsioonide jaoks on optimaalsuse tingimused sõnastatud järgmiselt.
Kohaliku optimaalsuse vajalik tingimus. Olgu f(x) diferentseeruv punktis x * R n . Kui x * on punkt kohalik äärmus, siis f’(x *) = 0.
Nagu varemgi, nimetatakse punkte, mis on võrrandisüsteemi lahendid, statsionaarsed. Statsionaarse punkti x * olemus on seotud Hesse maatriksi kindla märgiga f′ ′(x).
Maatriksi A märk sõltub ruutkuju Q(α)= märkidest< α A, α >kõigi nullist erineva α∈R n puhul.
Siit ja edasi tähistab vektorite x ja y skalaarkorrutist. A-prioor,

Maatriks A on positiivne (mitte-negatiivne) kindel, kui Q(α)>0 (Q(α)≥0) kõigi nullist erineva α∈R n korral; negatiivne (mittepositiivne) kindel, kui Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 mõne nullist erineva α∈R n ja Q(α) korral<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Kohaliku optimaalsuse jaoks piisav tingimus. Olgu f(x) kaks korda diferentseeruv punktis x * R n ja f’(x *)=0, s.o. x * − statsionaarne punkt. Siis, kui maatriks f′′(x *) on positiivne (negatiivne) kindel, siis x * on lokaalne miinimum (maksimaalne) punkt; kui maatriks f′′(x *) on määratlemata, siis x * on sadulapunkt.
Kui maatriks f′′(x *) on mittenegatiivselt (mittepositiivselt) kindel, siis on statsionaarse punkti x * olemuse määramiseks vaja uurida kõrgemat järku tuletisi.
Maatriksi märgi kontrollimiseks kasutatakse reeglina Sylvesteri kriteeriumit. Selle kriteeriumi kohaselt on sümmeetriline maatriks A positiivne kindel siis ja ainult siis, kui kõik selle nurk-mollid on positiivsed. Sel juhul on maatriksi A nurkmoll maatriksi A elementidest koostatud maatriksi determinant, mis paiknevad samade (ja esimeste) numbritega ridade ja veergude ristumiskohas. Et kontrollida sümmeetrilise maatriksi A negatiivset määratlust, peate kontrollima maatriksi (−A) positiivset määratust.
Niisiis on paljude muutujate funktsiooni lokaalsete ekstreempunktide määramise algoritm järgmine.
1. Leidke f′(x).
2. Süsteemi lahendatakse

Selle tulemusena arvutatakse statsionaarsed punktid x i.
3. Leidke f′′(x), seadke i=1.
4. Leidke f′′(x i)
5. Arvutatakse maatriksi f′′(x i) nurkmollid. Kui kõik nurgamollid ei ole nullist erinevad, siis statsionaarse punkti x i olemuse määramine eeldab kõrgemat järku tuletisi uurimist. Sel juhul viiakse läbi üleminek sammule 8.
Muul juhul jätkake 6. sammuga.
6. Analüüsitakse nurk-mollide f′′(x i) märke. Kui f′′(x i) on positiivne kindel, siis x i on lokaalne miinimumpunkt. Sel juhul viiakse läbi üleminek sammule 8.
Muul juhul jätkake 7. sammuga.
7. Arvutatakse maatriksi -f′′(x i) nurkmollid ja analüüsitakse nende märke.
Kui -f′′(x i) − on positiivne kindel, siis f′′(x i) on negatiivne kindel ja x i on lokaalne maksimumpunkt.
Vastasel juhul on f'(x i) määratlemata ja x i on sadulapunkt.
8. Kontrollitakse kõigi statsionaarsete punktide i=N olemuse määramise tingimust.
Kui see on täidetud, on arvutused lõpetatud.
Kui tingimus ei ole täidetud, siis eeldatakse i=i+1 ja viiakse läbi üleminek sammule 4.

Näide nr 1. Määrake funktsiooni f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 lokaalsete ekstreemumite punktid

Kuna kõik nurga minoorid on nullist erinevad, määratakse x 2 märk f''(x) abil.
Kuna maatriks f′′(x 2) on positiivne, on x 2 lokaalne miinimumpunkt.
Vastus: funktsioonil f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 on punktis x = (5/3; 8/3) lokaalne miinimum.

Definitsioon: Punkti x0 nimetatakse funktsiooni lokaalse maksimumi (või miinimumi) punktiks, kui punkti x0 mõnes naabruses võtab funktsioon suurima (või väikseima) väärtuse, s.t. kõigi punktide x0 mõnest naabruses olevast punktist x0 on täidetud tingimus f(x) f(x0) (või f(x) f(x0)).

Kohaliku maksimumi või miinimumi punkte ühendab üldnimetus - funktsiooni lokaalse ekstreemumi punktid.

Pange tähele, et kohalikes äärmuspunktides saavutab funktsioon maksimaalse või minimaalse väärtuse ainult teatud kohalikus piirkonnas. Võib esineda juhtumeid, kui vastavalt väärtusele уmaxуmin.

Vajalik märk funktsiooni lokaalse ekstreemumi olemasolust

Teoreem . Kui pideval funktsioonil y = f(x) on punktis x0 lokaalne ekstreemum, siis selles punktis on esimene tuletis kas null või seda pole olemas, s.t. lokaalne ekstreemum esineb esimest tüüpi kriitilistes punktides.

Kohalikes ekstreemumipunktides on puutuja kas paralleelne 0x teljega või on kaks puutujat (vt joonist). Pange tähele, et kriitilised punktid on kohaliku ekstreemumi jaoks vajalik, kuid mitte piisav tingimus. Lokaalne ekstreemum esineb ainult esimest tüüpi kriitilistes punktides, kuid mitte kõigis kriitilistes punktides.

Näiteks: kuupparaboolil y = x3 on kriitiline punkt x0 = 0, kus tuletis y/(0)=0, kuid kriitiline punkt x0=0 ei ole äärmuspunkt, vaid käändepunkt selles (vt allpool).

Piisav märk funktsiooni lokaalse ekstreemumi olemasolust

Teoreem . Kui argument läbib esimest tüüpi kriitilist punkti vasakult paremale, siis esimene tuletis y / (x)

muudab märgi “+” asemel “-”, siis on pideval funktsioonil y(x) selles kriitilises punktis lokaalne maksimum;

muudab märgi “-” asemel “+”, siis pideval funktsioonil y(x) on selles kriitilises punktis lokaalne miinimum

märki ei vaheta, siis selles kriitilises punktis ei ole lokaalset ekstreemumit, siin on käändepunkt.

Lokaalse maksimumi korral asendatakse suureneva funktsiooni piirkond (y/0) kahaneva funktsiooni piirkonnaga (y/0). Kohaliku miinimumi korral asendatakse kahaneva funktsiooni piirkond (y/0) suureneva funktsiooni piirkonnaga (y/0).

Näide: Uurige funktsiooni y = x3 + 9x2 + 15x - 9 monotoonsust, ekstreemsust ja koostage funktsiooni graafik.

Leiame esimest tüüpi kriitilised punktid, defineerides tuletise (y/) ja võrdsustades selle nulliga: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

Lahendame ruuttrinoomi diskriminandi abil:

x2 + 6x + 5 = 0 (a = 1, b = 6, c = 5) D =, x1 k = -5, x2k = -1.

2) Jagame arvtelje 3 kriitiliste punktidega piirkonnaks ja määrame neis tuletise (y/) märgid. Nende märkide abil leiame funktsioonide monotoonsuse (suurenemise ja kahanemise) alad ning märke muutes määrame lokaalse ekstreemumi punktid (maksimum ja miinimum).

Uurimistulemused esitame tabeli kujul, millest saab teha järgmised järeldused:

1. Intervallil y /(-10) 0 funktsioon suureneb monotoonselt (tuletise y märk hinnati selles intervallis võetud kontrollpunkti x = -10 abil);
2. Intervallil (-5 ; -1) y /(-2) 0 funktsioon väheneb monotoonselt (tuletise y märk hinnati selles intervallis võetud kontrollpunkti x = -2 abil);
3. Intervallil y /(0) 0 funktsioon suureneb monotoonselt (tuletise y märk hinnati selles intervallis võetud kontrollpunkti x = 0 abil);
4. Kriitilise punkti x1k = -5 läbimisel muudab tuletis märgi “+” asemel “-”, seega on see punkt lokaalne maksimumpunkt
(ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225-75-9 =16);
5. Kriitilise punkti x2k = -1 läbimisel muudab tuletis märgi “-” asemel “+”, seega on see punkt lokaalne miinimumpunkt
(ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = -16).

x -5 (-5 ; -1) -1

3) Koostame uuringu tulemuste põhjal graafiku, kasutades funktsiooni väärtuste täiendavaid arvutusi kontrollpunktides:

konstrueerida ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxy;

Näitame koordinaatide järgi maksimumi (-5; 16) ja miinimumi (-1;-16);

graafiku täpsustamiseks arvutame funktsiooni väärtuse kontrollpunktides, valides need maksimum- ja miinimumpunktidest vasakule ja paremale ning keskmise intervalli sees, näiteks: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6)-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) ja (0;-9) - arvutatud kontrollpunktid, mille joonistame graafiku koostamiseks;

Näitame graafikut kõvera kujul, mis on maksimumpunktis ülespoole kumer ja miinimumpunktis kumer allapoole ning läbib arvutatud kontrollpunkte.

KOHALIK MAKSIMUM

(kohalik maksimum) funktsiooni väärtus, mis on suurem kui selle argumendi või argumentide komplekti mis tahes külgnev väärtus, dy/dx= 0 on kohaliku maksimumi saavutamiseks vajalik tingimus y=f(x); Kui see tingimus on täidetud, on piisav tingimus kohaliku maksimumi saavutamiseks d2a/dx2 0. Kohalik maksimum võib olla ka absoluutne maksimum, kui väärtust pole X, mille juures juures rohkem. See ei pruugi aga alati nii olla. Mõelge funktsioonile y = x3–3x.dy/dx = 0 millal x2= 1; Ja d2a/dx2=6x. juures on maksimum at x =– 1, kuid see on ainult kohalik, mitte absoluutne maksimum, kuna juures võib muutuda lõpmatult suureks, kui sellele antakse piisavalt suur positiivne väärtus X. Vaata ka: artikli maksimumi (maksimumi) arv.

Majandus. Sõnastik. - M.: "INFRA-M", kirjastus "Ves Mir". J. Must. Peatoimetaja: majandusdoktor Osadchaya I.M.. 2000 .

Majandussõnastik. 2000 .

Vaadake, mis on "LOCAL MAXIMUM" teistes sõnaraamatutes:

kohalik maksimum- - [A.S. Goldberg. Inglise-vene energiasõnastik. 2006] Energeetika teemad üldiselt ET kohalik maksimum ... Tehniline tõlkija juhend

kohalik maksimum- lokalusis maximumas statusas T ala automatika vastavusmenys: engl. kohalik maksimum vok. Lokalmaximum, n rus. kohalik maksimum, m pranc. maksimaalne kohalik, m … Automatikos terminų žodynas

kohalik maksimum- vietinė smailė statusas T valdkond fizika vastavusmenys: engl. kohalik maksimum; kohalik tipp vok. lokales Maximum, n rus. kohalik maksimum, m pranc. maksimaalne kohalik, m; pic local, m … Fizikos terminų žodynas

Kohalik maksimum, kohalik miinimum- (kohalik maksimum, kohalik miinimum) vt funktsiooni ekstreem... Majandus-matemaatika sõnastik

- (maksimaalne) Funktsiooni kõrgeim väärtus, mida ta võtab argumentide mis tahes väärtuse jaoks. Maksimum võib olla kohalik või absoluutne. Näiteks funktsiooni y=1–x2 absoluutne maksimum on y=1, kui x=0; x-il ei ole muud väärtust, mis ... ... Majandussõnastik

- (lokaalne miinimum) Funktsiooni väärtus, mis on väiksem kui mis tahes selle argumendi või argumentide komplekti naaberväärtus, dy/dx = 0, on vajalik tingimus lokaalse miinimumi y=f(x) saavutamiseks; tingimusel, et see tingimus on piisav. Majandussõnastik

Ekstreemum (lat. extremum extreme) on matemaatikas funktsiooni maksimaalne või minimaalne väärtus antud hulgal. Ekstreemumi saavutamise punkti nimetatakse ekstreemumipunktiks. Vastavalt sellele, kui minimaalne äärmuspunkt on saavutatud... ... Wikipedia

Kohalikud otsingualgoritmid on algoritmide rühm, mille puhul otsitakse ainult hetkeseisu alusel ning varem läbitud olekuid ei võeta arvesse ega jäeta meelde. Otsingu peamine eesmärk ei ole leida optimaalset teed... ... Vikipeediasse

- (üldine maksimum) Funktsiooni väärtus, mis on võrdne või kõrgem kui selle väärtused, mis on aktsepteeritud muude argumentide väärtuste jaoks. Ühe argumendi funktsiooni maksimumi piisav tingimus, mis seisneb selles, et selle esimene tuletis... ... Majandussõnastik

- (inglise trend direction, tendency) suund, poliitilise protsessi arengutendents, nähtus. Sellel on matemaatiline avaldis. Kõige populaarsem trendi määratlus on Dow Theory. Tõusev trend...... Politoloogia. Sõnastik.