Kesknurk on kaks korda suurem kui sisse kirjutatud nurk. Sissekirjutatud nurk

Nurk ABC on sisse kirjutatud nurk. See toetub kaarele AC, mis on selle külgede vahele suletud (joonis 330).

Teoreem. Sissekirjutatud nurka mõõdetakse poole võrra kaarest, mille see lõikab.

Seda tuleks mõista järgmiselt: sisse kirjutatud nurk sisaldab sama palju nurgakraade, minuteid ja sekundeid kui kaare kraadid, minutid ja sekundid sisalduvad kaare pooles, millel see toetub.

Selle teoreemi tõestamisel peame arvestama kolme juhtumiga.

Esimene juhtum. Ringi keskpunkt asub sisse kirjutatud nurga küljel (joonis 331).

Olgu ∠ABC sisse kirjutatud nurk ja ringi O keskpunkt asub küljel BC. On vaja tõestada, et seda mõõdetakse poole vahelduvkaare võrra.

Ühendage punkt A ringi keskpunktiga. Sama ringi raadiusteks saame võrdhaarsed \(\Delta\)AOB, milles AO = OB. Seetõttu ∠A = ∠B.

∠AOC on kolmnurgast AOB väline, seega ∠AOC = ∠A + ∠B ja kuna nurgad A ja B on võrdsed, on ∠B 1/2 ∠AOC.

Kuid ∠AOC mõõdetakse kaarega AC, seega ∠B mõõdetakse poole vahelduvkaarega.

Näiteks kui \(\breve(AC)\) sisaldab 60°18', siis ∠B sisaldab 30°9'.

Teine juhtum. Ringi keskpunkt asub sisse kirjutatud nurga külgede vahel (joonis 332).

Olgu ∠ABD sisse kirjutatud nurk. Ringi O keskpunkt asub selle külgede vahel. On vaja tõestada, et ∠ABD mõõdetakse poole kaare võrra AD.

Selle tõestamiseks joonestame läbimõõdu BC. Nurk ABD jagatud kaheks nurgaks: ∠1 ja ∠2.

∠1 mõõdetakse poole võrra kaarest AC ja ∠2 mõõdetakse poole kaarega CD, seega mõõdetakse kogu ∠ABD 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), st pool kaarest AD.

Näiteks kui \(\breve(AD)\) sisaldab 124°, siis ∠B sisaldab 62°.

Kolmas juhtum. Ringi keskpunkt asub väljaspool sisse kirjutatud nurka (joonis 333).

Olgu ∠MAD sisse kirjutatud nurk. Ringi O keskpunkt asub väljaspool nurka. On vaja tõestada, et ∠MAD mõõdetakse poole kaare MD võrra.

Selle tõestamiseks joonistame läbimõõdu AB. ∠MAD = ∠MAB – ∠DAB. Kuid ∠MAB mõõdab 1/2 \(\breve(MB)\) ja ∠DAB mõõdab 1/2 \(\breve(DB)\).

Seetõttu mõõdab ∠MAD 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), st 1/2 \(\breve(MD)\).

Näiteks kui \(\breve(MD)\) sisaldab 48° 38", siis ∠MAD sisaldab 24° 19' 8".

Tagajärjed
1. Kõik samal kaarel põhinevad sisse kirjutatud nurgad on üksteisega võrdsed, kuna neid mõõdetakse poolega samast kaarest (joonis 334, a).

2. Läbimõõdul põhinev sisse kirjutatud nurk on täisnurk, kuna see põhineb poolel ringil. Pool ringist sisaldab 180 kaarekraadi, mis tähendab, et läbimõõdul põhinev nurk sisaldab 90 nurgakraadi (joonis 334, b).

Sissekirjutatud ja kesknurga mõiste

Esmalt tutvustame kontseptsiooni kesknurk.

Märkus 1

Pange tähele, et kesknurga aste on võrdne selle kaare astmega, mille see lõikab.

Nüüd tutvustame sisse kirjutatud nurga mõistet.

2. definitsioon

Nurka, mille tipp asub ringjoonel ja mille küljed lõikuvad sama ringjoonega, nimetatakse sissekirjutatud nurgaks (joonis 2).

Joonis 2. Sissekirjutatud nurk

Sissekirjutatud nurga teoreem

1. teoreem

Sissekirjutatud nurga mõõt on pool selle kaare mõõdust, mille see lõikab.

Tõestus.

Olgu meile antud ring, mille keskpunkt on punkt $O$. Tähistage sissekirjutatud nurka $ACB$ (joonis 2). Võimalikud on kolm järgmist juhtumit:

• Kiir $CO$ langeb kokku nurga mõne küljega. Olgu selleks $CB$ pool (joonis 3).

Joonis 3

Sel juhul on kaar $AB$ väiksem kui $(180)^(()^\circ )$, seega on kesknurk $AOB$ võrdne kaarega $AB$. Kuna $AO=OC=r$, on kolmnurk $AOC$ võrdhaarne. Seega on baasnurgad $CAO$ ja $ACO$ võrdsed. Vastavalt teoreemile umbes välimine nurk kolmnurk, meil on:

• Tala $CO$ jagab sisemine nurk kahte nurka. Las see lõikub ringiga punktis $D$ (joonis 4).

Joonis 4

Saame

• Kiir $CO$ ei jaga sisenurka kaheks nurgaks ega kattu ühegi selle küljega (joonis 5).

Joonis 5

Vaatleme eraldi nurki $ACD$ ja $DCB$. Punktis 1 tõestatu põhjal saame

Saame

Teoreem on tõestatud.

Toome tagajärjed sellest teoreemist.

Järeldus 1: Sisestatud nurgad, mis lõikuvad sama kaarega, on võrdsed.

Tagajärg 2: Sissekirjutatud nurk, mis lõikab diameetrit, on täisnurk.

See on kahe moodustatud nurk akordid algusega ühest ringi punktist. Väidetavalt on sisse kirjutatud nurk tugineb selle külgede vahele suletud kaarel.

Sissekirjutatud nurk võrdne poolega kaarest, millel see toetub.

Teisisõnu, sisse kirjutatud nurk sisaldab nii palju kraade, minuteid ja sekundeid kui kaare kraadid, minutid ja sekundid on ümbritsetud poole kaarega, millele see tugineb. Põhjenduseks analüüsime kolme juhtumit:

Esimene juhtum:

Keskus O asub küljel sisse kirjutatud nurk ABS. Joonistades raadiuse AO, saame ΔABO, milles OA = OB (raadiustena) ja vastavalt ∠ABO = ∠BAO. Seoses sellega kolmnurk, on nurk AOC väline. Ja see tähendab, et ta on võrdne summaga nurgad ABO ja BAO või võrdne topeltnurgaga ABO. Nii et ∠ABO on pool kesknurk AOC. Kuid seda nurka mõõdetakse kaarega AC. See tähendab, et sisse kirjutatud nurka ABC mõõdetakse poole kaare võrra AC.

Teine juhtum:

Keskpunkt O asub külgede vahel sisse kirjutatud nurk ABC. Olles tõmmanud läbimõõdu BD, jagame nurga ABC kaheks nurgaks, millest vastavalt esimesel juhul on üks mõõdetud poole võrra kaared AD ja teine ​​pool kaare CD-st. Ja vastavalt mõõdetakse nurka ABC (AD + DC) / 2, st. 1/2 AC.

Kolmas juhtum:

Keskus O asub väljaspool sisse kirjutatud nurk ABS. Pärast läbimõõdu BD joonistamist saame: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Kuid nurki ABD ja CBD mõõdetakse eelnevalt põhjendatud poolte põhjal kaared AD ja CD. Ja kuna ∠ABС mõõdetakse (AD-CD)/2, see tähendab pool vahelduvvoolu kaarest.

Tagajärg 1. Kõik , mis põhinevad samal kaarel, on samad, see tähendab, et nad on üksteisega võrdsed. Kuna igaüks neist mõõdetakse poole võrra sama kaared .

Tagajärg 2. Sissekirjutatud nurk läbimõõdu põhjal - täisnurk. Kuna iga sellist nurka mõõdetakse poolringiga ja see sisaldab vastavalt 90 °.

Kesknurk on nurk, mille tipp asub ringi keskpunktis.
Sissekirjutatud nurk Nurk, mille tipp asub ringil ja mille küljed seda lõikuvad.

Joonisel on kujutatud kesk- ja sissekirjutatud nurgad ning nende olulisemad omadused.

Niisiis, kesknurga väärtus on võrdne selle kaare nurga väärtusega, millele see toetub. See tähendab, et 90-kraadine kesknurk põhineb kaarel, mis on võrdne 90 ° -ga, see tähendab ringil. Kesknurk, mis on võrdne 60°, põhineb 60-kraadisel kaarel, see tähendab ringi kuuendal osal.

Sissekirjutatud nurga väärtus on kaks korda väiksem kui samal kaarel põhineva kesknurga väärtus.

Samuti vajame probleemide lahendamiseks mõistet "akord".

Võrdseid kesknurki toetavad võrdsed kõõlud.

1. Mis on sisse kirjutatud nurk, mis põhineb ringi läbimõõdul? Esitage oma vastus kraadides.

Läbimõõdul põhinev sisse kirjutatud nurk on täisnurk.

2. Kesknurk on 36° suurem kui samal ringkaarel põhinev terav nurk. Leidke sisse kirjutatud nurk. Esitage oma vastus kraadides.

Olgu kesknurk x ja samal kaarel põhinev sissekirjutatud nurk y.

Teame, et x = 2y.
Seega 2a = 36 + y,
y = 36.

3. Ringjoone raadius on 1. Leidke nüri sissekirjutatud nurga väärtus kõõlu põhjal, mis on võrdne . Esitage oma vastus kraadides.

Olgu akord AB . Sellel kõõlul põhinevat nüri sissekirjutatud nurka tähistatakse α-ga.
Kolmnurga AOB küljed AO ja OB on võrdsed 1-ga, külg AB on võrdne . Selliseid kolmnurki oleme varemgi näinud. Ilmselt on kolmnurk AOB täisnurkne ja võrdhaarne, see tähendab, et nurk AOB on 90 °.
Siis on kaar ASV võrdne 90° ja kaar AKB võrdub 360° - 90° = 270°.
Sissekirjutatud nurk α toetub AKB kaarele ja on võrdne poolega selle kaare nurga väärtusest, st 135°.

Vastus: 135.

4. Kõõl AB jagab ringi kaheks osaks, mille kraadiväärtused on seotud 5:7. Millise nurga all on see kõõl nähtav punktist C, mis kuulub ringi väiksemasse kaaresse? Esitage oma vastus kraadides.

Peamine selles ülesandes on õige joonistamine ja seisundi mõistmine. Kuidas mõistate küsimust: "Mis nurga all on kõõl punktist C nähtav?"
Kujutage ette, et istud punktis C ja sa pead nägema kõike, mis toimub akordil AB. Nii, nagu oleks akord AB kinos ekraan :-)
Ilmselgelt peate leidma nurga ACB.
Kahe kaare summa, milleks kõõl AB jagab ringi, on 360°, s.o.
5x + 7x = 360°
Seega x = 30° ja seejärel toetub sisse kirjutatud nurk ACB kaarele, mis on võrdne 210°.
Sissekirjutatud nurga väärtus on võrdne poolega selle kaare nurga väärtusest, millel see toetub, mis tähendab, et nurk ACB on võrdne 105°.

Juhend

Kui on teada ringjoone raadius (R) ja soovitud kesknurgale (θ) vastava kaare pikkus (L), saab seda arvutada nii kraadides kui ka radiaanides. Kogusumma määratakse valemiga 2 * π * R ja see vastab kesknurgale 360 ​​° või kahele pi-arvule, kui kraadide asemel kasutatakse radiaane. Seetõttu lähtuge proportsioonist 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Väljendage sellest kesknurk radiaanides θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R või kraadides θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) ja arvutage saadud valemi järgi.

Kesknurka (θ) määratleva punkte ühendava kõõlu pikkuse (m) järgi saab arvutada ka selle väärtuse, kui on teada ringi raadius (R). Selleks kaaluge kolmnurka, mille moodustavad kaks raadiust ja . See on võrdhaarne kolmnurk, kõik on teada, kuid peate leidma nurga, mis asub aluse vastas. Selle poole siinus võrdub aluse - kõõlu - pikkuse ja külje kahekordse pikkuse suhtega - raadiusega. Seetõttu kasutage arvutusteks siinuse pöördfunktsiooni - arcsinust: θ \u003d 2 * arcsin (½ * m / R).

Kesknurka saab määrata ka pöörde murdosades või täisnurga all. Näiteks kui soovite leida kesknurga, mis vastab veerandile täispöördest, jagage 360° neljaga: θ = 360°/4 = 90°. Sama väärtus radiaanides peaks olema 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Välja töötatud nurk võrdub poole täispöördega, nii et näiteks veerandile vastav kesknurk on nii kraadides kui ka radiaanides pool ülaltoodud väärtustest.

Nimetatakse pöördsiinuse trigonomeetriline funktsioon arcsiin. See võib võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi, mis jäävad poole pi arvust. negatiivne pool mõõdetuna radiaanides. Kraadides mõõdetuna on need väärtused vastavalt vahemikus -90° kuni +90°.

Juhend

Mõnda "ümmargust" väärtust ei pea arvutama, neid on lihtsam meeles pidada. Näiteks:- kui funktsiooni argument null, siis on ka arsiini väärtus sellest võrdne nulliga; - alates 1/2 on võrdne 30 ° või 1/6 Pi, kui seda mõõdetakse; - arsiinus alates -1/2 on võrdne -30 ° või - 1/6 arvust Pi in; - arcsiinus 1-st võrdub 90 ° või 1/2 arvust Pi radiaanides; - arsiinus -1 võrdub -90 ° või -1/2 arvust Pi Pi radiaanides;

Selle funktsiooni väärtuste mõõtmiseks muude argumentide põhjal on lihtsaim viis kasutada tavalist Windowsi kalkulaatorit, kui teil on . Alustamiseks avage peamenüü nupul "Start" (või vajutades WIN-klahvi), minge jaotisse "Kõik programmid" ja seejärel alamjaotisesse "Tarvikud" ja klõpsake üksust "Kalkulaator".

Lülitage kalkulaatori liides töörežiimile, mis võimaldab arvutada trigonomeetrilised funktsioonid. Selleks avage selle menüüs jaotis "Vaade" ja valige üksus "Insener" või "Teadus" (olenevalt operatsioonisüsteem).

Sisestage argumendi väärtus, mille põhjal arvutada kaartangens. Seda saab teha klõpsates hiirega kalkulaatori liidese nuppudel või vajutades nuppe või kopeerides väärtuse (CTRL + C) ja seejärel kleepides (CTRL + V) kalkulaatori sisestusväljale.

Valige ühikud, milles soovite funktsiooni arvutamise tulemuse saada. Sisestusvälja all on kolm valikut, mille hulgast tuleb valida (hiirega sellel klõpsates) üks - , radiaanid või rad.

Märkige ruut, mis muudab kalkulaatori liidese nuppudel näidatud funktsioonid ümber. Selle kõrval on lühike kiri Inv.

Klõpsake patu nuppu. Kalkulaator pöörab sellele lisatud funktsiooni ümber, sooritab arvutuse ja esitab tulemuse antud ühikutes.

Seotud videod

Üks levinumaid geomeetrilised probleemid on ringikujulise lõigu pindala arvutamine - ringjoone osa, mis on piiratud kõõlule vastava ringikaarega.

Ringikujulise lõigu pindala on võrdne vastava ringikujulise sektori pindala ja lõigule vastava sektori raadiuste ja lõiku piirava kõõlu moodustatud kolmnurga pindala erinevusega.

Näide 1

Ringi alluva kõõlu pikkus on võrdne a-ga. Kõõlule vastava kaare kraadimõõt on 60°. Leidke ringikujulise segmendi pindala.

Lahendus

Kahe raadiuse ja kõõlusega moodustatud kolmnurk on võrdhaarne, seega kesknurga tipust kõõluga moodustatud kolmnurga küljeni tõmmatud kõrgus on ka kesknurga poolitaja, jagades selle pooleks ja mediaaniks. , jagades akordi pooleks. Teades, et nurga β siinus on võrdne vastasjala ja hüpotenuusi suhtega, saame arvutada raadiuse väärtuse:

Sin 30° = a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, kus h on kesknurga tipust kõõluni tõmmatud kõrgus. Pythagorase teoreemi järgi h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Vastavalt sellele S▲=√3/4*a².

Segmendi pindala, arvutatuna Sceg = Sc - S▲, on võrdne:

Sseg \u003d πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Asendamine numbriline väärtus väärtuse a asemel saate hõlpsalt arvutada segmendi pindala arvväärtuse.

Näide 2

Ringjoone raadius on võrdne a. Lõigule vastava kaare kraadimõõt on 60°. Leidke ringikujulise segmendi pindala.

Lahendus:

Antud nurgale vastava sektori pindala saab arvutada järgmise valemi abil:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

Sektorile vastava kolmnurga pindala arvutatakse järgmiselt:

S▲=1/2*ah, kus h on kesknurga tipust kõõluni tõmmatud kõrgus. Pythagorase teoreemi järgi h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

Vastavalt sellele S▲=√3/4*a².

Ja lõpuks, segmendi pindala, arvutatuna Sceg = Sc - S▲, on võrdne:

Sseg \u003d πa² / 6 - √3 / 4 * a².

Mõlemal juhul on lahendused peaaegu identsed. Seega võime järeldada, et segmendi pindala arvutamiseks kõige lihtsamal juhul piisab, kui on teada segmendi kaarele vastava nurga väärtus ja üks kahest parameetrist - kas raadius. ring või lõigu moodustava ringjoone kaare all oleva kõõlu pikkus.

Allikad:

• Segment – ​​geomeetria