Mõõtmistulemuste töötlemine füüsilise mõõtmise praktilises töös ja mõõtmisvead. Otsemõõtmiste tulemuste töötlemine Antakse mõnede füüsikaliste suuruste otsemõõtmiste tulemused

1. Töö eesmärk: füüsikaliste suuruste mõõtmise meetodite õpe, praktilised võtted mõõtmistulemuste töötlemiseks ja analüüsimiseks. Vernieride uurimine.

2. Lühiteooria

Füüsikaliste suuruste mõõtmise meetodid. Mõõtmisvead

Mõõtmine selle sõna laiemas tähenduses on toiming, mille kaudu luuakse arvuline seos mõõdetava suuruse ja eelnevalt valitud mõõdiku vahel. Vaatleme füüsikaliste suuruste mõõtmist.

Füüsikaline suurus on omadus, mis on kvalitatiivselt ühine paljudele objektidele (füüsikalistele süsteemidele, nende seisunditele ja neis toimuvatele protsessidele), kuid kvantitatiivselt on see iga füüsilise objekti puhul individuaalne.

Füüsikalise suuruse mõõtmine tähendab selle võrdlemist teise homogeense suurusega, mida võetakse mõõtühikuna.

Füüsikaliste suuruste mõõtmiseks kasutatakse erinevaid tehnilisi vahendeid, mis on spetsiaalselt selleks ette nähtud ja millel on standardsed metroloogilised omadused.

Selgitame mõnda näidatud mõõtevahendit.

Mõõt on korpuse või seadme kujul olev mõõteriist, mis on ette nähtud ühe või mitme suurusega koguste reprodutseerimiseks, mille väärtused on mõõtmiseks vajaliku täpsusega teada. Mõõtme näiteks on kaal, mõõtekolb või skaala joonlaud.

Erinevalt mõõtest ei reprodutseeri mõõteseade suuruse teadaolevat väärtust. See teisendab mõõdetud koguse näidikuks või signaaliks, mis on proportsionaalne mõõdetud kogusega, kujul, mida saab otse taasesitada. Mõõteriista näiteks on ampermeeter, voltmeeter, termopaar jne.

Füüsikaliste suuruste mõõtmised võivad tehniliste või metoodiliste omaduste poolest üksteisest erineda. Metodoloogilisest vaatenurgast on füüsikaliste suuruste mõõtmine teatud süstematiseeritav. Need võib näiteks jagada otsesteks ja kaudseteks.

Kui mõõdetud suurust võrreldakse vahetult selle vastava mõõtühikuga või määratakse mõõteseadme näitude lugemise teel, mis on kalibreeritud vastavates ühikutes, siis nimetatakse sellist mõõtmist otseseks. Näiteks traadi jämeduse mõõtmine mikromeetriga, aja pikkuse mõõtmine stopperiga ja voolutugevuse mõõtmine ampermeetriga on otsene.

Enamikku füüsikalisi suurusi mõõdetakse kaudselt. Kaudne mõõtmine on mõõtmine, mille puhul soovitud füüsikalist suurust ei mõõdeta otseselt, vaid see arvutatakse teatud funktsionaalse seosega soovitud suurusega seotud mõne abisuuruse otsemõõtmise tulemustest.

Igasugune füüsikaliste suuruste mõõtmine annab tulemusi, mis sisaldavad paratamatult vigu (vigu). Need vead on põhjustatud väga erinevatest põhjustest (mõõtmiste ja mõõteriistade ebatäiuslikkus, meie tunnete ebatäiuslikkus). Seetõttu on mõõtmistulemused vaid ligikaudsed, enam-vähem lähedased mõõdetud suuruste tegelikele väärtustele.

Erinevus mõõdetud suuruse tegeliku väärtuse vahel X ja seda, mida tegelikult mõõdetakse, nimetatakse tõeliseks absoluutseks veaks või mõõtmisveaks:

Suhteline viga on abstraktne suurus, seda väljendatakse ühiku murdosades või protsentides ja võimaldab seetõttu võrrelda üksteisest sõltumatult tehtud mõõtmiste täpsust (näiteks silindri läbimõõdu ja kõrguse mõõtmise täpsust) .

Kuna ükski mõõtmine ei saa anda mõõdetava suuruse tõelist väärtust, on mistahes füüsikalise suuruse mõõtmise ülesandeks leida selle suuruse ligikaudne kõige tõenäolisem väärtus, samuti määrata ja hinnata lubatud viga.

Füüsikaliste suuruste mõõtmisel esinevad vead (vead) jaotatakse kolme rühma: bruto-, süstemaatilised, juhuslikud. Suured vead (miss) on vead, mis selgelt moonutavad mõõtmistulemusi. Jämedate vigade põhjuseks võivad olla katseseadistuse või mõõteseadme talitlushäired. Kuid enamasti on see eksperimenteerija enda vigade tagajärg: mõõtevahendi jaotuse väärtuse vale määramine, jaotuste vale loendamine instrumendi skaalal, otseste mõõtmiste tulemuste vale registreerimine jne. järgneval esitlusel eeldame, et mõõtmised ei sisalda jämedaid vigu (vtted) .

Süstemaatilised vead on tingitud tegurite toimest, mille suurus ja suund on konstantne. Näiteks mõõtude valmistamisel esinev ebatäpsus, kaalude vale gradueerimine või mõõteriistade vale paigaldamine, samuti mistahes välisteguri pidev ja ühepoolne mõjutamine mõõdetud väärtusele või mõõtepaigaldisele.

Korrates antud suuruse mõõtmist samadel tingimustel, korratakse süstemaatilist viga iga kord, sama suurusjärgu ja märgiga või muutub vastavalt teatud seadusele. Kasutatavate instrumentide tööpõhimõtte, mõõtmistehnika ja keskkonnatingimuste hoolika analüüsiga saab süstemaatilised vead kas mõõtmisprotsessis endas kõrvaldada või sobiva paranduse tegemisel mõõtmistulemuste lõpptulemuses arvesse võtta.

Juhuslikud vead on põhjustatud suure hulga väga erinevate, tavaliselt muutuvate tegurite toimest, mida enamasti ei saa arvesse võtta ja kontrollida ning mis avalduvad igal üksikul mõõtmisel erinevalt. Nende tegurite koosmõju häire tõttu on võimatu ette näha juhusliku vea ilmnemist ning ennustada selle suurust ja märki. Sellist viga nimetatakse juhuslikuks, kuna selle ilmumine on juhuse küsimus, selle ilmnemine ei tulene antud katsetingimustest. Ta võib eksisteerida või mitte.

Juhuslikud vead väljenduvad selles, et muutumatutes katsetingimustes ja süstemaatilised vead täielikult välistatud, osutuvad sama koguse korduvate mõõtmiste tulemused üksteisest veidi erinevaks. Juhuslikke vigu, nagu süstemaatilised vead, ei saa ülaltoodud põhjustel mõõtmistulemustest välja jätta.

3juhuslike vigade jaotuse seadus

Täiesti juhuslikke vigu on võimatu täielikult vältida või kõrvaldada, kuna neid põhjustavaid tegureid ei saa arvesse võtta ja need on oma olemuselt juhuslikud. Tekib küsimus: kuidas vähendada juhuslike vigade mõju mõõtmise lõpptulemusele ning kuidas hinnata viimase täpsust ja usaldusväärsust? Sellele küsimusele annab vastuse tõenäosusteooria. Tõenäosusteooria on matemaatikateadus, mis selgitab välja juhuslike sündmuste (nähtuste) mustrid, mis avalduvad suure hulga juhuslike tegurite mõjul.

Juhuslikud mõõtmisvead kuuluvad pidevate suuruste rühma. Pidevaid suurusi iseloomustab lõpmatu arv võimalikke väärtusi. Pideva juhusliku suuruse mis tahes väärtuse tõenäosus on lõpmata väike. Seetõttu arvestame mõne pideva juhusliku muutuja, näiteks koguse, tõenäosusjaotuse tuvastamiseks selle suuruse mitut väärtuste intervalli ja loendame igas suuruses suuruse väärtuste esinemissagedused. intervall. Tabelit, mis näitab intervalle nende jaotumise järjekorras piki x-telge ja vastavaid sagedusi, nimetatakse statistiliseks seeriaks (tabel 1).

Tabel 1

Statistiline seeria on graafiliselt kujutatud astmelise kõvera kujul, mida nimetatakse histogrammiks. Histogrammi koostamisel kantakse abstsisstelljele juhusliku suuruse võimalike väärtuste intervallid ning ordinaatteljel sagedused või juhtude arv, mil juhusliku suuruse väärtus jääb antud intervalli. Enamiku meid huvitavate juhuslike vigade puhul on histogrammil näidatud joonisel fig. 1. Sellel joonisel on iga veavahemiku kõrgus ja seega ka ristküliku pindala võrdeline katsete arvuga, milles seda viga täheldati.

Katsete (mõõtmiste) arvu suurenemise ja abstsisstelje jagamise intervalli vähenemisega kaotab histogramm oma astmelise iseloomu ja kaldub (üleminek) sujuvaks kõveraks (joonis 2). Sellist kõverat nimetatakse antud juhusliku suuruse jaotustiheduse kõveraks ja seda kõverat kirjeldavat võrrandit juhusliku suuruse jaotusseaduseks.

Juhuslik suurus loetakse täielikult kindlaksmääratuks, kui on teada selle jaotuse seadus. Seda seadust saab esitada (täpsustada) integraal- või diferentsiaalvormis. Juhusliku muutuja integraalse jaotuse seadust tähistatakse sümboliga ja seda nimetatakse jaotusfunktsiooniks. Tuletisfunktsiooni nimetatakse juhusliku suuruse X tõenäosustiheduseks või diferentsiaaljaotuse seaduseks:

.

Paljude praktiliste ülesannete lahendamisel puudub vajadus juhuslikku suurust ammendavalt iseloomustada. Piisab, kui märkida ainult mõned selle numbrilised omadused, näiteks selle matemaatiline ootus (saate kirjutada) ja dispersioon (saate kirjutada).

Tõenäosustihedusega pideva juhusliku suuruse X korral arvutatakse matemaatiline ootus valemi abil

. (3)

Pideva juhusliku suuruse jaoks X dispersioon määratakse järgmise valemiga:

. (4)

Dispersiooni positiivne ruutjuur on tähistatud sümboliga ja seda nimetatakse standardhälbeks (lühendatult s.d.o.):

. (5)

Lõpliku arvu katsete puhul võetakse hinnanguks vaadeldud (mõõdetud) väärtuste aritmeetiline keskmine , st ja ja - matemaatiline ootus ja standardhälve - normaaljaotuse parameetrid, mille füüsikalist tähendust ja arvutamise meetodit selgitati eespool.

Juhuslike vigade jaotuse omaduste ja tunnuste kaalumisel piirdume ainult normaalseadusega, kuna juhuslikud mõõtmisvead jaotuvad enamasti normaalselt (vastavalt Gaussi seadusele). See tähendab:

1) juhuslik mõõtmisviga võib võtta mis tahes väärtuse intervallis

2) juhuslikud vead, absoluutväärtuselt võrdsed, kuid märgilt vastupidised, on võrdselt tõenäolised, st esinevad võrdselt sageli;

3) mida suurem on juhuslike vigade absoluutväärtus, seda väiksema tõenäosusega need on ehk esinevad harvemini.

Üldjuhul on otsemõõtmiste tulemuste töötlemise kord järgmine (eeldatakse, et süstemaatilisi vigu ei esine).

Juhtum 1. Mõõtmete arv on väiksem kui viis.

1) Valemi (6) abil leitakse keskmine tulemus x, mis on määratletud kõigi mõõtmiste tulemuste aritmeetilise keskmisena, s.o.

2) Valemi (12) abil arvutatakse üksikute mõõtmiste absoluutvead

.

3) Valemi (14) abil määratakse keskmine absoluutviga

.

4) Valemi (15) abil arvutatakse mõõtmistulemuse keskmine suhteline viga

.

5) Kirjutage lõpptulemus järgmisel kujul:

, kell
.

Juhtum 2. Mõõtmete arv on üle viie.

1) Valemi (6) abil leitakse keskmine tulemus

.

2) Valemi (12) abil määratakse üksikute mõõtmiste absoluutvead

.

3) Valemi (7) abil arvutatakse ühe mõõtmise ruutkeskmine viga

.

4) Mõõdetud väärtuse keskmise väärtuse standardhälve arvutatakse valemi (9) järgi.

.

5) Lõpptulemus fikseeritakse järgmisel kujul

.

Mõnikord võivad juhuslikud mõõtmisvead olla väiksemad kui väärtus, mida mõõteseade (instrument) suudab registreerida. Sel juhul saadakse sama tulemus mis tahes arvu mõõtmiste korral. Sellistel juhtudel kui keskmine absoluutne viga
aktsepteerida poole seadme (instrumendi) skaala jaotuse väärtusest. Seda väärtust nimetatakse mõnikord maksimaalseks või instrumendi veaks ja see tähistatakse
(noonusepillide ja stopperi jaoks
võrdne seadme täpsusega).

Mõõtmistulemuste usaldusväärsuse hindamine

Igas katses on füüsikalise suuruse mõõtmiste arv ühel või teisel põhjusel alati piiratud. Tähtaeg Koos See võib seada ülesandeks hinnata saadud tulemuse usaldusväärsust. Teisisõnu, määrake kindlaks, millise tõenäosusega saab väita, et antud juhul tehtud viga ei ületa etteantud väärtust ε. Seda tõenäosust nimetatakse tavaliselt usalduse tõenäosuseks. Tähistame seda tähega.

Võib püstitada ka pöördülesande: määrata intervalli piirid
, nii et etteantud tõenäosusega võib väita, et kvantiteedi mõõtmise tegelik tähendus ei lähe kaugemale määratud nn usaldusvahemikust.

Usaldusvahemik iseloomustab saadud tulemuse täpsust ja usaldustõenäosus selle usaldusväärsust. Nende kahe probleemirühma lahendamise meetodid on saadaval ja need on välja töötatud eriti üksikasjalikult juhuks, kui mõõtmisvead jaotuvad tavalise seaduse järgi. Tõenäosusteooria pakub ka meetodeid katsete (korduvmõõtmiste) arvu määramiseks, mis tagavad eeldatava tulemuse etteantud täpsuse ja usaldusväärsuse. Käesolevas töös neid meetodeid ei käsitleta (piirdume vaid mainimisega), kuna laboritööde tegemisel selliseid ülesandeid tavaliselt ei püstitata.

Erilist huvi pakub aga füüsikaliste suuruste mõõtmise tulemuse usaldusväärsuse hindamine väga väikese arvu kordusmõõtmistega. Näiteks,
. Just seda kohtame füüsikas laboritöid tehes sageli. Seda tüüpi ülesannete lahendamisel on soovitatav kasutada Studenti jaotusel (seadusel) põhinevat meetodit.

Kõnealuse meetodi praktilise rakendamise hõlbustamiseks on olemas tabelid, mille abil saate määrata usaldusvahemiku
, mis vastab antud usalduse tõenäosusele või lahendage pöördülesanne.

Allpool on nimetatud tabelite need osad, mis võivad olla vajalikud mõõtmistulemuste hindamisel laboriklassides.

Lastakse näiteks toota mõne füüsikalise suuruse ekvivalentsed (identsetes tingimustes) mõõtmised ja arvutati selle keskmine väärtus . Peame leidma usaldusvahemiku , mis vastab antud usalduse tõenäosusele . Probleem lahendatakse üldiselt järgmiselt.

Kasutades valemit, võttes arvesse (7), arvutavad nad

Siis etteantud väärtuste jaoks n ja leidke tabelist (tabel 2) väärtus . Nõutav väärtus arvutatakse valemi alusel

(16)

Pöördülesande lahendamisel arvutatakse esmalt parameeter valemi (16) abil. Usaldustõenäosuse soovitud väärtus võetakse antud arvu jaoks tabelist (tabel 3). ja arvutatud parameeter .

Tabel 2. Teatud arvu katsete parameetri väärtus

ja usalduse tõenäosus

Tabel 3 Teatud arvu katsete usalduse tõenäosuse väärtus n ja parameeter ε

Juhuslikel vigadel on järgmised omadused.

Suure hulga mõõtmiste korral esineb võrdse suurusega, kuid vastupidise märgiga vigu võrdselt sageli.

Suured vead on väiksema tõenäosusega kui väikesed. Seostest (1), nende vormis ümberkirjutamine

X = x 1 + x 1

X = x 2 + x 2

X = x n + x n

ja lisades veergu, saate määrata mõõdetud väärtuse tegeliku väärtuse järgmiselt:

või
.

(2)

need. mõõdetud suuruse tegelik väärtus on võrdne mõõtmistulemuste aritmeetilise keskmisega, kui neid on lõpmatult palju. Piiratud ja veelgi enam väikese arvu mõõtmiste puhul, millega me tavaliselt praktikas tegeleme, on võrdsus (2) ligikaudne.

Olgu mitme mõõtmise tulemusena saadud järgmised mõõdetud suuruse X väärtused: 13,4; 13,2; 13,3; 13,4; 13,3; 13,2; 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13.1. Koostame nende tulemuste jaotusdiagrammi, kandes instrumendi näidud abstsissteljele kasvavas järjekorras. Abstsisstellje külgnevate punktide vahelised kaugused on võrdsed kahekordse instrumendi maksimaalse lugemisveaga. Meie puhul tehakse loendus 0,1-ni. See võrdub ühe abstsissteljele märgitud skaala jaotusega. Ordinaatteljel joonistame väärtused, mis on proportsionaalsed konkreetse instrumendi näidule vastavate tulemuste suhtelise arvuga. Suhteline arv või tulemuste suhteline sagedus, mis võrdub x k-ga, tähistatakse W(x k). Meie puhul

Määrame igale x k

(3)

kus A on proportsionaalsuskoefitsient.

Diagramm, mida nimetatakse histogrammiks, erineb tavalisest graafikust selle poolest, et punkte ei ühenda sujuv kõverjoon, vaid läbi nende tõmmatakse sammud. Ilmselt on astme pindala, mis ületab teatud väärtuse xk, võrdeline selle tulemuse suhtelise esinemissagedusega. Valides avaldises (3) vastavalt proportsionaalsuse koefitsiendi, saab selle pindala võrdseks teha tulemuse suhtelise esinemissagedusega x k Siis kõigi tulemuste suhteliste sageduste summana kõigi sammude pindalade summa , peaks olema võrdne ühtsusega

Siit leiame A=10. Tingimust (4) nimetatakse funktsiooni (3) normaliseerimistingimuseks.

Kui teha igas seerias mõõtmiste seeria n mõõtmisega, siis väikese n puhul võivad erinevatest seeriatest leitud sama väärtusega x k suhtelised sagedused üksteisest oluliselt erineda. Kui seeria mõõtmiste arv suureneb, vähenevad W(x k) väärtuste kõikumised ja need väärtused lähenevad teatud konstantsele arvule, mida nimetatakse tulemuse x k tõenäosuseks ja tähistatakse P(x k).

Oletame, et katset tehes ei loe me tulemust skaala terveteks osadeks või nende murdudeks, vaid saame fikseerida punkti, kus nool peatus. Seejärel külastab nool piiramatu arvu mõõtmistega skaala kõiki punkte. Mõõtmistulemuste jaotus muutub sel juhul pidevaks ja astmelise histogrammi asemel kirjeldatakse pideva kõveraga y=f(x). Juhuslike vigade omaduste põhjal saame järeldada, et kõver peab olema sümmeetriline ja seetõttu langeb selle maksimum mõõtetulemuste aritmeetilisele keskmisele väärtusele, mis on võrdne mõõdetud väärtuse tegeliku väärtusega. Mõõtmistulemuste pideva jaotuse korral puudub

Nende ühegi väärtuse tõenäosusest pole mõtet rääkida, sest on väärtusi, mis on vaadeldavale meelevaldselt lähedased. Nüüd peaksime püstitama küsimuse selle kohta, kui suur on tõenäosus leida tulemus mõõtmisel teatud intervallis väärtuse xk ümber, mis on võrdne
,
. Nii nagu histogrammil oli tulemuse x k suhteline sagedus võrdne selle tulemuse kohale ehitatud sammu pindalaga, on pideva jaotuse graafikul tõenäosus leida tulemus intervallis (
,
), on võrdne selle intervalli peale konstrueeritud kõvera trapetsi pindalaga, mis on piiratud kõveraga f(x). Selle tulemuse matemaatiline tähistus on

Kui
vähe, s.t. varjutatud kõvera trapetsi pindala asendatakse ligikaudu sama aluse ja kõrgusega ristküliku pindalaga, mis on võrdne f(x k). Funktsiooni f(x) nimetatakse mõõtmistulemuste jaotuse tõenäosustiheduseks. Teatud intervalli x leidmise tõenäosus on võrdne antud intervalli tõenäosustihedusega, mis on korrutatud selle pikkusega.

Mõõtmistulemuste jaotuskõver, mis on saadud katseliselt teatud instrumendi skaala lõigu kohta, kui seda jätkata, lähenedes asümptootiliselt abstsissale vasakult ja paremalt, on analüütiliselt hästi kirjeldatud vormi funktsiooniga.

(5)

Nii nagu kõigi histogrammi sammude kogupindala oli võrdne ühega, on kogu f(x) kõvera ja x-telje vaheline ala, mis tähendab tõenäosust, et mõõtmiste ajal tekib vähemalt mingi x väärtus. , on samuti võrdne ühega. Selle funktsiooniga kirjeldatud jaotust nimetatakse normaaljaotuseks. Normaaljaotuse põhiparameeter on dispersioon 2. Dispersiooni ligikaudse väärtuse saab mõõtmistulemustest valemi abil

(6)

See valem annab tegelikule väärtusele lähedase dispersiooniväärtuse ainult paljude mõõtmiste puhul. Näiteks 100 mõõtmise tulemustest leitud σ 2 võib tegelikust väärtusest kõrvale kalduda 15%, 10 mõõtmisel leitud on juba 40%. Dispersioon määrab normaaljaotuse kõvera kuju. Kui juhuslikud vead on väikesed, on dispersioon, nagu tuleneb punktist (6), väike. F(x) kõver on sel juhul kitsam ja teravam X-i tegeliku väärtuse lähedal ning kipub sellest eemaldumisel kiiremini nulli minema kui suurte vigade korral. Järgmine joonis näitab, kuidas kõvera f(x) kuju normaaljaotuse korral muutub sõltuvalt σ-st.

Tõenäosusteoorias on tõestatud, et kui võtta arvesse mitte mõõtmistulemuste jaotust, vaid igas seerias n mõõtmise seeriast leitud aritmeetiliste keskmiste väärtuste jaotust, siis järgib see ka normaalseadust, kuid dispersiooniga. n korda väiksem.

Mõõtmistulemuse leidmise tõenäosus teatud intervalliga (
) mõõdetud väärtuse tegeliku väärtuse lähedal on võrdne selle intervalli peale konstrueeritud kõverjoonelise trapetsi pindalaga, mis on ülalt piiratud kõveraga f(x). Intervalli suurus
Tavapärane on mõõta dispersiooni ruutjuurega võrdelistes ühikutes
Olenevalt k väärtusest intervalli kohta
on suurema või väiksema pindalaga kõver trapets, s.t.

kus F(k) on mingi k funktsioon Arvutused näitavad, et millal

k = 1,

k = 2,

k = 3,

Sellest on selge, et intervallil
moodustab ligikaudu 95% kõvera f(x)alusest pindalast. See asjaolu on täielikult kooskõlas juhuslike vigade teise omadusega, mis ütleb, et suured vead on ebatõenäolised. Ületavad vead
, esineb tõenäosusega alla 5%. n mõõtmise aritmeetilise keskmise väärtuse jaotamiseks ümber kirjutatud avaldis (7) võtab kuju

(8)

Suurusjärk punktides (7) ja (8) saab mõõtmistulemuste põhjal määrata ainult ligikaudu valemi (6) järgi

Selle väärtuse asendamine avaldisesse (8) saame paremale mitte F(k), vaid mingi uue funktsiooni, mis sõltub mitte ainult X väärtuste vaadeldava intervalli väärtusest, vaid ka tehtud mõõtmiste arvust
enamgi veel

sest Ainult väga suure arvu mõõtmiste korral muutub valem (6) piisavalt täpseks.

Olles lahendanud selle avaldise vasakus servas sulgudes oleva kahe võrratuse süsteemi X tegeliku väärtuse kohta, saame selle ümber kirjutada kujul

Avaldis (9) määrab tõenäosuse, millega X tegelik väärtus on teatud pikkusevahemikus väärtuse kohta . Veateoorias nimetatakse seda tõenäosust usaldusväärsuseks ja tõelise väärtuse vastavat intervalli usaldusvahemikuks. Funktsioon
arvutatakse sõltuvalt t n-st ja n-st ning selle kohta on koostatud detailne tabel. Tabelil on 2 sisendit: pot n ja pon. Selle abil on võimalik teatud arvu mõõtmiste n korral leida teatud usaldusväärsusväärtuse P korral t n väärtus, mida nimetatakse Studenti koefitsiendiks.

Tabeli analüüs näitab, et teatud arvu mõõtmiste puhul koos usaldusväärsuse suurendamise nõudega saame t n suurenevad väärtused, s.o. suurendades usaldusvahemikku. Ühega võrdne usaldusväärsus vastaks usaldusvahemikule, mis on võrdne lõpmatusega. Seades teatud usaldusväärsuse, saame tegeliku väärtuse usaldusvahemiku kitsamaks muuta, suurendades mõõtmiste arvu, kuna S n muutub ebaoluliselt ja väheneb nii lugeja vähenemise kui ka nimetaja suurenemise tõttu. Pärast piisava arvu katsete tegemist saate teha mis tahes väikese väärtusega usaldusvahemiku. Kuid kui n on suur, vähendab katsete arvu edasine suurendamine väga aeglaselt usaldusvahemikku ja arvutustöö maht suureneb oluliselt. Mõnikord on praktilises töös mugav kasutada ligikaudset reeglit: selleks, et väikese arvu mõõtmiste põhjal leitud usaldusvahemikku mitu korda vähendada, tuleb mõõtmiste arvu sama palju suurendada.

OTSE MÕÕTMISTE TULEMUSTE TÖÖTLEMISE NÄIDE

Võtame katseandmeteks kolm esimest tulemust 12-st, mille põhjal koostati X histogramm: 13,4; 13,2; 13.3.

Seadistagem õppelaboris tavaliselt aktsepteeritav töökindlus P = 95%. P = 0,95 ja n = 3 tabelist leiame t n = 4,3.

või

95% töökindlusega. Viimane tulemus kirjutatakse tavaliselt võrdsusena

Kui sellise väärtuse usaldusvahemik ei sobi (näiteks juhul, kui instrumentaalviga on 0,1) ja soovime seda poole võrra vähendada, tuleks mõõtmiste arvu kahekordistada.

Kui võtame näiteks 6 viimast väärtust samast 12 tulemusest (esimese kuue puhul on soovitatav arvutus ise teha)

X: 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13.1,

See

Koefitsiendi t n väärtus leitakse tabelist, kui P = 0,95 ja n = 6; tn = 2,6.

Sel juhul
Kujutame numbriteljel tõelise väärtuse usaldusvahemikku esimesel ja teisel juhul.

6 dimensiooni järgi arvutatud intervall on ootuspäraselt kolmest dimensioonist leitud intervalli sees.

Instrumendi viga toob tulemustesse süstemaatilise vea, mis laiendab teljel näidatud usaldusvahemikke 0,1 võrra. Seetõttu on instrumentaalviga arvesse võttes registreeritud tulemustel vorm

1)
2)

Täppisloodusteadused põhinevad mõõtmistel. Mõõtmisel väljendatakse suuruste väärtusi numbrite kujul, mis näitavad, mitu korda on mõõdetud suurus suurem või väiksem kui mõni muu suurus, mille väärtust võetakse ühikuna. Mõõtmiste tulemusel saadud erinevate suuruste arvväärtused võivad üksteisest sõltuda. Selliste suuruste vahelist seost väljendatakse valemitena, mis näitavad, kuidas mõne koguse arvväärtusi saab leida teiste arvulistest väärtustest.

Mõõtmiste käigus tekivad paratamatult vead. Vajalik on valdada mõõtmistulemuste töötlemisel kasutatavaid meetodeid. See võimaldab teil õppida, kuidas saada mõõtmiste kogumi põhjal tõele kõige lähemal olevaid tulemusi, märgata õigeaegselt ebakõlasid ja vigu, korraldada mõõtmisi ise arukalt ja hinnata õigesti saadud väärtuste täpsust.

Kui mõõtmine seisneb antud suuruse võrdlemises teise, ühikuna võetava homogeense suurusega, siis nimetatakse mõõtmist sel juhul otseseks.

Otsesed (otsesed) mõõtmised- need on mõõtmised, mille käigus saame mõõdetud suuruse arvväärtuse kas otsesel võrdlusel mõõduga (standardiga) või mõõdetud suuruse ühikutes kalibreeritud instrumentide abil.

Sellist võrdlust ei tehta aga alati otse. Enamasti mõõdetakse mitte suurust, mis meid huvitab, vaid teisi suurusi, mida sellega seostavad teatud seosed ja mustrid. Sel juhul on vajaliku koguse mõõtmiseks vaja esmalt mõõta veel mitu suurust, mille väärtus määrab arvutuse teel soovitud suuruse väärtuse. Seda mõõtmist nimetatakse kaudseks.

Kaudsed mõõtmised koosnevad ühe või mitme kvantitatiivse sõltuvusega määratud kogusega seotud suuruse otsesest mõõtmisest ja nende andmete põhjal määratud suuruse arvutamisest.

Mõõtmised hõlmavad alati mõõteriistu, mis seavad ühe väärtuse vastavusse sellega seotud teisega, mis on meie meelte abil kättesaadavaks kvantitatiivseks hindamiseks. Näiteks on voolutugevus vastavuses noole läbipaindenurgaga gradueeritud skaalal. Sel juhul peavad olema täidetud kaks mõõtmisprotsessi põhitingimust: tulemuse üheselt mõistetavus ja reprodutseeritavus. need kaks tingimust on alati ainult ligikaudu täidetud. Sellepärast Mõõtmisprotsess sisaldab koos soovitud väärtuse leidmisega ka mõõtmise ebatäpsuse hindamist.

Kaasaegne insener peab suutma hinnata mõõtmistulemuste viga, võttes arvesse vajalikku usaldusväärsust. Seetõttu pööratakse suurt tähelepanu mõõtmistulemuste töötlemisele. Vigade arvutamise põhimeetodite tundmine on laboritöökoja üks peamisi ülesandeid.

Miks tekivad vead?

Mõõtmisvigade tekkimisel on palju põhjuseid. Loetleme mõned neist.

· seadme ja mõõteobjekti koosmõjul toimuvad protsessid muudavad paratamatult mõõdetud väärtust. Näiteks detaili mõõtmete mõõtmine nihikuga viib detaili kokkusurumiseni ehk selle mõõtmete muutumiseni. Mõnikord võib seadme mõju mõõdetud väärtusele muuta suhteliselt väikeseks, kuid mõnikord on see võrreldav või isegi ületab mõõdetud väärtust ennast.

· Mis tahes seadmel on konstruktsiooni ebatäiuslikkuse tõttu piiratud võimalused mõõdetud väärtuse ühemõtteliseks määramiseks. Näiteks ampermeetri osutiploki erinevate osade vaheline hõõrdumine toob kaasa asjaolu, et voolu muutus mõne väikese, kuid piiratud koguse võrra ei põhjusta osuti kõrvalekalde nurga muutust.

· Kõikides seadme ja mõõteobjekti koostoime protsessides on alati kaasatud väliskeskkond, mille parameetrid võivad muutuda ja sageli ettearvamatult. See piirab mõõtmistingimuste reprodutseeritavust ja seega ka mõõtmistulemust.

· Instrumendi näitude visuaalsel võtmisel võib meie silmamõõturi piiratud võimaluste tõttu esineda ebaselgust instrumendi näitude lugemisel.

· Enamik suurusi määratakse kaudselt, tuginedes meie teadmistele soovitud suuruse ja muude mõõteriistadega otseselt mõõdetavate suuruste suhtest. Ilmselgelt sõltub kaudse mõõtmise viga kõigi otseste mõõtmiste vigadest. Lisaks soodustavad kaudse mõõtmise vigu meie teadmiste piiratus mõõdetava objekti kohta, suuruste vaheliste seoste matemaatilise kirjelduse lihtsustamine ja nende suuruste mõju ignoreerimine, mille mõju mõõtmisprotsessi käigus peetakse ebaoluliseks.

Vigade klassifitseerimine

Vea väärtus teatud koguse mõõtmisi iseloomustavad tavaliselt:

1. Absoluutne viga - erinevus katseliselt leitud (mõõdetud) ja teatud suuruse tegeliku väärtuse vahel

. (1)

Absoluutne viga näitab, kui palju me X teatud väärtuse mõõtmisel eksime.

2. Suhteline viga, mis võrdub absoluutvea ja mõõdetud väärtuse X tegeliku väärtuse suhtega

Suhteline viga näitab, millise osa võrra X tegelikust väärtusest me eksime.

Kvaliteet mõne suuruse mõõtmise tulemusi iseloomustab suhteline viga. Väärtust saab väljendada protsentides.

Valemitest (1) ja (2) järeldub, et absoluutsete ja suhteliste mõõtmisvigade leidmiseks peame teadma mitte ainult mõõdetavat, vaid ka meid huvitava koguse tegelikku väärtust. Aga kui tegelik väärtus on teada, siis pole vaja mõõtmisi teha. Mõõtmiste eesmärk on alati välja selgitada teatud suuruse tundmatu väärtus ja leida kui mitte selle tegelik väärtus, siis vähemalt sellest üsna vähe erinev väärtus. Seetõttu valemid (1) ja (2), mis määravad vigade suuruse, praktikas ei sobi. Praktilistel mõõtmistel vigu ei arvutata, vaid pigem hinnatakse. Hindamisel võetakse arvesse katsetingimusi, metoodika täpsust, instrumentide kvaliteeti ja mitmeid muid tegureid. Meie ülesanne: õppida konstrueerima eksperimentaalset metoodikat ja õigesti kasutama kogemustest saadud andmeid, et leida mõõdetud suuruste väärtusi, mis on piisavalt lähedased tegelikele väärtustele, ning hinnata mõistlikult mõõtmisvigu.

Mõõtmisvigadest rääkides tuleks kõigepealt mainida jämedad vead (viga) mis on tekkinud katse läbiviija järelevalve või seadmete rikke tõttu. Tõsisi vigu tuleks vältida. Kui tehakse kindlaks, et need on toimunud, tuleb vastavad mõõtmised ära jätta.

Eksperimentaalsed vead, mis ei ole seotud jämedate vigadega, jagunevad juhuslikeks ja süstemaatilisteks.

Koosjuhuslikud vead. Korrates samu mõõtmisi mitu korda, võib märgata, et üsna sageli ei ole nende tulemused omavahel päris võrdsed, vaid “tantsuvad” mingi keskmise ümber (joon. 1). Vigu, mis muudavad suurust ja märki katsest katsesse, nimetatakse juhuslikeks. Juhuslikud vead sisestab katse läbiviija tahtmatult meelte ebatäiuslikkuse, juhuslike välistegurite jms tõttu. Kui iga üksiku mõõtmise viga on põhimõtteliselt ettearvamatu, siis muudavad need juhuslikult mõõdetud suuruse väärtust. Neid vigu saab hinnata ainult soovitud koguse mitme mõõtmise statistilise töötlemise abil.

Süstemaatiline vead võib olla seotud instrumendi vigadega (vale skaala, ebaühtlaselt veniv vedru, ebaühtlane mikromeetri kruvi samm, ebavõrdsed tasakaaluõlad jne) ja katse endaga. Need säilitavad katse ajal oma suuruse (ja märgi!). Süstemaatiliste vigade tulemusena ei kõigu juhuslike vigade tõttu hajutatud katsetulemused mitte tegeliku väärtuse, vaid teatud kallutatud väärtuse ümber (joonis 2). iga soovitud suuruse mõõtmise viga on seadme omadusi teades ette ennustatav.

Otseste mõõtmiste vigade arvutamine

Süstemaatilised vead. Süstemaatilised vead muudavad loomulikult mõõdetud koguse väärtusi. Mõõtmisvigu instrumentide abil on kõige lihtsam hinnata, kui need on seotud mõõteriistade endi disainiomadustega. Need vead on näidatud seadmete passides. Mõne seadme vigu saab hinnata ilma andmelehele viitamata. Paljude elektriliste mõõtevahendite puhul on nende täpsusklass näidatud otse skaalal.

Instrumentide täpsusklass- see on seadme absoluutvea ja mõõdetud suuruse maksimaalse väärtuse suhe, mida saab selle seadme abil määrata (see on selle seadme süstemaatiline suhteline viga, väljendatuna protsendina skaala hinnangust).

.

Seejärel määrab sellise seadme absoluutse vea seos:

.

Elektriliste mõõteriistade jaoks on kasutusele võetud 8 täpsusklassi: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Mida lähemal on mõõdetud väärtus nimiväärtusele, seda täpsem on mõõtmistulemus. Maksimaalne täpsus (st väikseim suhteline viga), mida antud seade suudab pakkuda, on võrdne täpsusklassiga. Seda asjaolu tuleb mitmemõõtmeliste instrumentide kasutamisel arvesse võtta. Skaala tuleb valida selliselt, et mõõdetud väärtus oleks skaala piires võimalikult lähedane nimiväärtusele.

Kui seadme täpsusklass pole määratud, tuleb järgida järgmisi reegleid:

· Nooneeriga seadmete absoluutne viga on võrdne noonuse täpsusega.

· Fikseeritud noole sammuga instrumentide absoluutviga on võrdne jagamise väärtusega.

· Digiseadmete absoluutviga on võrdne ühe minimaalse numbriga.

· Kõikide teiste instrumentide puhul eeldatakse, et absoluutne viga on võrdne poolega jagamise väärtusest.

Juhuslikud vead. Need vead on oma olemuselt statistilised ja neid kirjeldab tõenäosusteooria. On kindlaks tehtud, et väga suure arvu mõõtmiste korral saab Gaussi normaaljaotuse abil määrata ühe või teise tulemuse saamise tõenäosust igal üksikmõõtmisel. Väikese arvu mõõtmiste korral nimetatakse ühe või teise mõõtmistulemuse saamise tõenäosuse matemaatilist kirjeldust Studenti jaotuseks (selle kohta saate täpsemalt lugeda juhendist “Füüsikaliste suuruste mõõtmisvead”).

Kuidas hinnata mõõdetud suuruse tegelikku väärtust?

Oletame, et teatud väärtuse mõõtmisel saime N tulemust: . Mõõtmiste seeria aritmeetiline keskmine on lähemal mõõdetud suuruse tegelikule väärtusele kui enamik üksikuid mõõtmisi. Teatud väärtuse mõõtmise tulemuse saamiseks kasutatakse järgmist algoritmi.

1). Arvutatud keskmine N otsemõõtmiste seeria:

2). Arvutatud iga mõõtmise absoluutne juhuslik viga on vahe N otsese mõõtmise seeria aritmeetilise keskmise ja selle mõõtmise vahel:

.

3). Arvutatud keskmine ruut absoluutviga:

.

4). Arvutatud absoluutne juhuslik viga. Väikese arvu mõõtmiste korral saab absoluutse juhusliku vea arvutada läbi keskmise ruutvea ja teatud koefitsiendi, mida nimetatakse Studenti koefitsiendiks:

,

Studenti koefitsient sõltub mõõtmiste arvust N ja usaldusväärsuskoefitsiendist (Tabel 1 näitab Studenti koefitsiendi sõltuvust mõõtmiste arvust usaldusväärsuse koefitsiendi fikseeritud väärtuse juures).

Usaldusväärsuse tegur on tõenäosus, millega mõõdetud väärtuse tegelik väärtus jääb usaldusvahemikku.

Usaldusvahemik on arvuline intervall, millesse mõõdetava suuruse tegelik väärtus teatud tõenäosusega langeb.

Seega on Studenti koefitsient arv, millega tuleb korrutada keskmine ruutviga, et tagada tulemuse kindlaksmääratud usaldusväärsus antud arvu mõõtmiste korral.

Mida suurem on teatud arvu mõõtmiste jaoks vajalik usaldusväärsus, seda suurem on Studenti koefitsient. Teisest küljest, mida suurem on mõõtmiste arv, seda väiksem on Studenti koefitsient antud usaldusväärsuse korral. Meie töökoja laboritöös eeldame, et usaldusväärsus on antud ja võrdub 0,9. Selle usaldusväärsuse Studenti koefitsientide arvväärtused erinevate mõõtmiste arvu jaoks on toodud tabelis 1.

Tabel 1

5). Arvutatud täielik absoluutne viga. Igas mõõtmises esineb nii juhuslikke kui ka süstemaatilisi vigu. Kogu (kogu) absoluutse mõõtevea arvutamine ei ole lihtne ülesanne, kuna need vead on erineva iseloomuga.

Tehniliste mõõtmiste puhul on otstarbekas süstemaatilised ja juhuslikud absoluutvead summeerida

.

Arvutuste lihtsuse huvides on tavaks hinnata absoluutset koguviga absoluutsete juhuslike ja absoluutsete süstemaatiliste (instrumentaalsete) vigade summana, kui vead on samas suurusjärgus, ning jätta üks vigadest tähelepanuta, kui see on rohkem kui suurusjärgu (10 korda) vähem kui teine.

6). Viga ja tulemus ümardatakse. Kuna mõõtmistulemus esitatakse väärtuste intervallina, mille väärtuse määrab absoluutne summaarne viga, on oluline tulemuse ja vea õige ümardamine.

Ümardamine algab absoluutse veaga!!! Veaväärtusesse jäetud oluliste numbrite arv sõltub üldiselt usaldusväärsuse koefitsiendist ja mõõtmiste arvust. Kuid isegi väga täpsete (näiteks astronoomiliste) mõõtmiste jaoks, mille puhul on oluline vea täpne väärtus, ärge jätke rohkem kui kaks märkimisväärset numbrit. Suurem arv numbreid ei ole mõttekas, kuna vea määratlusel endal on oma viga. Meie praktikal on suhteliselt väike usaldusväärsuse koefitsient ja väike mõõtmiste arv. Seetõttu jäetakse ümardamisel (ülejäägiga) absoluutne koguviga ühele olulisele numbrile.

Absoluutvea olulise numbri number määrab tulemuse väärtuses esimese kahtlase numbri numbri. Järelikult tuleb tulemuse enda väärtus ümardada (parandusega) selle olulise numbrini, mille number langeb kokku vea olulise numbri numbriga. Sõnastatud reeglit tuleks rakendada ka juhtudel, kui osa arvudest on nullid.

Kui kehakaalu mõõtmisel saadud tulemus on , siis tuleb arvu 0,900 lõppu kirjutada nullid. Salvestus tähendaks, et järgmiste oluliste arvude kohta polnud midagi teada, samas kui mõõtmised näitasid, et need olid null.

7). Arvutatud suhteline viga.

Suhtelise vea ümardamisel piisab kahe olulise numbri jätmisest.

R teatud füüsikalise suuruse mõõtmiste seeria tulemus esitatakse väärtuste intervalli kujul, mis näitab tõenäolise väärtuse sellesse intervalli sattumise tõenäosust, see tähendab, et tulemus tuleb kirjutada kujul:

Siin on kogu absoluutviga, ümardatuna esimese olulise numbrini, ja mõõdetud väärtuse keskmine väärtus, mis on ümardatud, võttes arvesse juba ümardatud viga. Mõõtmistulemuse salvestamisel peate märkima väärtuse mõõtühiku.

Vaatame mõnda näidet:

1. Oletame, et lõigu pikkuse mõõtmisel saime järgmise tulemuse: cm ja cm Kuidas õigesti üles kirjutada lõigu pikkuse mõõtmise tulemus? Esmalt ümardame absoluutvea ülejäägiga, jättes ühe märgilise numbri, vt vea märkimisväärne number. Seejärel ümardame parandusega keskmise väärtuse lähima sajandikuni, st selle olulise numbrini, mille number langeb kokku vea olulise numbri numbriga vt Suhtelise vea arvutamine

.

cm; ; .

2. Oletame, et juhi takistuse arvutamisel saime järgmise tulemuse: Ja . Esiteks ümardame absoluutvea, jättes alles ühe olulise arvu. Seejärel ümardame keskmise lähima täisarvuni. Arvutage suhteline viga

.

Mõõtmistulemuse kirjutame järgmiselt:

; ; .

3. Oletame, et koormuse massi arvutamisel saime järgmise tulemuse: kg ja kg. Esiteks ümardame absoluutvea, jättes alles ühe olulise arvu kg. Seejärel ümardame keskmise kümnenditeni kg. Arvutage suhteline viga

. .

Küsimused ja ülesanded vigade teooriast

1. Mida tähendab füüsikalise suuruse mõõtmine? Too näiteid.

2. Miks tekivad mõõtmisvead?

3. Mis on absoluutne viga?

4. Mis on suhteline viga?

5. Milline viga iseloomustab mõõtmise kvaliteeti? Too näiteid.

6. Mis on usaldusvahemik?

7. Defineerige mõiste "süstemaatiline viga".

8. Mis on süstemaatiliste vigade põhjused?

9. Mis on mõõteseadme täpsusklass?

10. Kuidas määratakse erinevate füüsiliste instrumentide absoluutsed vead?

11. Milliseid vigu nimetatakse juhuslikeks ja kuidas need tekivad?

12. Kirjeldage keskmise ruutvea arvutamise korda.

13. Kirjeldage otsemõõtmiste absoluutse juhusliku vea arvutamise korda.

14. Mis on usaldusväärsuse tegur?

15. Millistest parameetritest ja kuidas sõltub Studenti koefitsient?

16. Kuidas arvutatakse otsemõõtmiste summaarne absoluutviga?

17. Kirjutage valemid kaudsete mõõtmiste suhteliste ja absoluutsete vigade määramiseks.

18. Sõnasta reeglid tulemuse veaga ümardamiseks.

19. Leidke suhteline viga seina pikkuse mõõtmisel 0,5 cm jagamisväärtusega mõõdulindiga. Mõõdetud väärtus oli 4,66 m.

20. Ristküliku külgede A ja B pikkuse mõõtmisel tehti vastavalt absoluutvead ΔA ja ΔB. Kirjutage valem nende mõõtmiste tulemuste põhjal pindala määramisel saadud absoluutvea ΔS arvutamiseks.

21. Kuubi serva pikkuse L mõõtmisel oli viga ΔL. Kirjutage valem kuubi ruumala suhtelise vea määramiseks nende mõõtmiste tulemuste põhjal.

22. Keha liikus puhkeseisundist ühtlaselt kiirendatult. Kiirenduse arvutamiseks mõõtsime keha läbitud tee S ja selle liikumise aega t. Nende otseste mõõtmiste absoluutsed vead olid vastavalt ΔS ja Δt. Tuletage nende andmete põhjal suhtelise kiirenduse vea arvutamiseks valem.

23. Kütteseadme võimsuse arvutamisel mõõtmisandmete järgi saadi väärtused ​​Pav = 2361,7893735 W ja ΔР = 35,4822 W. Salvestage tulemus usaldusvahemikuna, vajadusel ümardades.

24. Takistuse väärtuse arvutamisel mõõtmisandmete põhjal saadi järgmised väärtused: Rav = 123,7893735 Ohm, ΔR = 0,348 Ohm. Salvestage tulemus usaldusvahemikuna, vajadusel ümardades.

25. Hõõrdeteguri arvutamisel mõõtmisandmete põhjal saadi väärtused ​​μav = 0,7823735 ja Δμ = 0,03348. Salvestage tulemus usaldusvahemikuna, vajadusel ümardades.

26. Voolutugevus 16,6 A määrati seadme abil, mille täpsusklass on 1,5 ja skaala reiting 50 A. Leidke selle mõõtmise absoluutsed instrumentaalsed ja suhtelised vead.

27. Pendli võnkeperioodi 5 mõõtmise seerias saadi järgmised väärtused: 2,12 s, 2,10 s, 2,11 s, 2,14 s, 2,13 s. Leidke nende andmete põhjal perioodi määramisel absoluutne juhuslik viga.

28. Koorma teatud kõrguselt langetamise katset korrati 6 korda. Sel juhul saadi järgmised koormuse langemisaja väärtused: 38,0 s, 37,6 s, 37,9 s, 37,4 s, 37,5 s, 37,7 s. Leidke suhteline viga langemise aja määramisel.

Jagamise väärtus on mõõdetud väärtus, mis põhjustab osuti ühe jaotuse võrra kõrvalekaldumise. Jaotuse väärtus määratakse seadme mõõtmise ülemise piiri ja skaala jaotuste arvu suhtena.

Juhuslike vigade mõju vähendamiseks on vaja seda väärtust mitu korda mõõta. Oletame, et mõõdame mingit suurust x. Mõõtmiste tulemusena saime järgmised väärtused:

x 1, x 2, x 3, ... x n. (2)

Seda x väärtuste seeriat nimetatakse valimiks. Sellise proovi olemasolul saame mõõtmistulemust hinnata. Tähistame koguse, mis on selline hinnang. Kuid kuna see mõõtmise hindamisväärtus ei esinda mõõdetud suuruse tegelikku väärtust, on vaja hinnata selle viga. Oletame, et saame määrata veahinnangu Δx. Sel juhul saame mõõtmistulemuse vormile kirjutada

µ = ± Δx (3)

Kuna mõõtmistulemuse ja vea Δx hinnangulised väärtused ei ole täpsed, peab mõõtetulemuse kirjele (3) olema lisatud märge selle usaldusväärsuse kohta P. Usaldusväärsuse ehk usaldustõenäosuse all mõistetakse tõenäosust, et mõõtetulemuse tegelik väärtus mõõdetud väärtus sisaldub kirjega (3) näidatud intervallis. Seda intervalli ennast nimetatakse usaldusvahemikuks.

Näiteks teatud lõigu pikkuse mõõtmisel kirjutasime lõpptulemuse vormi

l = (8,34 ± 0,02) mm,(P = 0,95)

See tähendab, et 100 võimalusest on 95, et lõigu pikkuse tegelik väärtus on vahemikus 8,32 kuni 8,36 mm.

Seega on ülesandeks antud näidis (2) leida hinnang mõõtmistulemusele, selle veale Δx ja usaldusväärsusele P.

Seda ülesannet saab lahendada tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika abil.

Enamikul juhtudel järgivad juhuslikud vead Gaussi kehtestatud normaaljaotuse seadust. Tavaline veajaotuse seadus väljendatakse valemiga

(4)

kus Δx kõrvalekalle tegelikust väärtusest;

σ tegelik keskmine ruutviga;

σ 2 dispersioon, mille väärtus iseloomustab juhuslike suuruste levikut.

Nagu (4) näha, on funktsiooni maksimaalne väärtus x = 0, lisaks on see paaris.

Peal Joonis 16 Kuvatakse selle funktsiooni graafik. Funktsiooni (4) tähendus on see, et kõvera, Δx-telje ja punktidest Δx 1 ja Δx 2 kahe ordinaadi vahele jääv joonise pindala (varjutatud ala Joonis 16) on arvuliselt võrdne tõenäosusega, kuivõrd mis tahes valim langeb intervalli (Δx 1 ,Δx 2) .

Kuna kõver on jaotunud sümmeetriliselt ordinaadi ümber, võib väita, et võrdse suurusega, kuid vastupidise märgiga vead on võrdselt tõenäolised. Ja see võimaldab võtta mõõtmistulemuste hinnanguna kõigi proovielementide keskmist väärtust (2)

kus n on mõõtmiste arv.

Seega, kui n mõõtmist tehakse samadel tingimustel, on mõõdetud väärtuse kõige tõenäolisem väärtus selle keskmine väärtus (aritmeetiline). Suurus kaldub mõõdetud suuruse tegelikule väärtusele μ kujul n → ∞.

Üksiku mõõtmistulemuse ruutkeskmine viga on suurus

. (6)

See iseloomustab iga üksiku mõõtmise viga. Kuna n → ∞ S kaldub konstantsele piirile σ

σ = lim S. (7)
n → ∞

σ suurenedes suureneb näitude levik, s.t. mõõtmise täpsus väheneb.

Aritmeetilise keskmise ruutkeskmine viga on suurus

. (8)

See on mõõtmiste arvu suurenedes täpsuse suurenemise põhiseadus.

Viga iseloomustab täpsust, millega saadakse mõõdetud väärtuse keskmine väärtus. Tulemus kirjutatakse järgmiselt:

See vigade arvutamise meetod annab häid tulemusi (usaldusväärsusega 0,68) ainult juhul, kui sama väärtust mõõdeti vähemalt 30 50 korda.

1908. aastal näitas Student, et statistiline lähenemine kehtib ka väikese arvu mõõtmiste korral. Studenti jaotus mitme mõõtmise korral n → ∞ muundub Gaussi jaotuseks ja väikese arvu korral erineb sellest.

Absoluutvea arvutamiseks väikese arvu mõõtmistega võetakse kasutusele spetsiaalne koefitsient, mis sõltub usaldusväärsusest P ja mõõtmiste arvust n, mida nimetatakse koefitsiendiks.
Üliõpilase t.

Jättes välja selle sissejuhatuse teoreetilise põhjenduse, märgime, et

Δx = t. (10)

kus Δx absoluutne viga antud usalduse tõenäosuse korral;
aritmeetilise keskmise ruutkeskmine viga.

Studenti t koefitsiendid on antud tabel 2.

Selleks on mugavam kasutada tabelit 3, kus intervallid on antud murdosades väärtusest σ, mis on antud katse täpsuse mõõt juhuslike vigade suhtes.

tabel 2

Tabel 3

Otsese mõõtmise tulemuste töötlemisel pakutakse välja järgmine toimingute järjekord:

1. Kirjutage iga mõõtmise tulemus tabelisse.
2. Arvutage n mõõtmise keskmine
   
3. Leidke üksiku mõõtmise viga