Tõenäosusteooria põhikontseptsioon. Tõenäosusteooria seadused

Samuti tulevad iseseisva lahenduse ülesanded, mille vastuseid näete.

Tõenäosusteooria sündmuste tüüpide ja nende toimumise tõenäosuse kohta

Tõenäosusteooria uurib sündmuste liike ja nende toimumise tõenäosusi. Tõenäosusteooria tekkimine sai alguse 17. sajandi keskpaigast, mil matemaatikud hakkasid huvi tundma mängurite tekitatud probleemide vastu ja hakkasid uurima selliseid sündmusi nagu võitude ilmumine. Nende probleemide lahendamise käigus kristalliseerusid sellised mõisted nagu tõenäosus ja matemaatiline ootus. Tolleaegsed teadlased - Huygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), Fermat (1601-1665) ja Bernoulli (1654-1705) olid veendunud, et massiivsete juhuslike sündmuste põhjal võivad tekkida selged mustrid. Samas piisas uurimistööks elementaararitmeetilistest ja kombinatoorsetest tehtetest.

Seega selgitab ja uurib tõenäosusteooria erinevaid mustreid, millele juhuslikud sündmused ja juhuslikud muutujad alluvad. sündmus on mis tahes fakt, mida saab kindlaks teha vaatluse või kogemusega. Vaatlus või kogemus on teatud tingimuste realiseerimine, mille korral sündmus võib toimuda.

Mida peate teadma sündmuse toimumise tõenäosuse määramiseks

Kõik sündmused, mida inimesed jälgivad või ise loovad, jagunevad järgmisteks osadeks:

• usaldusväärsed sündmused;
• võimatud sündmused;
• juhuslikud sündmused.

Usaldusväärsed sündmused tulevad alati siis, kui luuakse teatud asjaolude kogum. Näiteks kui me töötame, saame selle eest tasu, kui sooritasime eksamid ja läbisime konkursi, siis võime usaldusväärselt arvestada õpilaste hulka. Usaldusväärseid sündmusi saab jälgida füüsikas ja keemias. Majanduses on teatud sündmused seotud olemasoleva sotsiaalse struktuuri ja seadusandlusega. Näiteks kui investeerisime raha panka hoiustamiseks ja avaldasime soovi seda teatud aja jooksul saada, siis saame raha kätte. Seda võib pidada usaldusväärseks sündmuseks.

Võimatud sündmused kindlasti ei esine, kui on loodud teatud tingimuste kogum. Näiteks vesi ei külmu, kui temperatuur on pluss 15 kraadi Celsiuse järgi, tootmine ei toimu ilma elektrita.

juhuslikud sündmused kui teatud tingimuste kogum on realiseeritud, võivad need ilmneda, kuid ei pruugi. Näiteks kui viskame mündi ühe korra, võib embleem välja kukkuda või mitte, loteriipilet võib võita või mitte, toodetud toode võib olla defektne või mitte. Defektse toote ilmumine on juhuslik sündmus, harvem kui heade toodete valmistamine.

Juhuslike sündmuste eeldatav esinemissagedus on tihedalt seotud tõenäosuse mõistega. Juhuslike sündmuste toimumise ja mittetoimumise mustreid uurib tõenäosusteooria.

Kui vajalike tingimuste kogum realiseeritakse ainult üks kord, siis saame juhusliku sündmuse kohta ebapiisavat teavet, kuna see võib juhtuda, kuid ei pruugi juhtuda. Kui tingimuste kogumit rakendatakse mitu korda, ilmnevad teatud seaduspärasused. Näiteks pole kunagi võimalik teada, millist kohvimasinat poes järgmine klient vajab, kuid kui on teada juba pikemat aega enim nõutud kohvimasinate margid, siis nende andmete põhjal on võimalik nõudluse rahuldamiseks tootmise või tarnete korraldamiseks.

Massi juhuslikke sündmusi reguleerivate mustrite tundmine võimaldab ennustada, millal need sündmused aset leiavad. Näiteks, nagu juba märgitud, ei ole võimalik ette näha mündi viskamise tulemust, kuid kui münti visatakse mitu korda, siis on võimalik ette näha vapi kadumist. Viga võib olla väike.

Tõenäosusteooria meetodeid kasutatakse laialdaselt erinevates loodusteaduste harudes, teoreetilises füüsikas, geodeesias, astronoomias, automaatjuhtimise teoorias, vigade vaatlusteoorias ning paljudes teistes teoreetilistes ja praktilistes teadustes. Tõenäosusteooriat kasutatakse laialdaselt tootmise planeerimises ja korraldamises, tootekvaliteedi analüüsis, protsessianalüüsis, kindlustuses, rahvastikustatistikas, bioloogias, ballistikas ja muudes tööstusharudes.

Juhuslikke sündmusi tähistatakse tavaliselt ladina tähestiku suurtähtedega A, B, C jne.

Juhuslikud sündmused võivad olla:

• Sobimatu;
• liigend.

Kutsutakse sündmusi A, B, C ... Sobimatu kui ühe testi tulemusena võib juhtuda üks neist sündmustest, kuid kahe või enama sündmuse toimumine on võimatu.

Kui ühe juhusliku sündmuse toimumine ei välista teise sündmuse toimumist, siis selliseid sündmusi nimetatakse liigend . Näiteks kui konveierilindilt eemaldatakse mõni teine ​​osa ja sündmus A tähendab "osa vastab standardile" ja sündmus B tähendab "osa ei vasta standardile", siis A ja B on kokkusobimatud sündmused. Kui sündmus C tähendab “osavõtt II klassist”, siis see sündmus on koos sündmusega A, kuid mitte koos sündmusega B.

Kui igas vaatluses (testis) peab toimuma üks ja ainult üks kokkusobimatutest juhuslikest sündmustest, siis need sündmused on sündmuste tervikkomplekt (süsteem). .

teatud sündmus on vähemalt ühe sündmuse toimumine sündmuste tervikust.

Kui sündmused, mis moodustavad sündmuste tervikkomplekti paarisühildumatu , siis saab vaatluse tulemusena aset leida ainult üks neist sündmustest. Näiteks peab õpilane lahendama kaks kontrolltööd. Kindlasti toimub üks ja ainult üks järgmistest sündmustest:

• esimene ülesanne lahendatakse ja teine ​​ülesanne jääb lahendamata;
• teine ​​ülesanne lahendatakse ja esimene ülesanne jääb lahendamata;
• mõlemad ülesanded saavad lahendatud;
• ükski probleem ei lahene.

Need sündmused moodustuvad kokkusobimatute sündmuste täielik komplekt .

Kui sündmuste tervik koosneb ainult kahest kokkusobimatust sündmusest, siis neid kutsutakse vastastikku vastandlikud või alternatiivne sündmused.

Sündmusele vastandlik sündmus on tähistatud . Näiteks võib ühe mündiviske korral välja kukkuda nimiväärtus () või vapp ().

Üritused kutsutakse võrdselt võimalik kui kummalgi neist pole objektiivseid eeliseid. Sellised sündmused moodustavad ka sündmuste terviku. See tähendab, et vähemalt üks võrdselt tõenäolistest sündmustest peab kindlasti toimuma vaatluse või testimise tulemusena.

Näiteks tervikliku sündmuste rühma moodustab nominaali ja vapi kadumine ühe mündiviske käigus, 0, 1, 2, 3 ja rohkem kui 3 vea esinemine ühel trükitud tekstileheküljel.

Klassikalised ja statistilised tõenäosused. Tõenäosusvalemid: klassikaline ja statistiline

Klassikaline tõenäosuse määratlus. Võimaluseks või soodsaks juhuks nimetatakse juhtumit, kui sündmuse teatud asjaolude kogumi rakendamisel A toimuvad. Klassikaline tõenäosuse määratlus hõlmab soodsate juhtumite või võimaluste arvu otsest arvutamist.

Sündmuse tõenäosus A nimetatakse selle sündmuse jaoks soodsate võimaluste arvu ja kõigi võrdselt võimalike mitteühilduvate sündmuste arvu suhteks N mis võib ilmneda ühe testi või vaatluse tulemusena. Tõenäosuse valem sündmused A:

Kui on täiesti selge, millise sündmuse tõenäosusega on tegemist, siis tähistatakse tõenäosust väikese tähega lk, sündmuse nimetust täpsustamata.

Tõenäosuse arvutamiseks klassikalise definitsiooni järgi on vaja leida kõigi võrdselt võimalike mitteühilduvate sündmuste arv ja määrata, kui paljud neist on sündmuse määratlemiseks soodsad A.

Näide 1 Leia tõenäosus saada täringu viskamise tulemusena number 5.

Lahendus. Teame, et kõigil kuuel näol on ühesugune võimalus tipus olla. Number 5 on märgitud ainult ühel küljel. Kõigi võrdselt võimalike kokkusobimatute sündmuste arv on 6, millest ainult üks soodne võimalus arvu 5 toimumiseks ( M= 1). See tähendab, et soovitud tõenäosus, et number 5 kukub välja

Näide 2 Karbis on 3 punast ja 12 ühesuurust valget palli. Üks pall võetakse vaatamata. Leidke tõenäosus, et punane pall võetakse.

Lahendus. Soovitud tõenäosus

Leidke ise tõenäosused ja seejärel vaadake lahendust

Näide 3 Visatakse täringut. Sündmus B- paarisarvu kukutamine. Arvutage selle sündmuse tõenäosus.

Näide 5 Urnis on 5 valget ja 7 musta palli. Juhuslikult loositakse 1 pall. Sündmus A- Joonistatakse valge pall. Sündmus B- tõmmatakse must pall. Arvutage nende sündmuste tõenäosus.

Klassikalist tõenäosust nimetatakse ka eelnevaks tõenäosuseks, kuna see arvutatakse enne testi või vaatluse algust. Klassikalise tõenäosuse a priori olemus viitab selle peamisele puudusele: ainult harvadel juhtudel, isegi enne vaatluse algust, on võimalik arvutada kõik võrdselt võimalikud kokkusobimatud sündmused, sealhulgas soodsad sündmused. Sellised võimalused tekivad tavaliselt mängudega seotud olukordades.

Kombinatsioonid. Kui sündmuste jada pole oluline, arvutatakse võimalike sündmuste arv kombinatsioonide arvuna:

Näide 6 Rühmas on 30 õpilast. Kolm õpilast peaksid minema arvutiteaduste osakonda arvutit ja projektorit võtma ja tooma. Arvutage tõenäosus, et kolm konkreetset õpilast seda teevad.

Lahendus. Võimalike sündmuste arv arvutatakse valemi (2) abil:

Tõenäosus, et osakonda läheb kolm konkreetset üliõpilast, on:

Näide 7 Müüa 10 mobiiltelefoni. 3 neist on defektidega. Ostja valis 2 telefoni. Arvutage tõenäosus, et mõlemad valitud telefonid on defektsed.

Lahendus. Kõigi võrdselt tõenäoliste sündmuste arv leitakse valemiga (2):

Sama valemi abil leiame sündmuse jaoks soodsate võimaluste arvu:

Soovitud tõenäosus, et mõlemad valitud telefonid on defektsed:

Leidke ise tõenäosus ja seejärel vaadake lahendust

Näide 8 Eksamikaartidel on 40 küsimust, mida ei korrata. Õpilane koostas vastused 30-le neist. Iga pilet sisaldab 2 küsimust. Kui suur on tõenäosus, et õpilane teab vastuseid mõlemale piletil olevale küsimusele?

"Juhuslikkus ei ole juhuslik"... See kõlab nagu filosoof ütles, aga tegelikult on õnnetuste uurimine suure matemaatikateaduse saatus. Matemaatikas on juhus tõenäosusteooria. Artiklis esitatakse ülesannete valemid ja näited, samuti selle teaduse peamised määratlused.

Mis on tõenäosusteooria?

Tõenäosusteooria on üks matemaatilisi distsipliine, mis uurib juhuslikke sündmusi.

Et asi oleks veidi selgem, toome väikese näite: kui viskate mündi üles, võib see pea või saba alla kukkuda. Kuni münt on õhus, on mõlemad võimalused võimalikud. See tähendab, et võimalike tagajärgede tõenäosus korreleerub 1:1. Kui 36 kaardiga pakist võetakse üks, näidatakse tõenäosust 1:36. Näib, et pole midagi uurida ja ennustada, eriti matemaatiliste valemite abil. Sellegipoolest, kui kordate teatud toimingut mitu korda, saate tuvastada teatud mustri ja selle põhjal ennustada sündmuste tulemusi muudes tingimustes.

Kõike eelnevat kokku võttes uurib tõenäosusteooria klassikalises mõttes ühe võimaliku sündmuse toimumise võimalust numbrilises mõttes.

Ajaloo lehekülgedelt

Tõenäosusteooria, valemid ja esimeste ülesannete näited ilmusid kaugel keskajal, mil esmakordselt tekkisid katsed ennustada kaardimängude tulemust.

Algselt polnud tõenäosusteoorial matemaatikaga mingit pistmist. Seda õigustati empiiriliste faktide või sündmuse omadustega, mida oli võimalik praktikas korrata. Esimesed tööd sellel alal matemaatilise distsipliinina ilmusid 17. sajandil. Asutajad olid Blaise Pascal ja Pierre Fermat. Pikka aega õppisid nad hasartmänge ja nägid teatud mustreid, millest nad otsustasid avalikkusele rääkida.

Sama tehnika leiutas Christian Huygens, kuigi ta ei olnud kursis Pascali ja Fermati uurimistöö tulemustega. Tema tutvustas "tõenäosusteooria" mõistet, valemeid ja näiteid, mida peetakse distsipliini ajaloos esimesteks.

Vähese tähtsusega pole ka Jacob Bernoulli tööd, Laplace’i ja Poissoni teoreemid. Nad muutsid tõenäosusteooria rohkem matemaatiliseks distsipliiniks. Tõenäosusteooria, valemid ja põhiülesannete näited said oma praeguse kuju tänu Kolmogorovi aksioomidele. Kõigi muudatuste tulemusena on tõenäosusteooriast saanud üks matemaatilisi harusid.

Tõenäosusteooria põhimõisted. Sündmused

Selle distsipliini põhikontseptsioon on "sündmus". Sündmusi on kolme tüüpi:

• Usaldusväärne. Need, mis niikuinii juhtuvad (münt kukub).
• Võimatu. Sündmused, mis ei juhtu üheski stsenaariumis (münt jääb õhku rippuma).
• Juhuslik. Need, mis juhtuvad või ei juhtu. Neid võivad mõjutada mitmesugused tegurid, mida on väga raske ennustada. Kui rääkida mündist, siis juhuslikud tegurid, mis võivad tulemust mõjutada: mündi füüsikalised omadused, kuju, lähteasend, viskejõud jne.

Näidetes on kõik sündmused tähistatud suurte ladina tähtedega, välja arvatud R, millel on erinev roll. Näiteks:

• A = "üliõpilased tulid loengusse."
• Ā = "tudengid ei tulnud loengusse".

Praktilistes ülesannetes fikseeritakse sündmused enamasti sõnadega.

Sündmuste üks olulisemaid omadusi on nende võrdne võimalikkus. See tähendab, et kui viskad mündi, on kõik esialgse kukkumise variandid võimalikud kuni selle kukkumiseni. Kuid ka sündmused pole sama tõenäolised. See juhtub siis, kui keegi mõjutab tulemust tahtlikult. Näiteks "märgitud" mängukaardid või täringud, milles raskuskese on nihutatud.

Sündmused on ka ühilduvad ja mitteühilduvad. Ühilduvad sündmused ei välista üksteise esinemist. Näiteks:

• A = "tudeng tuli loengusse."
• B = "tudeng tuli loengusse."

Need sündmused on üksteisest sõltumatud ja ühe välimus ei mõjuta teise välimust. Kokkusobimatud sündmused on määratletud selle järgi, et ühe toimumine välistab teise toimumise. Kui me räägime samast mündist, siis "sabade" kaotamine muudab võimatuks "peade" ilmumise samas katses.

Sündmuste toimingud

Sündmusi saab vastavalt korrutada ja liita, distsipliinis võetakse kasutusele loogilised konnektiivid "AND" ja "OR".

Summa määrab asjaolu, et kas sündmus A või B või mõlemad võivad toimuda samal ajal. Kui need ei ühildu, on viimane võimalus võimatu, kas A või B langevad välja.

Sündmuste korrutamine seisneb A ja B üheaegses ilmumises.

Nüüd saate tuua mõned näited, et põhitõed, tõenäosusteooria ja valemid paremini meelde jätta. Probleemide lahendamise näited allpool.

1. harjutus: Ettevõte teeb pakkumisi kolme tüüpi tööde jaoks. Võimalikud sündmused, mis võivad tekkida:

• A = "ettevõte saab esimese lepingu."
• A 1 = "ettevõte ei saa esimest lepingut."
• B = "ettevõte saab teise lepingu."
• B 1 = "ettevõte ei saa teist lepingut"
• C = "ettevõte saab kolmanda lepingu."
• C 1 = "firma ei saa kolmandat lepingut."

Proovime sündmustega seotud toimingute abil väljendada järgmisi olukordi:

• K = "ettevõte saab kõik lepingud."

Matemaatilisel kujul näeb võrrand välja selline: K = ABC.

• M = "ettevõte ei saa ühtegi lepingut."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Me muudame ülesande keerulisemaks: H = "ettevõte saab ühe lepingu." Kuna pole teada, millise lepingu ettevõte saab (esimese, teise või kolmanda), tuleb registreerida kõik võimalikud sündmused:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Ja 1 eKr 1 on sündmuste jada, kus ettevõte ei saa esimest ja kolmandat lepingut, vaid saab teise. Vastava meetodiga salvestatakse ka muud võimalikud sündmused. Sümbol υ distsipliinis tähistab hunnikut "VÕI". Kui tõlgime ülaltoodud näite inimkeelde, siis saab ettevõte kas kolmanda lepingu või teise või esimese. Samamoodi saab distsipliinis "Tõenäosusteooria" kirjutada teisi tingimusi. Ülaltoodud valemid ja näited probleemide lahendamiseks aitavad teil seda ise teha.

Tegelikult tõenäosus

Võib-olla on selles matemaatilises distsipliinis sündmuse tõenäosus keskne mõiste. Tõenäosuse määratlusi on kolm:

• klassikaline;
• statistiline;
• geomeetriline.

Igal neist on tõenäosuste uurimisel oma koht. Tõenäosusteoorias, valemites ja näidetes (9. klass) kasutatakse enamasti klassikalist määratlust, mis kõlab järgmiselt:

• Olukorra A tõenäosus on võrdne selle esinemist soodustavate tulemuste arvu ja kõigi võimalike tulemuste arvu suhtega.

Valem näeb välja selline: P (A) \u003d m / n.

Ja tegelikult sündmus. Kui esineb A vastand, saab selle kirjutada kui Ā või A 1 .

m on võimalike soodsate juhtumite arv.

n - kõik sündmused, mis võivad juhtuda.

Näiteks A \u003d "tõmmake välja südameülikonna kaart". Tavalises pakis on 36 kaarti, neist 9 on südamed. Sellest lähtuvalt näeb probleemi lahendamise valem välja järgmine:

P(A) = 9/36 = 0,25.

Selle tulemusena on tõenäosus, et kaardipakist tõmmatakse südamega sobiv kaart, 0,25.

kõrgemale matemaatikale

Nüüd on vähe teada, mis on tõenäosusteooria, kooli õppekavas ette tulevad valemid ja ülesannete lahendamise näited. Tõenäosusteooriat leidub aga ka kõrgemas matemaatikas, mida õpetatakse ülikoolides. Enamasti töötavad nad teooria geomeetriliste ja statistiliste definitsioonide ja keeruliste valemitega.

Tõenäosusteooria on väga huvitav. Valemite ja näidete (kõrgem matemaatika) õppimist on parem alustada väikesest – tõenäosuse statistilisest (või sagedus)definitsioonist.

Statistiline lähenemine ei ole vastuolus klassikalisega, vaid laiendab seda veidi. Kui esimesel juhul oli vaja kindlaks teha, millise tõenäosusega sündmus toimub, siis selle meetodi puhul on vaja näidata, kui sageli see juhtub. Siin võetakse kasutusele uus mõiste "suhteline sagedus", mida saab tähistada W n (A). Valem ei erine klassikalisest:

Kui prognoosimiseks arvutatakse klassikaline valem, siis statistiline arvutatakse katse tulemuste järgi. Võtame näiteks väikese ülesande.

Tehnoloogilise kontrolli osakond kontrollib toodete kvaliteeti. 100 toote hulgast leiti 3 ebakvaliteetset. Kuidas leida kvaliteetse toote sageduse tõenäosust?

A = "kvaliteetse toote välimus."

Wn (A) = 97/100 = 0,97

Seega on kvaliteetse toote sagedus 0,97. Kust sa 97 said? 100 kontrollitud tootest osutus 3 ebakvaliteetseks. Lahutame 100-st 3, saame 97, see on kvaliteetse toote kogus.

Natuke kombinatoorikast

Teist tõenäosusteooria meetodit nimetatakse kombinatoorikaks. Selle põhiprintsiip on, et kui teatud valikut A saab teha m erineval viisil ja valikut B n erineval viisil, siis A ja B valiku saab teha korrutades.

Näiteks linnast A linna B on 5 teed. Linnast B linna C on 4 marsruuti. Mitu võimalust on linnast A linna C jõudmiseks?

See on lihtne: 5x4 = 20, see tähendab, et punktist A punkti C jõudmiseks on kakskümmend erinevat võimalust.

Teeme ülesande raskemaks. Mitu võimalust on pasjansis kaarte mängida? 36 kaardist koosnevas pakis on see lähtepunkt. Võimaluste arvu väljaselgitamiseks peate alguspunktist "lahutama" ühe kaardi ja korrutama.

See tähendab, et 36x35x34x33x32…x2x1= tulemus ei mahu kalkulaatori ekraanile, seega võib selle lihtsalt tähistada kui 36!. Märk "!" numbri kõrval näitab, et kogu arvude jada on omavahel korrutatud.

Kombinatoorikas on sellised mõisted nagu permutatsioon, paigutus ja kombinatsioon. Igal neist on oma valem.

Järjestatud komplekti elementide komplekti nimetatakse paigutuseks. Paigutused võivad olla korduvad, mis tähendab, et ühte elementi saab kasutada mitu korda. Ja ilma kordamiseta, kui elemente ei korrata. n on kõik elemendid, m on paigutuses osalevad elemendid. Ilma kordusteta paigutuse valem näeb välja järgmine:

A n m =n!/(n-m)!

Permutatsioonideks nimetatakse n elemendi ühendusi, mis erinevad üksteisest ainult paigutuse järjekorras. Matemaatikas näeb see välja selline: P n = n!

N elemendi kombinatsioonid m-ga on sellised ühendid, milles on oluline, millised elemendid need olid ja kui suur on nende koguarv. Valem näeb välja selline:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoulli valem

Tõenäosusteoorias, nagu ka igas distsipliinis, leidub oma ala silmapaistvate teadlaste töid, kes on selle uuele tasemele viinud. Üks neist töödest on Bernoulli valem, mis võimaldab määrata teatud sündmuse toimumise tõenäosust sõltumatutel tingimustel. See viitab sellele, et A ilmumine katses ei sõltu sama sündmuse ilmnemisest või mittetoimumisest eelmistes või järgnevates testides.

Bernoulli võrrand:

P n (m) = C n m × p m × q n-m .

Sündmuse (A) toimumise tõenäosus (p) ei muutu iga katse puhul. Tõenäosus, et olukord juhtub täpselt m korda n arvu katsete jooksul, arvutatakse ülaltoodud valemiga. Sellest tulenevalt tekib küsimus, kuidas leida arv q.

Kui sündmus A toimub p mitu korda, ei pruugi see toimuda. Ühik on arv, mida kasutatakse distsipliini olukorra kõigi tulemuste tähistamiseks. Seetõttu on q arv, mis näitab sündmuse mittetoimumise võimalust.

Nüüd teate Bernoulli valemit (tõenäosusteooria). Allpool käsitletakse näiteid probleemide lahendamisest (esimene tase).

Ülesanne 2: Poekülastaja sooritab ostu tõenäosusega 0,2. Poodi sisenes iseseisvalt 6 külastajat. Kui suur on tõenäosus, et külastaja sooritab ostu?

Lahendus: Kuna pole teada, mitu külastajat peaks ostu sooritama, kas üks või kõik kuus, tuleb Bernoulli valemi abil arvutada kõik võimalikud tõenäosused.

A = "külastaja teeb ostu."

Sel juhul: p = 0,2 (nagu on näidatud ülesandes). Vastavalt sellele on q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (kuna kaupluses on 6 klienti). Arv m muutub 0-lt (ükski klient ei tee ostu) 6-ks (kõik poekülastajad ostavad midagi). Selle tulemusena saame lahenduse:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Ükski ostjatest ei soorita ostu tõenäosusega 0,2621.

Kuidas muidu Bernoulli valemit (tõenäosusteooriat) kasutatakse? Näited probleemide lahendamisest (teine ​​tase) allpool.

Pärast ülaltoodud näidet tekivad küsimused, kuhu on kadunud C ja p. P suhtes on arv 0 astmega võrdne ühega. Mis puutub C-sse, siis selle saab leida järgmise valemiga:

C n m = n! /m!(n-m)!

Kuna esimeses näites vastavalt m = 0, C=1, mis põhimõtteliselt tulemust ei mõjuta. Proovime uue valemi abil välja selgitada, kui suur on tõenäosus, et kaks külastajat ostavad kaupa.

P 6 (2) = C6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Tõenäosusteooria pole nii keeruline. Bernoulli valem, mille näited on toodud eespool, on selle otsene tõestus.

Poissoni valem

Poissoni võrrandit kasutatakse ebatõenäoliste juhuslike olukordade arvutamiseks.

Põhivalem:

P n (m) = λ m/m! × e (-λ) .

Sel juhul λ = n x p. Siin on selline lihtne Poissoni valem (tõenäosusteooria). Probleemide lahendamise näiteid käsitletakse allpool.

3. ülesanne V: Tehas tootis 100 000 osa. Defektse osa välimus = 0,0001. Kui suur on tõenäosus, et ühes partiis on 5 defektset osa?

Nagu näete, on abiellumine ebatõenäoline sündmus ja seetõttu kasutatakse arvutamisel Poissoni valemit (tõenäosusteooria). Seda tüüpi probleemide lahendamise näited ei erine teistest distsipliini ülesannetest, asendame vajalikud andmed ülaltoodud valemiga:

A = "juhuslikult valitud osa on defektne."

p = 0,0001 (vastavalt määramise tingimusele).

n = 100000 (osade arv).

m = 5 (defektsed osad). Asendame andmed valemis ja saame:

100 000 R (5) = 10 5/5! Xe-10 = 0,0375.

Nii nagu Bernoulli valemil (tõenäosusteoorias), mille näited lahendustest on ülalpool kirjutatud, on ka Poissoni võrrandil tundmatu e. Sisuliselt saab selle leida valemiga:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Siiski on spetsiaalseid tabeleid, mis sisaldavad peaaegu kõiki e.

De Moivre-Laplace'i teoreem

Kui Bernoulli skeemis on katsete arv piisavalt suur ja sündmuse A toimumise tõenäosus kõigis skeemides on sama, siis saab sündmuse A toimumise tõenäosust teatud arv kordi katsete seerias määrata. leitud Laplace'i valemiga:

Рn (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Laplace'i valemi (tõenäosusteooria) paremaks meeldejätmiseks allpool abiks ülesannete näited.

Esmalt leiame X m , asendame andmed (need on kõik ülaltoodud) valemis ja saame 0,025. Tabelite abil leiame arvu ϕ (0,025), mille väärtus on 0,3988. Nüüd saate kõik valemis olevad andmed asendada:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Seega tõenäosus, et flaier tabab täpselt 267 korda, on 0,03.

Bayesi valem

Bayesi valem (tõenäosusteooria), mille abil ülesannete lahendamise näiteid tuuakse allpool, on võrrand, mis kirjeldab sündmuse tõenäosust, lähtudes asjaoludest, mida sellega seostada võiks. Peamine valem on järgmine:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A ja B on kindlad sündmused.

P(A|B) - tingimuslik tõenäosus, st sündmus A võib toimuda eeldusel, et sündmus B on tõene.

Р (В|А) - sündmuse В tingimuslik tõenäosus.

Niisiis, lühikursuse "Tõenäosusteooria" viimane osa on Bayesi valem, mille näited probleemide lahendamisest on toodud allpool.

5. ülesanne: Lattu toodi kolme firma telefonid. Samal ajal on osa telefonidest, mida toodetakse esimeses tehases, 25%, teises - 60%, kolmandas - 15%. Samuti on teada, et esimeses tehases on defektsete toodete keskmine protsent 2%, teises 4% ja kolmandas 1%. Tuleb leida tõenäosus, et juhuslikult valitud telefon on defektne.

A = "juhuslikult võetud telefon."

B 1 - telefon, mille esimene tehas valmistas. Vastavalt sellele ilmuvad sissejuhatavad B 2 ja B 3 (teise ja kolmanda tehase jaoks).

Selle tulemusena saame:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - nii leidsime iga võimaluse tõenäosuse.

Nüüd peate leidma soovitud sündmuse tingimuslikud tõenäosused, st defektsete toodete tõenäosus ettevõtetes:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A/B 2) = 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Nüüd asendame andmed Bayesi valemiga ja saame:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Artiklis esitatakse tõenäosusteooria, valemid ja näited probleemide lahendamisest, kuid see on vaid suure distsipliini jäämäe tipp. Ja pärast kõike seda, mis on kirjutatud, on loogiline esitada küsimus, kas tõenäosusteooriat on elus vaja. Lihtsa inimese jaoks on raske vastata, parem on küsida kelleltki, kes on tema abiga rohkem kui korra jackpoti löönud.

Tõenäosuse klassikaline määratlus põhineb mõistel tõenäosuslik kogemus, või tõenäosuslik eksperiment. Selle tulemus on üks mitmest võimalikust tulemusest, nn elementaarsed tulemused, ja pole põhjust eeldada, et tõenäosusliku katse kordamisel ilmneb mõni elementaarne tulemus sagedamini kui teised. Näiteks kaaluge tõenäosuslikku katset täringu (täringu) viskamisel. Selle kogemuse tulemuseks on ühe täringu esiküljele tõmmatud 6 punkti kaotus.

Seega on selles katses 6 elementaarset tulemust:

ja igaüks neist on võrdselt oodatud.

sündmus klassikalises tõenäosuskatses on elementaarsete tulemuste hulga suvaline alamhulk. Vaadeldavas täringuheite näites on sündmuseks näiteks paarisarv punktide kaotus, mis koosneb elementaarsetest tulemustest.

Sündmuse tõenäosus on arv:

kus on sündmuse moodustavate elementaarsete tulemuste arv (mõnikord öeldakse, et see on elementaarsete tulemuste arv, mis soodustavad sündmuse ilmnemist) ja kõigi elementaarsete tulemuste arv.

Meie näites:

Kombinatoorika elemendid.

Paljude tõenäosuskatsete kirjeldamisel saab elementaarseid tulemusi identifitseerida ühega järgmistest kombinatoorika (lõplike hulkade teadus) objektidest.

permutatsioon numbritest nimetatakse nende arvude suvaliseks järjestatud kirjeks ilma kordusteta. Näiteks kolmest numbrist koosneval komplektil on 6 erinevat permutatsiooni:

, , , , , .

Suvalise arvu permutatsioonide jaoks on

(naturaalrea järjestikuste arvude korrutis, alates 1).

Kombinatsioon on hulga mis tahes elementide suvaline järjestamata hulk. Näiteks kolmest numbrist koosneva komplekti jaoks on 3 erinevat kombinatsiooni 3 kuni 2:

Suvalise paari , , kombinatsioonide arv poolt on

Näiteks,

Hüpergeomeetriline jaotus.

Vaatleme järgmist tõenäosuslikku katset. Seal on must kast, mis sisaldab valgeid ja musti palle. Pallid on ühesuurused ja puudutusega eristamatud. Katse seisneb selles, et me tõmbame pallid juhuslikult välja. Sündmus, mille tõenäosust tuleb leida, on see, et need pallid on valged ja ülejäänud on mustad.

Nummerdage kõik pallid ümber numbritega 1 kuni . Olgu numbrid 1, ¼ vastavad valgetele pallidele ja numbrid ¼ mustadele pallidele. Selle katse elementaarne tulemus on järjestamata elementide komplekt hulgast , st kombinatsioon poolt . Seetõttu on kõik elementaarsed tulemused.

Leiame sündmuse välimust soodustavate elementaarsete tulemuste arvu. Vastavad komplektid koosnevad "valgetest" ja "mustadest" numbritest. Saate valida "valgete" numbrite hulgast numbreid ja numbreid "mustade" numbrite hulgast ¾ viisil. Valge ja musta komplekti saab suvaliselt ühendada, nii et on ainult elementaarsed tulemused, mis soosivad sündmust.

Sündmuse tõenäosus on

Saadud valemit nimetatakse hüpergeomeetriliseks jaotuseks.

Probleem 5.1. Karbis on 55 standardset ja 6 sama tüüpi defektset osa. Kui suur on tõenäosus, et kolme juhuslikult valitud osa hulgas on vähemalt üks defektne?

Lahendus. Kokku on 61 osa, võtame 3. Elementaartulemus on kombinatsioon 61 korda 3. Kõikide elementaartulemuste arv on . Soodsad tulemused jagunevad kolme rühma: 1) need on tulemused, mille puhul 1 osa on defektne ja 2 on head; 2) 2 osa on defektsed ja 1 on hea; 3) kõik 3 osa on defektsed. Esimest tüüpi komplektide arv on võrdne , teist tüüpi komplektide arv on võrdne , kolmandat tüüpi komplektide arv on võrdne . Seetõttu soosivad sündmuse toimumist elementaarsed tulemused. Sündmuse tõenäosus on

Sündmuste algebra

Elementaarsete sündmuste ruum on kõigi antud kogemusega seotud elementaarsete tulemuste kogum.

summa Kahest sündmusest nimetatakse sündmuseks, mis koosneb sündmuse või sündmuse elementaarsetest tulemustest.

tööd kahte sündmust nimetatakse sündmuseks, mis koosneb elementaarsetest tulemustest, mis kuuluvad samaaegselt sündmuste ja .

Sündmusi ja nimetatakse ühildumatuteks, kui .

Üritus on nn vastupidine sündmus, kui sündmust soosivad kõik need elementaarsed tulemid, mis sündmuse juurde ei kuulu. Eriti, , .

TEOREEM summa kohta.

Eriti, .

Tingimuslik tõenäosus sündmust, eeldusel, et sündmus leidis aset, nimetatakse ristumiskohale kuuluvate elementaartulemite arvu suhteks rühma kuuluvate elementaartulemuste arvuga. Teisisõnu, sündmuse tingimuslik tõenäosus määratakse klassikalise tõenäosuse valemiga, milles uus tõenäosusruum on . Sündmuse tingimuslikku tõenäosust tähistatakse .

TEOREEM toote kohta. .

Sündmused on nn sõltumatu, Kui. Sõltumatute sündmuste korral annab korrutiteoreem seose .

Summa- ja korrutisteoreemide tagajärg on kaks järgmist valemit.

Kogutõenäosuse valem. Täielik hüpoteeside rühm on suvaline kokkusobimatute sündmuste kogum , , ¼, , kogu tõenäosusruumi komponentide summas:

Sellises olukorras kehtib suvalise sündmuse puhul valem, mida nimetatakse kogu tõenäosuse valemiks,

kus on Laplace'i funktsioon , , . Laplace'i funktsioon on tabelina ja selle väärtused antud väärtuse jaoks leiate igast tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika õpikust.

Probleem 5.3. Teatavasti on suures partiides defektseid osi 11%. Kontrollimiseks valitakse 100 osa. Kui suur on tõenäosus, et nende hulgas on kõige rohkem 14 defektset? Hinnake vastust Moivre-Laplace'i teoreemi abil.

Lahendus. Tegemist on Bernoulli testiga, kus , , . Defektse osa leidmist loetakse õnnestunuks ja õnnestumiste arv rahuldab ebavõrdsust. Seega

Otsene loendamine annab:

, , , , , , , , , , , , , , .

Seega,. Nüüd rakendame Moivre-Laplace'i integraaliteoreemi. Saame:

Funktsiooni väärtuste tabeli abil, võttes arvesse funktsiooni veidrust, saame

Ligikaudne arvutusviga ei ületa .

juhuslikud muutujad

Juhuslik suurus on tõenäosusliku kogemuse arvuline tunnus, mis on elementaarsete tulemuste funktsioon. Kui , , ¼ on elementaarsete tulemuste hulk, siis on juhuslik muutuja funktsioon . Mugavam on aga juhuslikku muutujat iseloomustada, loetledes kõik selle võimalikud väärtused ja tõenäosused, millega see selle väärtuse võtab.

Sellist tabelit nimetatakse juhusliku suuruse jaotuse seaduseks. Kuna sündmused moodustavad tervikliku rühma, kehtib tõenäosusliku normaliseerimise seadus

Juhusliku suuruse matemaatiline ootus ehk keskmine väärtus on arv, mis võrdub juhusliku suuruse väärtuste korrutistega vastavate tõenäosustega.

Juhusliku muutuja dispersioon (väärtuste hajumise määr ümber matemaatilise ootuse) on juhusliku suuruse matemaatiline ootus,

Seda saab näidata

Väärtus

nimetatakse juhusliku suuruse keskmiseks ruuthälbeks.

Juhusliku muutuja jaotusfunktsioon on tõenäosus, et see langeb hulka, see tähendab

See on mittenegatiivne, mittekahanev funktsioon, mis võtab väärtused vahemikus 0 kuni 1. Juhusliku muutuja puhul, millel on lõplik väärtuste hulk, on see tükkhaaval konstantne funktsioon, millel on teist tüüpi katkestused olekupunktides. Lisaks on pidev vasakul ja .

Probleem 5.4. Kaks täringut veeretatakse järjest. Kui ühel täringul kukub välja üks, kolm või viis punkti, kaotab mängija 5 rubla. Kahe või nelja punkti väljalangemisel saab mängija 7 rubla. Kuue punkti väljalangemisel kaotab mängija 12 rubla. Juhuslik väärtus x on mängija tasu kahe täringuviske eest. Leidke levitamise seadus x, joonistage jaotusfunktsioon, leidke matemaatiline ootus ja dispersioon x.

Lahendus. Mõelgem esmalt, milline on mängija väljamakse, kui üks täringuviset on võrdne. Olgu siis juhtum, et välja kukkus 1, 3 või 5 punkti. Siis on võidud Rs. Olgu siis nii, et 2 või 4 punkti kukkus välja. Siis on võidud Rs. Lõpuks tähendagu sündmus 6 punkti. Siis on väljamakse võrdne Rs.

Nüüd kaaluge kõiki võimalikke sündmuste kombinatsioone ja kahe täringuheite korral ning määrake iga sellise kombinatsiooni tasuvusväärtused.

Kui sündmus toimub, siis samal ajal .

Kui sündmus toimub, siis samal ajal .

Sarnaselt , saame , .

Kõik leitud olekud ja nende olekute kogutõenäosused on kirjutatud tabelisse:

Kontrollime tõenäosusliku normaliseerimise seaduse täitmist: reaaljoonel peate suutma määrata tõenäosuse, et juhuslik suurus langeb sellesse intervalli 1) ja väheneb kiiresti ¼,

Kui münti visata, võib öelda, et see maandub heads up, või tõenäosus sellest on 1/2. See muidugi ei tähenda, et kui münti visata 10 korda, siis see tingimata 5 korda pähe maandub. Kui münt on "õiglane" ja kui seda visatakse mitu korda, siis poolel korral kerkivad pead väga lähedale. Seega on kahte tüüpi tõenäosusi: eksperimentaalne Ja teoreetiline .

Eksperimentaalne ja teoreetiline tõenäosus

Kui viskame münti palju kordi – näiteks 1000 – ja loendame, mitu korda see päid üles kerkib, saame määrata selle tõenäosuse, et see kerkib. Kui pead kerkivad 503 korda, saame arvutada nende esilekerkimise tõenäosuse:
503/1000 või 0,503.

See eksperimentaalne tõenäosuse määratlus. See tõenäosuse määratlus tuleneb vaatlustest ja andmete uurimisest ning on üsna levinud ja väga kasulik. Näiteks siin on mõned tõenäosused, mis määrati eksperimentaalselt:

1. Võimalus, et naine haigestub rinnavähki, on 1/11.

2. Kui suudled kedagi, kes on külmetanud, siis tõenäosus, et ka sina jääd nohu, on 0,07.

3. Äsja vanglast vabanenul on 80% tõenäosus vanglasse tagasi minna.

Kui arvestada mündi viskamist ja võttes arvesse, et sellel on võrdselt nii päid kui sabasid, saame arvutada peade tõusmise tõenäosuse: 1/2. See on tõenäosuse teoreetiline definitsioon. Siin on mõned muud tõenäosused, mis on teoreetiliselt matemaatika abil kindlaks määratud:

1. Kui ruumis on 30 inimest, on tõenäosus, et neist kahel on sama sünnipäev (aastat arvestamata), 0,706.

2. Reisil kohtad kedagi ja vestluse käigus avastad, et sul on ühine tuttav. Tüüpiline reaktsioon: "See ei saa olla!" Tegelikult see fraas ei sobi, sest sellise sündmuse tõenäosus on üsna suur – veidi üle 22%.

Seetõttu määratakse katse tõenäosus vaatluse ja andmete kogumise teel. Teoreetilised tõenäosused määratakse matemaatilise arutluskäiguga. Näited eksperimentaalsete ja teoreetiliste tõenäosuste kohta, nagu eespool käsitletud, ja eriti need, mida me ei oota, viivad meid tõenäosuse uurimise tähtsuseni. Võite küsida: "Mis on tõeline tõenäosus?" Tegelikult pole ühtegi. Eksperimentaalselt on võimalik teatud piirides tõenäosusi määrata. Need võivad, kuid ei pruugi langeda kokku tõenäosustega, mille me teoreetiliselt saame. On olukordi, kus ühte tüüpi tõenäosust on palju lihtsam määratleda kui teist. Näiteks piisaks sellest, kui leitakse teoreetilise tõenäosuse abil külmetushaiguse tõenäosus.

Eksperimentaalsete tõenäosuste arvutamine

Mõelge esmalt tõenäosuse eksperimentaalsele määratlusele. Põhiprintsiip, mida me selliste tõenäosuste arvutamiseks kasutame, on järgmine.

Põhimõte P (eksperimentaalne)

Kui katses, milles tehakse n vaatlust, esineb olukord või sündmus E m korda n vaatluse jooksul, siis öeldakse sündmuse eksperimentaalseks tõenäosuseks P (E) = m/n.

Näide 1 Sotsioloogiline uuring. Vasakukäeliste, paremakäeliste ja võrdselt arenenud mõlema käega inimeste arvu määramiseks viidi läbi eksperimentaalne uuring Tulemused on toodud graafikul.

a) Määrake tõenäosus, et inimene on paremakäeline.

b) Määrake tõenäosus, et inimene on vasakukäeline.

c) Määrake tõenäosus, et inimene valdab mõlemat kätt võrdselt.

d) Enamikul PBA turniiridel on 120 mängijat. Kui palju mängijaid saab selle katse põhjal olla vasakukäeline?

Lahendus

a) Paremakäeliste inimeste arv on 82, vasakukäeliste arv 17 ja mõlema käega võrdselt valdajate arv 1. Vaatluste koguarv on 100. Seega on tõenäosus et inimene on paremakäeline, on P
P = 82/100 ehk 0,82 ehk 82%.

b) Tõenäosus, et inimene on vasakukäeline, on P, kus
P = 17/100 või 0,17 või 17%.

c) Tõenäosus, et inimene valdab mõlema käega võrdselt, on P, kus
P = 1/100 või 0,01 või 1%.

d) 120 pallurit ja alates (b) võime oodata 17% vasakukäelisi. Siit
17% 120-st = 0,17,120 = 20,4,
see tähendab, et võime oodata umbes 20 mängijat, kes on vasakukäelised.

Näide 2 Kvaliteedi kontroll . Tootja jaoks on väga oluline hoida oma toodete kvaliteeti kõrgel tasemel. Tegelikult palkavad ettevõtted selle protsessi tagamiseks kvaliteedikontrolli inspektoreid. Eesmärk on vabastada võimalikult vähe defektseid tooteid. Kuid kuna ettevõte toodab iga päev tuhandeid esemeid, ei saa ta endale lubada iga eseme kontrollimist, et teha kindlaks, kas see on defektne või mitte. Et teada saada, mitu protsenti toodetest on defektiga, testib ettevõte palju vähem tooteid.
USDA nõuab, et 80% kasvatajate müüdavatest seemnetest idaneks. Põllumajandusettevõttes toodetavate seemnete kvaliteedi määramiseks istutatakse toodetud seemnetest 500 seemnet. Pärast seda arvutati, et idanes 417 seemet.

a) Kui suur on tõenäosus, et seeme idaneb?

b) Kas seemned vastavad valitsuse standarditele?

Lahendus a) Teame, et 500 külvatud seemnest tärkas 417. Seemnete idanemise tõenäosus P ja
P = 417/500 = 0,834 ehk 83,4%.

b) Kuna idandatud seemnete osakaal ületas nõudmisel 80%, vastavad seemned riiklikele standarditele.

Näide 3 TV reitingud. Statistika järgi on USA-s 105 500 000 telerimajapidamist. Igal nädalal kogutakse ja töödeldakse infot saadete vaatamise kohta. Ühe nädala jooksul hääletati 7 815 000 leibkonda CBSi hittkomöödiasarjale Everybody Loves Raymond ja 8 302 000 leibkonda hääletati NBC hitile Law & Order (Allikas: Nielsen Media Research). Kui suur on tõenäosus, et ühe kodu teler häälestatakse nädala jooksul saatele "Everybody Loves Raymondi"? "Seadus ja kord"?

Lahendus Tõenäosus, et ühes leibkonnas on teleri seadeks "Kõik armastavad Raymondit", on P ja
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Võimalus, et majapidamisteleviisor oli seatud "Seadus ja kord", on P ja
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Neid protsente nimetatakse reitinguteks.

teoreetiline tõenäosus

Oletame, et teeme katset, näiteks viskame münti või noolemängu, tõmbame kaardipakist kaarti või kontrollime konveieril toodete kvaliteeti. Sellise katse iga võimalikku tulemust nimetatakse Exodus . Kõigi võimalike tulemuste kogumit nimetatakse tulemuse ruum . Sündmus see on tulemuste kogum, st tulemuste ruumi alamhulk.

Näide 4 Nooleviske viskamine. Oletame, et "nooleviske" katses tabab nool sihtmärki. Otsige üles kõik järgmised.

b) Tulemusruum

Lahendus
a) Tulemused on: musta (H), punase (K) ja valge (B) löömine.

b) Seal on tulemuse tühik (tabab must, löö punane, löö valge), mille saab kirjutada lihtsalt kui (B, R, B).

Näide 5 Täringu viskamine. Tähis on kuubik, millel on kuus tahku, millest igaühel on üks kuni kuus punkti.


Oletame, et viskame täringut. Otsi
a) Tulemused
b) Tulemusruum

Lahendus
a) Tulemused: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Tulemuste ruum (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Tähistame sündmuse E toimumise tõenäosust kui P(E). Näiteks "münt maandub sabadele" võib tähistada H-ga. Siis P(H) on tõenäosus, et münt sabadele maandub. Kui kõik katse tulemused on ühesuguse tõenäosusega, siis öeldakse, et need on võrdselt tõenäolised. Et näha erinevust võrdselt tõenäoliste sündmuste ja ebatõenäoliste sündmuste vahel, kaaluge allpool näidatud sihtmärki.

Sihtmärgi A puhul on must, punane ja valge tabamussündmused võrdselt tõenäolised, kuna must, punane ja valge sektorid on samad. Kuid sihtmärgi B puhul ei ole nende värvidega tsoonid samad, st nende tabamine pole võrdselt tõenäoline.

Põhimõte P (teoreetiline)

Kui sündmus E võib juhtuda m viisil väljaspool n võimalikku samatõenäolist tulemust tulemusruumist S, siis teoreetiline tõenäosus sündmus, P(E) on
P(E) = m/n.

Näide 6 Kui suur on tõenäosus, et täringu viskamisel visatakse 3?

Lahendus Täringul on 6 võrdselt tõenäolist tulemust ja arvu 3 visamiseks on ainult üks võimalus. Siis on tõenäosus P P(3) = 1/6.

Näide 7 Kui suur on tõenäosus, et täringule visatakse paarisarv?

Lahendus Sündmus on paarisarvu viskamine. See võib juhtuda kolmel viisil (kui viskate 2, 4 või 6). Võrdtõenäoliste tulemuste arv on 6. Siis on tõenäosus P(paaris) = 3/6 ehk 1/2.

Kasutame mitmeid näiteid, mis on seotud standardse 52-kaardilise kaardipakiga. Selline pakk koosneb alloleval joonisel näidatud kaartidest.

Näide 8 Kui suur on tõenäosus tõmmata hästi segatud kaardipakist äss?

Lahendus Tulemusi on 52 (kaartide arv pakis), need on võrdselt tõenäolised (kui pakk on hästi segatud) ja ässa tõmbamiseks on 4 võimalust, seega P põhimõtte kohaselt on tõenäosus
P (ässa tõmbamine) = 4/52 või 1/13.

Näide 9 Oletame, et valime vaatamata ühe marmori 3 punase ja 4 rohelise marmori kotist. Kui suur on tõenäosus valida punane pall?

Lahendus Mis tahes palli saamiseks on 7 võrdselt tõenäolist tulemust ja kuna punase palli tõmbamise võimaluste arv on 3, saame
P (punase palli valimine) = 3/7.

Järgmised väited tulenevad P-põhimõttest.

Tõenäosuse omadused

a) Kui sündmust E ei saa juhtuda, siis P(E) = 0.
b) Kui sündmus E kindlasti juhtub, siis P(E) = 1.
c) Sündmuse E toimumise tõenäosus on arv vahemikus 0 kuni 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Näiteks mündi viskamisel on mündi servale sattumise tõenäosus null. Tõenäosus, et münt on kas pead või saba, on tõenäosus 1.

Näide 10 Oletame, et 52 kaardiga pakist tõmmatakse 2 kaarti. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad on labidad?

Lahendus Hästi segatud 52-kaardilisest pakist 2 kaardi tõmbamise võimaluste arv n on 52 C 2 . Kuna 52 kaardist 13 on labidad, on 2 labida tõmbamise võimaluste arv m 13 C 2 . Siis
P (venitades 2 piiki) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Näide 11 Oletame, et 6 mehe ja 4 naise hulgast valitakse juhuslikult 3 inimest. Kui suur on tõenäosus, et valituks osutub 1 mees ja 2 naist?

Lahendus Võimaluste arv valida 10-liikmelisest rühmast kolm inimest 10 C 3 . Ühte meest saab valida 6 C 1 viisil ja 2 naist saab valida 4 C 2 viisil. Loendamise põhiprintsiibi kohaselt on 1. mehe ja 2 naise valimise võimaluste arv 6 C 1 . 4C2. Siis on tõenäosus, et valitakse 1 mees ja 2 naist
P = 6 C1. 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Näide 12 Täringu viskamine. Kui suur on tõenäosus visata kahe täringu peale kokku 8?

Lahendus Igal täringul on 6 võimalikku tulemust. Tulemused kahekordistuvad, see tähendab, et kahe täringu numbrid võivad langeda 6,6 või 36 võimalikul viisil. (Parem on, kui kuubikud on erinevad, ütleme, et üks on punane ja teine ​​sinine – see aitab tulemust visualiseerida.)

Numbripaarid, mis annavad kokku 8, on näidatud alloleval joonisel. Summa 8 saamiseks on 5 võimalust, seega on tõenäosus 5/36.

Tõenäosusteooria on matemaatika haru, mis uurib juhuslike nähtuste mustreid: juhuslikke sündmusi, juhuslikke muutujaid, nende omadusi ja tehteid nendega.

Pikka aega polnud tõenäosusteoorial selget definitsiooni. See sõnastati alles 1929. aastal. Tõenäosusteooria kui teaduse teket seostatakse keskaja ja hasartmängude matemaatilise analüüsi esimeste katsetega (vise, täring, rulett). 17. sajandi prantsuse matemaatikud Blaise Pascal ja Pierre de Fermat avastasid hasartmängude võitude ennustamist uurides esimesed tõenäosuslikud mustrid, mis täringute viskamisel tekivad.

Tõenäosusteooria tekkis teadusena usust, et massiivsete juhuslike sündmuste aluseks on teatud seaduspärasused. Tõenäosusteooria uurib neid mustreid.

Tõenäosusteooria tegeleb sündmuste uurimisega, mille toimumine pole täpselt teada. See võimaldab teil hinnata mõne sündmuse toimumise tõenäosust võrreldes teistega.

Näiteks: mündi peade või sabade viskamise tulemust on võimatu üheselt määrata, kuid korduva viskamise korral kukub välja ligikaudu sama arv päid ja sabasid, mis tähendab, et tõenäosus, et pead või sabad kukuvad ", on võrdne kuni 50%.

test sel juhul nimetatakse teatud tingimuste kogumi rakendamist, see tähendab antud juhul mündi viskamist. Väljakutset saab mängida piiramatu arv kordi. Sel juhul sisaldab tingimuste kompleks juhuslikke tegureid.

Testi tulemus on sündmus. Sündmus toimub:

1. Usaldusväärne (esineb alati testimise tulemusena).
2. Võimatu (ei juhtu kunagi).
3. Juhuslik (võib, kuid ei pruugi ilmneda testi tulemusena).

Näiteks mündi viskamisel võimatu sündmus - münt satub servale, juhuslik sündmus - "peade" või "sabade" kaotus. Konkreetset testi tulemust nimetatakse elementaarne sündmus. Testi tulemusena toimuvad ainult elementaarsed sündmused. Nimetatakse kõigi võimalike, erinevate, spetsiifiliste testitulemuste kogum elementaarne sündmusruum.

Teooria põhimõisted

Tõenäosus- sündmuse toimumise tõenäosuse määr. Kui mõne võimaliku sündmuse tegeliku toimumise põhjused kaaluvad üles vastupidised põhjused, nimetatakse seda sündmust tõenäoliseks, muidu - ebatõenäoliseks või ebatõenäoliseks.

Juhuslik väärtus- see on väärtus, mis testi tulemusena võib võtta ühe või teise väärtuse ja pole ette teada, milline. Näiteks: tuletõrjedepoode arv päevas, tabamuste arv 10 lasuga jne.

Juhuslikud muutujad võib jagada kahte kategooriasse.

1. Diskreetne juhuslik suurus nimetatakse sellist suurust, mis testi tulemusel võib teatud tõenäosusega võtta teatud väärtused, moodustades loendatava hulga (hulga, mille elemente saab nummerdada). See komplekt võib olla kas lõplik või lõpmatu. Näiteks laskude arv enne esimest tabamust sihtmärgile on diskreetne juhuslik suurus, kuna see väärtus võib omandada lõpmatu, kuigi loendatava arvu väärtusi.
2. Pidev juhuslik muutuja on suurus, mis võib võtta mis tahes väärtuse mõnest lõplikust või lõpmatust intervallist. Ilmselgelt on pideva juhusliku suuruse võimalike väärtuste arv lõpmatu.

Tõenäosusruum- kontseptsiooni tutvustas A.N. Kolmogorov 1930. aastatel, et formaliseerida tõenäosuse mõiste, mis tõi kaasa tõenäosusteooria kui range matemaatilise distsipliini kiire arengu.

Tõenäosusruum on kolmik (mõnikord raamitud nurksulgudesse: , kus

See on suvaline hulk, mille elemente nimetatakse elementaarseteks sündmusteks, tulemusteks või punktideks;
- alamhulkade sigma-algebra, mida nimetatakse (juhuslikeks) sündmusteks;
– tõenäosusmõõt ehk tõenäosus, s.t. sigma-additiivne lõplik mõõt nii, et .

De Moivre-Laplace'i teoreem- üks tõenäosusteooria piiravatest teoreemidest, mille kehtestas Laplace 1812. aastal. Ta väidab, et sama juhusliku katse kordamisel kahe võimaliku tulemusega õnnestumiste arv jaguneb ligikaudu normaalselt. See võimaldab teil leida tõenäosuse ligikaudse väärtuse.

Kui iga sõltumatu katse puhul on mõne juhusliku sündmuse toimumise tõenäosus võrdne () ja on katsete arv, milles see tegelikult aset leiab, siis on ebavõrdsuse kehtivuse tõenäosus (suure korral) lähedane Laplace'i integraali väärtus.

Jaotusfunktsioon tõenäosusteoorias- juhusliku suuruse või juhusliku vektori jaotust iseloomustav funktsioon; tõenäosus, et juhuslik suurus X saab väärtuse, mis on väiksem või võrdne x-ga, kus x on suvaline reaalarv. Teatud tingimustel määrab see täielikult juhusliku suuruse.

Oodatud väärtus- juhusliku suuruse keskmine väärtus (see on tõenäosusteoorias vaadeldav juhusliku suuruse tõenäosusjaotus). Inglise kirjanduses tähistatakse seda vene keeles -. Statistikas kasutatakse sageli tähistust.

Olgu antud tõenäosusruum ja sellel defineeritud juhuslik suurus. See on definitsiooni järgi mõõdetav funktsioon. Siis, kui ruumi üle on Lebesgue'i integraal, nimetatakse seda matemaatiliseks ootuseks või keskmiseks väärtuseks ja seda tähistatakse .

Juhusliku suuruse dispersioon- antud juhusliku suuruse leviku mõõt, st selle kõrvalekalle matemaatilisest ootusest. Määratud vene kirjanduses ja välismaal. Statistikas kasutatakse sageli nimetust või. Dispersiooni ruutjuurt nimetatakse standardhälbeks, standardhälbeks või standardlevikuks.

Laskma olla mõnes tõenäosusruumis defineeritud juhuslik muutuja. Siis

kus sümbol tähistab matemaatilist ootust.

Tõenäosusteoorias nimetatakse kahte juhuslikku sündmust sõltumatu kui neist ühe esinemine ei muuda teise esinemise tõenäosust. Samamoodi nimetatakse kahte juhuslikku muutujat sõltuv kui ühe väärtus mõjutab teise väärtuste tõenäosust.

Lihtsaim suurte arvude seaduse vorm on Bernoulli teoreem, mis ütleb, et kui sündmuse toimumise tõenäosus on kõigis katsetes sama, siis katsete arvu kasvades kaldub sündmuse sagedus sündmuse tõenäosusele ja lakkab olemast juhuslik.

Tõenäosusteooria suurte arvude seadus ütleb, et fikseeritud jaotuse lõpliku valimi aritmeetiline keskmine on lähedane selle jaotuse teoreetilise keskmise ootusele. Sõltuvalt konvergentsi tüübist eristatakse nõrka suurte arvude seadust, kui toimub tõenäosuse konvergents, ja tugevat suurte arvude seadust, kui lähenemine toimub peaaegu kindlasti.

Suurte arvude seaduse üldine tähendus seisneb selles, et suure hulga identsete ja sõltumatute juhuslike tegurite koosmõju viib tulemuseni, mis piirides ei sõltu juhusest.

Sellel omadusel põhinevad lõpliku valimi analüüsil põhinevad tõenäosuse hindamise meetodid. Hea näide on valimistulemuste ennustamine valimi valimi uuringu põhjal.

Keskpiiri teoreemid- tõenäosusteooria teoreemide klass, mis väidab, et piisavalt suure hulga nõrgalt sõltuvate juhuslike suuruste summal, millel on ligikaudu sama skaala (ükski mõistetest ei domineeri, ei anna summale otsustavat panust) on jaotus lähedane normaalne.

Kuna paljud juhuslikud suurused rakendustes tekivad mitme nõrgalt sõltuva juhusliku teguri mõjul, peetakse nende jaotust normaalseks. Sel juhul tuleb jälgida tingimust, et ükski tegur ei ole domineeriv. Tsentraalsed piirteoreemid õigustavad nendel juhtudel normaaljaotuse kasutamist.