Впервые измерена сила отталкивания в эффекте Казимира–Лифшица. Притяжение и отталкивание – диалектический закон отношений Создание силы отталкивания элементарной частицей

Если обе частицы обладают Полями Отталкивания и их величина одинакова, то обе они будут одновременно и отталкивающими, и отталкиваемыми. И обе будут отдаляться друг от друга с одинаковой скоростью.

МЕХАНИЗМ АНТИГРАВИТАЦИИ (ОТТАЛКИВАНИЯ)

Частица с Полем Притяжения – причина возникновения в окружающих ее частицах Силы Притяжения. А как же быть с частицами, формирующими в эфирном поле Поля Отталкивания? Они ведь не вызывают Силы Притяжения. Нет, любая частица с Полем Отталкивания – причина возникновения в окружающих ее частицах Силы Отталкивания.

Сила Отталкивания , возникающая в какой-либо частице – это эфирный поток, заставляющий Эфир частицы отдаляться от возникающего в эфирном поле избытка Эфира. Избыток Эфира всегда формируется частицей с Полем Отталкивания.

В разделе физики, посвященном электромагнетизму, Силы Отталкивания существуют наравне с Силами Притяжения. Однако в электромагнетизме отталкиваются и притягиваются не тела, а заряженные частицы, т.е. не существует связи с гравитацией. А ведь если бы антигравитация (отталкивание) была бы признана учеными, и не просто признана, а в качестве антипода гравитации, все стало бы на свои места. Электромагнетизм предстал бы в сознании ученых не чем иным, как гравитационно-антигравитационным взаимодействием . А положительный и отрицательный заряды превратились бы в массу и антимассу. И все. Так был бы сделан первый шаг в направлении «Великого Объединения» четырех взаимодействий .

В реальных условиях источник Поля Отталкивания (частица, химический элемент или скопление химических элементов) может заслоняться свободными частицами или химическими элементами (телами, средами). Поля Притяжения и Поля Отталкивания экранирующих объектов изменяют величину Силы Отталкивания в исследуемом объекте.

Заслоняющие частицы с Полями Отталкивания сами являются причинами Сил Отталкивания. И эти Силы Отталкивания следует суммировать с Силой Отталкивания того объекта, влияние которого мы исследуем.

Экранирующие частицы с Полями Притяжения являются причинами Сил Притяжения. И эти Силы Притяжения следует вычесть из Силы Отталкивания, которую мы исследуем.

Теперь несколько слов об особенностях отталкивания частиц с разной величиной Полей Отталкивания.

Если обе взаимодействующие частицы имеют Поля Отталкивания, причем разной величины, тогда отталкивающей будет частица с большим Полем, а отталкиваемой – частица с меньшим Полем. Т.е. частица с меньшим Полем Отталкивания будет отдаляться от частицы с большим Полем, а не наоборот. Пусть это будет называться Правилом Подчинения Доминантной Силе Отталкивания.

В том случае, если только одна из частиц имеет Поле Отталкивания, а вторая характеризуется Полем Притяжения, тогда отталкивающей будет только частица Ян . Инь всегда будет только отталкиваемой.

Как вы видите, все по аналогии с Силой Притяжения, только наоборот.

Механизм антигравитации (отталкивания) полностью противоположен механизму гравитации (притяжения).

Одна из двух частиц, участвующих в антигравитационном взаимодействии, обязательно должна иметь Поле Отталкивания. В противном случае уже нельзя вести речь об антигравитационном взаимодействии.

Мы сравнивали процесс притяжения со сматыванием «клубка». Если провести аналогию с механизмом гравитации, тогда процесс отталкивания – это разматывание «клубка». Частица с Полем Отталкивания – это «клубок». Испускание ею Эфира – это разматывание «нити» (Эфира). Частица с Полем Отталкивания, разматывая «нить» (испуская Эфир), увеличивает расстояние между собой и окружающими частицами, т.е. отталкивает, отдаляет их от себя. При этом Эфир в частицах с Полями Отталкивания не иссякает. Частицы не прекращают его испускать.

Из двух частиц, участвующих в процессе антигравитации, та, что обладает Полем Отталкивания, будет отталкивающей. А вторая частица, соответственно, будет отталкиваемой. Отталкиваемой может быть частица любого качества – как с Полем Отталкивания, так и с Полем Притяжения. В том случае, если обе частицы обладают Полями Отталкивания, каждая из них будет одновременно играть роль как отталкивающей, так и отталкиваемой.

Механизм отталкивания основан на втором принципе Закона действия Сил – «Природа не терпит избытка ». Эфир, заполняющий силовой центр частицы, а вместе с ним и сам силовой центр частицы отдаляются от избытка Эфира, возникающего в том месте эфирного поля, где располагается объект, обладающий Полем Отталкивания, т.е. тот, у которого количество творимого Эфира преобладает над количеством исчезающего.

Эфирный поток, заставляющий Эфир отталкиваемой частицы отдаляться от избытка Эфира, т.е. от объекта с Полем Отталкивания, называется «Силой Отталкивания ».

Естественно, что в отличие от процесса притяжения никакой связи между отталкивающимися частицами не образуется. Напротив, ни о какой связи между частицами здесь не может быть и речи. Допустим, две частицы были гравитационно связаны. Но в результате трансформации одна из них или сразу обе поменяли Поле Притяжения на Поле Отталкивания. Сразу же вступает в действие механизм антигравитации, и частицы отталкиваются друг от друга, т.е. связь разрывается.

Величина Силы Отталкивания зависит от тех же трех факторов, что и величина Силы Притяжения:

1)от величины Поля Отталкивания частицы (химического элемента или тела), служащей причиной Силы Отталкивания;

2)от расстояния между источником Поля Отталкивания и исследуемой частицей;

3)от качества отталкиваемой частицы.

Давайте рассмотрим влияние всех этих факторов.

1)Величина Поля Отталкивания объекта – причины Силы Отталкивания.

Величина Поля Отталкивания частицы – это скорость поглощения Эфира ее поверхностью. Соответственно, чем с большей скоростью поглощает частица Эфир, тем больше будет величина Силы Отталкивания, вызываемой этой частицей в исследуемой частице.

2)Расстояние между источником Поля Отталкивания и исследуемой частицей.

Объяснение зависимости величины Силы Отталкивания от расстояния аналогично описанию причины, по которой зависит от расстояния Сила Притяжения.

Элементарная частица – это сфера, и если отдаляться от нее, то объем пространства, окружающего частицу, будет концентрически возрастать. Соответственно, чем дальше от частицы, тем больше становится объем Эфира, окружающего частицу. Каждая частица с Полем Отталкивания испускает Эфир в окружающее эфирное поле с определенной скоростью. Скорость испускания частицей Эфира – это и есть изначально присущая этой частице величина Поля Отталкивания. Однако чем дальше от частицы, тем больший объем Эфира ее будет окружать. Соответственно, чем дальше от частицы, тем меньше будет скорость, с которой Эфир будет отдаляться от данной частицы (т.е. тем меньше будет скорость эфирного потока) – т.е. тем меньше будет величина Поля Отталкивания. Таким образом, мы говорим, во-первых, об изначально присущей частице величине Поля Отталкивания, а во-вторых, о величине Поля Отталкивания на определенном расстоянии от частицы.

) и его команда из школы инжиниринга и прикладных наук Йельского университета экспериментально выявили отталкивающее действие света. Тем самым они завершили построение картины биполярного взаимодействия близкорасположенных наноразмерных волноводов, по которым проходят пучки излучения с определёнными параметрами.

В прошлом году Тан и его коллеги скомбинировали наномеханику и нанофотонику, впервые построив устройство, в котором для контроля положения компонентов применялась боковая (перпендикулярная лучу) сила воздействия со стороны света.

Это взаимодействие электромагнитных волн и оптической системы не следует путать с давно известным фронтальным давлением света, падающего на поверхность того или иного тела.

Существование боковых сил (также называемых оптическими связывающими силами — optical binding force) теоретики предсказывали с 2005 года, причём предполагалось, что эти силы могут быть как отталкивающими, так и притягивающими. Последние как раз удалось обнаружить в прошлом году.

А вот теперь та же группа исследователей построила микроскопическое устройство, в котором добилась проявления как силы притяжения, так и силы отталкивания между соседними световыми пучками, пойманными внутри волноводов. Причём физики нашли способ регулировать эти силы по своему желанию.

a – так выглядит новое устройство, созданное Таном; b – сердцевина схемы при более крупном увеличении (на левом кадре она обведена красной рамкой) (фото Mo Li et al.).

«Это завершает картину, — заявил Тан. — Мы показали, что действительно существует двухполярная сила света с притягивающей и отталкивающей компонентами». Физики поясняют, что существование оптических связывающих сил увязано с уравнениями Максвелла , а по физической сути данные силы являются родственниками силы Казимира , которая появляется из-за квантовых флуктуаций в вакууме.

Для проявления этой новой силы учёные разделили луч инфракрасного лазера на два отдельных потока, проходящих по кремниевым нановолноводам, отличным по длине. После завершения такой петли эти волноводы подходили вплотную друг к другу (расстояние в ряде опытов менялось). В этот момент два бегущих рядом пучка оказывались со смещёнными друг относительно друга фазами.

В зависимости от величины этого сдвига, выяснили экспериментаторы, и меняется (по величине и знаку) боковая сила взаимодействия этих пучков, которую они передают на удерживающие их волноводы. И хотя сила была мала (порядка нескольких пиконьютонов), её удалось измерить и выявить закономерности: открытая сила зависела и от сдвига фаз, и от мощности излучения, и от расстояния между нановолноводами.

a – схема двух волноводов, подвешенных над полостью (чтобы они могли изгибаться под действием света); b – зависимость силы (пН/мкм.мВт) от расстояния между волноводами (нм) и сдвигом фаз; c – амплитуда и знак боковой силы в зависимости от разности фаз при расстоянии между световыми лучами в 400 нм; d – картина распределения притягивающих и отталкивающих сил в зависимости от разности фаз двух лучей и дистанции между волноводами. В последних двух случаях шкалы силы также размечены в пН/мкм.мВт. На всех графиках и рисунках красным отмечено действие сил притяжения, синим – отталкивания (иллюстрации Mo Li et al.).

«Силы взаимодействия света интригуют, поскольку работают противоположным образом по сравнению с заряженными телами, — говорит один из авторов эксперимента Вольфрам Пернайс (Wolfram Pernice). — Противоположные заряды притягивают друг друга, тогда как сдвинутые по фазе световые лучи отталкиваются».

Команда Тана полагает, что придуманная ими технология когда-нибудь пригодится в создании быстрых, компактных и экономичных телекоммуникационных устройств. В таких схемах компоненты могли бы взаимодействовать между собой при помощи пойманного в волноводы света, что помогло бы кардинально сократить число проводников.

Результаты работы её авторы изложили в статье в журнале Nature Photonics (её можно прочитать на сервере arXiv.org).

Жидкость Леннард-Джонса между двумя инертными стенками, а - Зависимость приведенной плотности от расстояния между стенками для трех значений приведенной температуры. б - Усиление притяжения вследствие понижения плотности. В подходе Гамакера при расчете притяжения ^ham плотность в зазоре принимается постоянной и равной объемной плотности

Осцилляторные силы обнаруживаются также в среде линейных алканов, но они не проявляются в среде разветвленных алканов. Подобные силы зарегистрированы между поверхностями слюды в водных растворах, но в этом случае обнаружен более короткий период осцилляции по сравнению с ОМЦТС, что объясняется разницей молекулярных размеров воды и ОМЦТС.

Гидратные силы отталкивания

Легко представить, что заряженная поверхность или поверхность, несущая противоположные заряды, при погружении в водный раствор будет связывать один или несколько слоев молекул воды, гидратирующих поверхность таким же образом, как растворенный ион формирует гидратную оболочку. Приведение таких поверхностей в контакт вызывает их дегидратацию. Можно предположить, что в результате возникают гидратные силы отталкивания.

Осцилляторные силы между поверхностями слюды в инертной силиконовой жидкости, диаметр молекул ОМЦТС составляет ~9 A

Силы, действующие между поверхностями слюды в среде линейного и разветвленного алканов

Было обнаружено очень сильное, короткодействующее взаимодействие между липидными бислоями. Расстояния, на которых проявляется это взаимодействие, лежат в диапазоне 10-30 А. Отталкивание экспоненциально уменьшается с увеличением расстояния между липидным монослоями. Для измерения соответствующей силы была использована методика, основанная на измерении осмотического давления. Аналогичным образом методом измерения поверхностных сил с помощью специального прибора были измерены силы отталкивания между поверхностями слюды. Гидратные силы отталкивания, по-видимому, действуют как между нейтральными, так и между заряженными поверхностями. Несмотря на то что поверхности слюды жесткие, а би-слойные структуры - гибкие, оба исследования дали удивительно хорошо согласующиеся результаты. Отталкивание между поверхностями слюды наблюдалось и в других жидких средах.

Проведенные эксперименты привели к интенсивным поискам теоретической интерпретации результатов. Одной из причин отталкивания предложено считать структурную поляризацию или поляризацию водородных связей на поверхности. В случае липидных бислоев механизм отталкивания может быть обусловлен возможностью волнообразных деформаций и взаимодействием отображения заряда. Недавно было высказано предположение, что липиды "выдавливаются" в растворитель; при сближении поверхностей возможность образования выступов уменьшается, что приводит к появлению отталкивания. Этот механизм близок к идее отталкивания из-за волнистости. Разница заключается главным образом в масштабе флуктуации. Исходная модель основана на "волнистости" с большой длиной волны, тогда как модель "выступов" справедлива на расстояниях, сопоставимых с молекулярными размерами.

Гидратные силы отталкивания между поверхностями слюды в растворе электролита. Следует отметить, что отталкивание возникает только при концентрации соли > 1мМ.

Моделирование методом Монте-Карло обнаружило короткодействующие силы отталкивания даже для идеально гладких поверхностей. Необходимо сказать, что как гидратные силы отталкивания, так и гидрофобное притяжение, которое описано ниже, можно достаточно просто моделировать, варьируя силу взаимодействия между растворителем и поверхностью. Сильное притяжение растворитель-поверхность автоматически приводит к появлению силы отталкивания поверхность-поверхность. Если поверхности инертны, т.е. нет сил притяжения между поверхностью и растворителем, то между поверхностями действует сольватационное притяжение. В обоих случаях взаимодействие ограничено расстояниями менее 100 А.

Гидратные силы отталкивания и гидрофобное притяжение для смачиваемой и несмачиваемой стенок соответственно. Теоретические данные получены из обобщенной теории Ван дер Ваальса

Гидрофобное притяжение

Накоплено множество результатов измерений силы, действующей между гидрофобными поверхностями. Обычно для исследований используют поверхности слюды, модифицированные монослоями углеводородных или фторированных групп, обращенных к воде. Эти исследования привели к неожиданному результату: было обнаружено, что между такими поверхностями сила притяжения действует на больших расстояниях. Притяжение распространяется на сотни ангстрем. При этом притяжение нельзя объяснить силами Ван дер Ваальса в рамках подхода Гамакера. Кроме того, на него практически не влияют добавки солей. Экспериментально наблюдаемое дальнодействие невозможно объяснить аналогично тому же типу гидрофобного взаимодействия, с которым мы встречались, например, при взаимодействии двух атомов неона в воде. Хотя принято считать, что "обычное" гидрофобное взаимодействие проявляется только на близких расстояниях, реально его величина может увеличиваться по механизму уменьшения плотности.

Считается, что гидрофобное притяжение ответственно за быструю коагуляцию гидрофобных частиц в воде и играет важную роль в фолдинге белков. Однако, как и в случае гидратных сил отталкивания, теоретические разработки гидрофобных взаимодействий практически отсутствуют. Одним из возможных механизмов, способных обеспечить притяжение, может быть образование полостей, т.е. маленьких пузырьков газа, на гидрофобизованной поверхности слюды. В зависимости от условий такая кавитация вызывает увеличение силы отталкивания или притяжения. Другая возможная причина притяжения между гидрофобизованными поверхностями заключается в том, что поверхности локально не нейтральны и корреляция между положительно и отрицательно заряженными участками вызывает притяжение.

Силы деплеции

Для кристаллизации белков обычно используют полиэтиленоксид. Считается, что ПЭО вызывает силу деплеции между макромолекулами белка. Другими словами, ПЭО не может проникать в пространство между молекулами белка из-за очень сильного ограничения конформационной свободы полимерных цепей ПЭО. Накапливаясь в растворе, ПЭО создает осмотическое давление, действующее на молекулы белка. Это очень интересный механизм, в том смысле, что вводимый полимер влияет на взаимодействие между коллоидными частицами, не находясь между ними! Диапазон сил притяжения деплеции по порядку величины совпадает с радиусом инерции полимерной молекулы. Для идеального полимера радиус инерции равен г1/2, где r - степень полимеризации.

Иногда на больших расстояниях до проявления сил притяжения деплеции появляются силы отталкивания. Это явление часто называют деплеционным отталкиванием. И притяжение, и отталкивание этой природы наблюдались экспериментально и описаны теоретически.

Возникновение химической связи между атомами связано с перестройкой их внешних (валентных) оболочек и с перераспределением электронной плотности в пространстве, окружающем атомные ядра (приложение 3). При этом для образования химической связи необходимо выполнение следующих условий:

1) атомы должны так сильно сблизиться друг с другом, чтобы их электронные облака начали перекрываться;

2) атомы должны находиться друг возле друга достаточно долго для того, чтобы их внешние электронные оболочки успели перестроиться; другими словами, время взаимодействия атомов должно быть больше характерного времени образования химической связи;

3) энергия относительного движения атомных ядер должна быть меньше характерной энергии связи (в противном случае образовавшаяся связь может «разорваться»);

4) атомы должны иметь незаполненные электронные оболочки, которые содержат неспаренные электроны.

В том случае, если хотя бы одно из этих условий не выполняется, химическая связь между атомами не возникает. Однако это не означает, что атомы при этом никак не взаимодействуют друг с другом. Силы электромагнитной природы, которые действуют между атомами и молекулами, но не связаны с глубокой перестройкой их электронных орбиталей, мы будем называть нехимическими силами , илифизическим взаимодействием атомов или молекул.

1 Силы отталкивания, действующие между атомами и молекулами на малых расстояниях

Даже силами химической природы, которые начинают действовать между атомами при образовании химической связи, невозможно объяснить тот факт, что атомные ядра внутри молекулы находятся на некотором равновесном расстоянии друг от друга. Силы химической связи имеют характер притяжения, поэтому для того, чтобы ядра находились в состоянии равновесия, между ними должны действовать еще и силы отталкивания, возникающие при достаточно сильном сближении атомов.

Природа этих сил становится ясна, если вспомнить, что атомные ядра, а также окутывающие их электронные облака имеют одноименные заряды. Такие заряды, как известно, должны отталкиваться друг от друга. А в случае сближения атомов с заполненными электронными оболочками на малых расстояниях между ними возникает дополнительное отталкивание, обусловленное принципом Паули.

В силу принципа запрета Паули два электрона с одинаково направленными спинами не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии. Однако, когда электронные облака двух атомов перекрываются, электроны одного атома имеют тенденцию занимать те состояния, которые уже заняты электронами другого атома. Поэтому заполненные электронные оболочки могут перекрываться только в том случае, если этот процесс сопровождается частичным переходом электронов в свободные квантовые состояния с более высокой энергией. Увеличение энергии сближаемых атомов как раз и говорит о том, что между ними действуют силы отталкивания.

Таким образом, возникновение сил отталкивания между атомами (а также между молекулами, которые из них состоят) обусловлено отталкиванием атомных ядер и отталкиванием электронов, которые находятся на внешних (в случае молекул) или внутренних (в случае атомов внутри молекулы) оболочках .

Рассмотрим в качестве примера отталкивание, которое возникает при сближении двух атомов водорода (в этом случае отталкивание, обусловленное действием принципа Паули, можно не учитывать).

Если атом водорода находится в основном состоянии, то точное решение уравнения Шредингера, определяющее волновую функцию атомного электрона, будет иметь вид (приложение 1):

При этом плотность распределения заряда внутри атома водорода (e >0)

Первое слагаемое в этом выражении представляет собой плотность заряда ядра. Считая ядро точечным, легко сделать вывод, что эта плотность равна нулю везде, кроме той точки, в которой расположено ядро. В самой этой точке плотность заряда ядра +e /V e ®¥, так как объем точечного ядраV e стремится к нулю. Таким образом, плотность заряда ядра действительно можно представить в виде +e d (r ), гдеd (r ) – так называемая дельта-функция Дирака:

Второе слагаемое в выражении (3.3) представляет собой плотность заряда электрона, «размазанного» вокруг атомного ядра с «плотностью» (3.2).

Плотность распределения заряда (3.3) внутри атома водорода позволяет рассчитать потенциал его электрического поля.

Для этого следует решить уравнение Пуассона

Точное решение этого уравнения, которое обращается в ноль при r ®¥и переходит в потенциал точечного ядра приr ®0, определяется выражением:

Поэтому взаимодействием между двумя атомами водорода, которые находятся на расстоянии R >> 2a 0 можно пренебречь (рис.3.1, а).

В области r <a 0 потенциал поля атома водорода представляет собой потенциал электрического поля атомного ядра, экранированного полем электрона:

Поэтому при сближении двух атомов водорода до расстояний a 0 < R < 2a 0 , при которых начинают перекрываться волновые функции их валентных электронов (рис.3.1, б), возникает ситуация, благоприятная для образования химической связи (атомные электроны начинают притягиваться к ядрам соседних атомов). Однако при дальнейшем сближении атомов (приR < a 0) в поле (3.8) ядра одного атома попадает ядро другого атома (рис.3.1, в). Поэтому между ядрами начинают действовать силы отталкивания. При этом энергия этого отталкивания

Энергию электростатического взаимодействия двух атомов водорода в диапазоне всех возможных значений межъядерного расстояния R можно рассчитать, зная распределение (3.6) потенциала электрического поля, создаваемого одним атомом, и распределение (3.3) плотности заряда в другом атоме:

Однако аналитически интегрирование (3.10) может быть выполнено только в случае атомов водорода (при этом следует помнить, что рассматриваемая теория не учитывает принципа Паули, т.е. наличия у электронов спина). При расчете энергии взаимодействия многоэлектронных атомов для этого приходится использовать численные методы интегрирования.

В случае многоэлектронных атомов ситуация еще более усугубляется тем, что для таких атомов, как известно, не существует точного решения уравнения Шредингера. Поэтому различного рода приближенные или численные методы приходится использовать уже для расчета атомных потенциалов.

Среди приближенных методов вычисления атомных потенциалов наибольшее распространение получили метод самосогласованного поля Хартри-Фока и статистический метод Томаса-Ферми (приложение 2).

В методе Хартри-Фока волновая функция многоэлектронного атома, которая позволяет, как мы видели, рассчитать потенциал его электрического поля, представляется как суперпозиция волновых функций отдельных электронов. При этом предполагается, что каждый электрон движется в некотором эффективном (самосогласованном) поле, создаваемом атомным ядром и остальными электронами. Уравнение Шредингера для такой системы решается численно, методом последовательных приближений.

Подобная задача вполне под силу современным вычислительным машинам. Тем не менее метод последовательных приближений требует больших затрат машинного времени и может привести к большим численным ошибкам, которые накапливаются в процессе вычислений. Поэтому на практике метод Хартри-Фока обычно используется для описания состояния атомов, содержащих небольшое число электронов. Для описания сложных атомов с большим зарядовым числом Z обычно применяется статистический метод Томаса-Ферми.

В модели Томаса-Ферми не учитывается оболочечная структура атомов. Атом представляется в виде неподвижного положительно заряженного атомного ядра, вокруг которого случайным образом, но в соответствии с принципом Паули располагаются атомные электроны. Плотность такого электронного облака неоднородна: она определяется распределением потенциала электрического поля в атоме. В свою очередь, это распределение поля определяется распределением электронов в окружающем ядро пространстве.

Использование статистических методов дает возможность выразить плотность распределения заряда внутри атома Томаса-Ферми через распределение потенциала электрического поля. А решение уравнения Пуассона (3.4) позволяет представить потенциал электрического поля многоэлектронного атома в виде:

(Отметим аналогию между выражением (3.11) и (3.8). В формуле (3.8) Z = 1,
, а
.)

Функция экранирования c (x ) в модели Томаса-Ферми рассчитывается численными методами. Однако она оказывается универсальной, не зависящей от сорта атомов функцией и допускает аналитическую аппроксимацию.

В качестве примера можно привести аппроксимацию, предложенную Мольер:

Функцию экранирования Томаса-Ферми, записанную в виде (3.13), часто называют функцией экранирования Мольер, функцию экранирования в форме (3.14) – функцией экранирования Линдхарда. Разлагая последнее выражение в области малых x в ряд, легко показать, что оно с хорошей точностью аппроксимирует выражение
, которое в модели Томаса-Ферми является точным приx ®0.

Вычисление энергии отталкивания атомов и в модели Хартри-Фока, и в модели Томаса-Ферми сводится к численному интегрированию выражения (3.10). Фирсов, однако, показал, что теория хорошо описывает экспериментальные данные, если в качестве выражения для потенциальной энергии отталкивания использовать функцию вида

которая аналогична функции (3.9) и имеет смысл энергии кулоновского отталкивания атомных ядер с зарядами +Z 1 e и +Z 2 e , экранированных атомными электронами.

Функция c (x ), которая входит в формулу (3.15), имеет тот же смысл (и вид), что и в выражении (3.11). Однако благодаря дополнительному экранированию ядра второго атома электронами его внутренних оболочек энергия отталкивания атомов (3.15) уменьшается с увеличением расстояния быстрее, чем электрическое поле (3.11), создаваемое первым атомом. Поэтому длина экранированияa F в выражении (3.15), оказывается меньше длины экранированияa TF (3.12):

Такое приближение в описании взаимодействия атомов на малых расстояниях называется моделью жестких шаров .