Неоклассическая модель экономического роста солоу и золотое правило накопления. «Золотое правило» накопления Модель солоу график

После работ А. Смита, Д. Рикардо, Т. Мальтуса сформировалась классическая модель экономического роста, которая под давлением критики сменилась неоклассической моделью, чья последующая критика приводит в 1986-1988 годах к формированию эндогенных моделей (П. Ромер, Р. Лукас, С. Ребело и др.) долгосрочный экономический рост формируется уже внутри модели, модели стали эндогенными.

Неоклассические модели роста преодолевали ряд ограничений кейнсианских моделей (Е. Домара, Р. Харрода и др.), позволив более точно описать особенности макроэкономических процессов.

Модель Солоу (Солоу – Свана) – неоклассическая модель, основанная на производственной функции с замещением факторов производства с учетом экзогенного нейтрального технического прогресса, труда и капитала как факторов экономического роста.

Р. Солоу показал, что нестабильность динамического равновесия в кейнсианских моделях была следствием невзаимозаменяемости факторов производства. Вместо функции Леонтьева с жестко фиксированными пропорциями использования факторов производства Y = min{aX 1 , bX 2 } он использовал в своей модели производственную функцию Кобба-Дугласа Y = F(K, L), в которой труд L и капитал K являются субститутами (заменителями). Другими предпосылками анализа в модели Солоу являются: убывающая предельная производительность капитала, постоянная отдача от масштаба, постоянная норма выбытия, отсутствие инвестиционных лагов.

Взаимозаменяемость факторов (изменение капиталовооруженности) объясняется не только технологическими условиями, но и неоклассической предпосылкой о совершенной конкуренции на рынках факторов.

Необходимым условием равновесия экономической системы является равенство совокупного спроса и предложения. Предложение описывается производственной функцией с постоянной отдачей от масштаба , и для любого положительного z верно: zF(K, L) = F(zK, zL). Тогда если z = 1/L, то Y/L = F(K/L). Получаем производственную функцию удельного выпуска на одного работника.

Обозначим Y/L через у, а К/L через k и перепишем исходную функцию в форме взаимосвязи между производительностью и фондовооруженностью (капиталовооруженностью) работника: у = f(k) (рис. 2.16).

Тангенс угла наклона данной производственной функции соответствует предельному продукту капитала (МРК), который убывает по мере роста фондовооруженности (k).

Совокупный спрос в модели Солоу определяется инвестициями и потреблением:

y = i + c, (2.36)

где i и с – инвестиции и потребление в расчете на одного занятого.

Доход делится между потреблением и сбережениями в соответствии с нормой сбережения, так что потребление можно представить как

c = (l – s)∙y, (2.37)

где s – норма сбережения (накопления).

Тогда у = с + i = (1 – s)∙y + i, откуда i = s∙y. В условиях равновесия инвестиции равны сбережениям и пропорциональны доходу.

Условия равенства спроса и предложения могут быть представлены как

f(k) = c + i или f(k) = (1 – s)∙y + i. (2.38)

Производственная функция определяет предложение на рынке товаров, а накопление капитала – спрос на произведенный продукт.

Динамика объема выпуска зависит от объема капитала (в нашем случае – капитала в расчете на одного занятого, или капиталовооруженности). Объем капитала меняется под воздействием инвестиций и выбытия: инвестиции увеличивают запас капитала, выбытие – уменьшает.

Инвестиции зависят от фондовооруженности и нормы накопления, что следует из условия равенства спроса и предложения в экономике: i = s∙f(k). Норма накопления определяет деление продукта на инвестиции и потребление при любом значении k (см. рис. 2.16): y = f(k) => i = s∙f(k), c = (1 – s)∙f(k).

Амортизационные отчисления учитываются следующим образом: если принять, что ежегодно вследствие износа капитала выбывает его фиксированная часть d (норма выбытия), то величина выбытия будет пропорциональна объему капитала и равна d∙k. На графике эта связь отражается прямой, выходящей из точки начала координат, с угловым коэффициентом d (рис. 2.17).

Влияние инвестиций и выбытия на динамику запасов капитала можно представить уравнением

∆k = i – d∙k, (2.39)

или, используя равенство инвестиций и сбережений, ∆k = s∙f(k) – d∙k.

Запас капитала (k) будет увеличиваться (∆k > 0) до уровня, при котором инвестиции будут равны величине выбытия, т.е. s∙f(k) = d∙k. После этого запас капитала на одного занятого (фондовооруженность) не будет меняться во времени, поскольку две действующие на него силы уравновесят друг друга (∆k = 0).

Уровень запаса капитала, при котором инвестиции равны выбытию, называется равновесным (устойчивым) уровнем фондовооруженности труда и обозначается k * . При достижении k * экономика находится в состоянии долгосрочного равновесия.

Равновесие является устойчивым, поскольку независимо от исходного значения k экономика будет стремиться к равновесному состоянию k * . Если начальное k 1 ниже k * , то валовые инвестиции будут больше выбытия (s∙f(k) > d∙k) и запас капитала будет возрастать на величину чистых инвестиций. Если k 2 > k * , это означает, что инвестиции меньше, чем износ, а значит запас капитала будет сокращаться, приближаясь к уровню k * (см. рис. 2.17).

Норма накопления (сбережения) непосредственно влияет на устойчивый уровень фондовооруженности. Рост нормы сбережения с s 1 до s 2 сдвигает кривую инвестиций вверх из положения s 1 ∙f(k) до s 2 ∙(k) (рис. 2.18).

В исходном состоянии экономика имела устойчивый запас капитала k 1 * , при котором инвестиции равнялись выбытию. После повышения нормы сбережения инвестиции выросли на (i’ 1 – i 1), а запас капитала (k 1 *) и выбытие (d∙k) остались прежними. В этих условиях инвестиции начинают превышать выбытие, что вызывает рост запаса капитала до уровня нового равновесия k 2 * , которое характеризуется более высокими значениями фондовооруженности и производительности труда (выпуск на одного занятого y).

Таким образом, чем выше норма сбережения (накопления), тем более высокий уровень выпуска и запаса капитала может быть достигнут в состоянии устойчивого равновесия. Однако повышение нормы накопления ведет к ускорению экономического роста в краткосрочном периоде, до тех пор, пока экономика не достигнет точки нового устойчивого равновесия.

Очевидно, что ни сам процесс накопления, ни увеличение нормы сбережения не могут объяснить механизм непрерывного экономического роста. Они показывают лишь переход от одного состояния равновесия к другому.

Для дальнейшего развития модели Солоу поочередно снимаются две предпосылки моделирования, отраженного на рис. 2.16-2.18, – неизменность численности населения и его занятой части (их динамика предполагается одинаковой) и отсутствие технического прогресса. Вначале модель описывает, как система приходит в равновесие при отсутствии учета технического прогресса (т.е. при нейтральности технического прогресса) и постоянной отдаче от масштаба, затем в нее вводятся технологические сдвиги посредством изменения нормы накопления капитала и убывающей отдачи от масштаба.

Пусть население растет с постоянным темпом n. Это фактор, влияющий вместе с инвестициями и выбытием на фондовооруженность. Теперь уравнение, показывающее изменение запаса капитала на одного работника (2.39), будет выглядеть как:

∆k = i – d∙k – n∙k = i – (d + n)∙k. (2.40)

Рост населения, как и выбытие, снижает фондовооруженность, хотя и по-другому – не через уменьшение наличного запаса капитала, а путем распределения его между возросшим числом занятых. В данных условиях необходим такой объем инвестиций, который не только бы покрыл выбытие капитала, но и позволил бы обеспечить капиталом новых рабочих в прежнем объеме. Произведение n∙k показывает, сколько требуется дополнительного капитала в расчете на одного занятого, чтобы капиталовооруженность новых рабочих была на том же уровне, что и прежних.

Условие устойчивого равновесия в экономике при неизменной фондовооруженности k * можно будет записать теперь так:

∆k = s∙f(k) – (d + n) k = 0 или s∙f(k) = (d + n)∙k. (2.41)

Данное состояние характеризуется полной занятостью ресурсов труда и капитала (рис. 2.19).

В устойчивом состоянии экономики капитал и выпуск на одного занятого, т.е. фондовооруженность (k) и производительность труда (у) остаются неизменными. Но чтобы фондовооруженность оставалась постоянной и при росте населения, капитал должен возрастать с тем же темпом, что и население, т.е.:

Таким образом, рост населения становится одной из причин непрерывного экономического роста в условиях равновесия.

Отметим, что с увеличением темпа роста населения возрастает угловой коэффициент кривой (d + n)∙k, что приводит к уменьшению равновесного уровня фондовооруженности (k *), а следовательно, к падению у.

Учет в модели Солоу технологического прогресса видоизменяет исходную производственную функцию, так как предполагается трудосберегающая форма технологического прогресса. Производственная функция будет иметь вид Y = F(К, L∙E), где Е – эффективность труда, a (L∙E) – численность условных единиц труда с постоянной эффективностью Е. Чем выше Е, тем больше продукции может быть произведено данным числом работников. Предполагается, что технологический прогресс осуществляется путем роста эффективности труда Е с постоянным темпом g. Рост эффективности труда в данном случае аналогичен по результатам росту численности занятых: если технологический прогресс имеет темп g = 2 %, то, например, 100 рабочих могут произвести столько же продукции, сколько ранее производили 102 рабочих. Если теперь численность занятых (L) растет с темпом n, а эффективность труда растет с темпом g, то (L∙E) будет увеличиваться с темпом (n + g).

Включение технологического прогресса несколько меняет и анализ состояния устойчивого равновесия, хотя ход рассуждений сохраняется. Если определить k как количество капитала в расчете на единицу труда с постоянной эффективностью, то результаты роста эффективных единиц труда, аналогичны росту численности занятых (увеличение количества единиц труда с постоянной эффективностью снижает величину капитала, приходящегося на одну такую единицу). В состоянии устойчивого равновесия (см. рис. 2.19) уровень фондовооруженности k* уравновешивает, с одной стороны, влияние инвестиций, повышающих фондовооруженность, а с другой стороны, воздействие выбытия, роста числа занятых и технологического прогресса, снижающих уровень капитала в расчете на эффективную единицу труда:

s∙∆k = (d + n + g)∙k. (2.43)

В устойчивом состоянии (k*) при наличии технологического прогресса общий объем капитала (К) и выпуска (Y) будут расти с темпом (n + g). Но в отличие от случая роста населения, теперь будут расти с темпом g фондовооруженность K/L и выпуск Y/L в расчете на одного занятого; последнее может служить основой для повышения благосостояния населения. Технологический прогресс в модели Солоу является, следовательно, единственным условием непрерывного роста уровня жизни, поскольку лишь при его наличии наблюдается устойчивый рост выпуска на душу населения (у).

Таким образом, в модели Солоу найдено объяснение механизма непрерывного экономического роста в режиме равновесия при полной занятости ресурсов.

Как известно, в кейнсианских моделях (Р. Харрод, Е. Домар) норма сбережения задавалось экзогенно и определяла величину равновесного темпа роста дохода. В неоклассической модели Солоу при любой норме сбережения рыночная экономика стремится к соответствующему устойчивому уровню фондовооруженности (k *) и сбалансированному росту, когда доход и капитал растут с темпом (n + g). Величина нормы сбережения (накопления) является объектом экономической политики и важна при оценке различных программ экономического роста.

Поскольку равновесный экономический рост совместим с различными нормами сбережения (увеличение s лишь на короткое время ускоряло рост экономики, в длительном же периоде экономика возвращалась к устойчивому равновесию и постоянному темпу роста в зависимости от значения n и g), возникает проблема выбора оптимальной нормы сбережения.

Оптимальная норма накопления, соответствующая «золотому правилу» Э. Фелпса , обеспечивает равновесный экономический рост с максимальным уровнем потребления. Устойчивый уровень фондовооруженности, соответствующий этой норме накопления, обозначим k ** , а потребления – с ** .

Уровень потребления в расчете на одного занятого при любом устойчивом значении фондовооруженности определяется путем ряда преобразований исходного тождества: у = с + i. Выражаем потребление с через у и i и подставляем значения данных параметров, которые они принимают в устойчивом состоянии:

c = y – i, с * = f(k *) – d∙k * , (2.44)

где с * – потребление в состоянии устойчивого роста.

По определению устойчивого уровня фондовооруженности i = s∙f(k) = d∙k. Теперь из различных устойчивых уровней фондовооруженности (k *), соответствующих разным значениям s, необходимо выбрать такой, при котором потребление достигает максимума (рис. 2.20).

Если выбрано k * < k ** , то объем выпуска увеличивается в большей степени, чем величина выбытия (линия f(k *) на графике круче, чем d∙k *), а значит, разница между ними, равная потреблению, растет. При k * > k ** увеличение объема выпуска меньше роста выбытия, т.е. потребление падает. Рост потребления возможен лишь до точки k ** , где оно достигает максимума (производственная функция и кривая d∙k * имеют здесь одинаковый наклон). В этой точке увеличение запаса капитала на единицу даст прирост выпуска, равный предельному продукту капитала (МРК), и увеличит выбытие на величину d (износ на единицу капитала). Роста потребления не будет, если весь прирост выпуска будет использован на увеличение инвестиций для покрытия выбытия капитала. Таким образом, при уровне фондовооруженности, соответствующем «золотому правилу» (k **), должно выполняться условие : МРК = d (предельный продукт капитала равен норме выбытия), а с учетом роста населения и технологического прогресса: МРК = d + n + g.

Если экономика в исходном состоянии имеет запас капитала, больший, чем следует по «золотому правилу», необходима программа по снижению нормы накопления. Эта программа обусловливает увеличение потребления и снижение инвестиций. При этом экономика выходит из состояния равновесия и вновь достигает его при пропорциях, соответствующих «золотому правилу».

Если экономика в исходном состоянии имеет запас капитала меньше, чем k ** , необходима программа, направленная на повышение нормы сбережения. Эта программа первоначально приводит к росту инвестиций и падению потребления, но по мере накопления капитала с определенного момента потребление вновь начинает расти. В результате экономика достигает нового равновесия, но уже в соответствии с «золотым правилом», где потребление превышает исходный уровень.

Данная программа обычно считается непопулярной в связи с наличием «переходного периода», характеризующегося падением потребления, поэтому ее принятие зависит от межвременных предпочтений политиков, их ориентации на краткосрочный или долгосрочный результат.

Рассмотренная модель Солоу позволяет описать механизм долгосрочного экономического роста, сохраняющий равновесие и полную занятость факторов производства. Она выделяет технический прогресс как единственную основу устойчивого роста благосостояния и позволяет найти оптимальный вариант роста, обеспечивающий максимум потребления.

Представленная модель не свободна и от недостатков. Модель анализирует состояния устойчивого равновесия, достигаемые в долгосрочной перспективе, тогда как для экономической политики важна и краткосрочная динамика производства и уровня жизни. Многие экзогенные переменные модели Солоу (s, δ, n, g) было бы предпочтительнее определять внутри модели, поскольку они тесно связаны с другими ее параметрами и могут видоизменять конечный результат. Так, в модели существует возможность динамической неэффективности, т. е. возможность избыточного накопления капитала по сравнению с уровнем «золотого правила»; этот результат является следствием экзогенного задания нормы сбережения. Также модель не включает также целый ряд ограничителей роста, существенных в современных условиях, – ресурсных, экологических, социальных. Используемая в модели функция Кобба-Дугласа, описывая лишь определенный тип взаимодействия факторов производства, не всегда отражает реальную ситуацию в экономике. Эти и другие недостатки пытаются преодолеть современные теории экономического роста.

Современные теории эндогенного роста пытаются определить устойчивый темп роста в самой модели (т.е. эндогенно), связывая его со всеми возможными количественными и качественными факторами: ресурсными, институциональными.

Модель экономического роста Р. Солоу – неоклассическая модель экономического роста, выявляющая механизм влияния сбережений, роста трудовых ресурсов и научно-технического прогресса на уровень жизни населения и его динамику.

Модель Р. Солоу была разработана в 1956 г. и предназначена для исследования равновесных траекторий экономического роста; она показывает взаимосвязь сбережений, накопления капитала.

Это простая непрерывная односекторная модель экономической динамики, где представлены только домохозяйства и фирмы.

Р. Солоу показал, что неустойчивость динамического равновесия в моделях Е. Домара и Р. Харрода является следствием невзаимозаменяемости факторов производства.

Предпосылки модели Р. Солоу:

• необходимым условием равновесия экономической системы является равенство AD и AS;
• AS определяется на основе производственной функции Кобба-Дугласа, выражающей отношение функциональной зависимости между объемом производства, с одной стороны, и используемыми факторами и их взаимной комбинацией – с другой;

· совершенная конкуренция на рынке факторов производства и полная занятость;

· гибкость цен на рынке благ;

· постоянная отдача от масштаба;

· убывающая производительность капитала;

· постоянная норма выбытия капитала.

Модель Р. Солоу состоит из следующих уравнений, характеризующих экономическую динамику.

1. Объем предложения на рынке благ описывается производственной функцией с постоянной отдачей от масштаба:

Y s = f(L, К).

В развернутом виде данная функция примет вид:

Y = (ΔY/ ΔL)L + (ΔY/ ΔK)K ,

где ΔY/ ΔL -предельный продукт труда MPL;

ΔY/ ΔK - предельный продукт капитала МРК

Это означает, что общий продукт (выпуск) равняется сумме произведений затраченного количества труда L и капитала К на их предельные продукты, т. е. на приросты продуктов ΔY от увеличения затрат труда ΔL и затрат капитала ΔК.

Для упрощения функции обозначим:

где у – выпуск продукции в расчете на одного работника, или производительность труда;

где k – капиталовооруженность (фондовооруженность) труда.

Тогда производственную функцию можно записать:

Таким образом, объем производства в расчете на одного работника является функцией его капиталовооруженности (рис. 3.3).

График показывает, что капиталовооруженность k определяет размер выпуска продукции в расчете на одного работника: у = f(k). Тангенс угла наклона касательной h равен предельной производительности капитала: если k увеличивается на одну единицу, то y возрастает на МРК единиц. При этом мы видим, что по мере роста капиталовооруженности труда его производительность увеличивается, но с убывающей скоростью, поскольку предельная производительность капитала снижается.

2. Объем спроса на товары и услуги, предъявляемый со стороны потребителей и инвесторов,

т. е. частным сектором без государственного заказа и чистого экспорта:

В пересчете на одного работника: i t = I t /L t – инвестиции на одного работника;

с t = C t /L t – потребление на одного работника.

3. Условием равновесия выступает равенство I и S.

Поскольку объем инвестиций есть доля сбережений в доходе:

в условиях равновесия инвестиции равны сбережениям и пропорциональны доходу.

Запасы капитала в экономике зависят от объема инвестиций (i t) и выбытия (амортизация) капитала (dk t ),следовательно:

Запас капитала, при котором инвестиции (i t) равны амортизации капитала (dk t), a Δk t = 0, называется устойчивым уровнем капиталовооруженности (k*).

В устойчивом (стационарном) состоянии устанавливается постоянное соотношение K t /L t и выпуска на одного работника Y t /L t .При уровне капиталовооруженности, соответствующем k*, экономика находится в состоянии долгосрочного устойчивого (стационарного) равновесия, к которому будет всегда возвращаться.

Функционирование модели Солоу может быть проиллюстрировано графически (рис. 3.4.).

Если запасы капитала равны k 1 , то инвестиции больше амортизации, капиталовооруженность увеличивается и будет расти, пока не приблизится к уровню k*.

Если запасы капитала соответствуют k 2 , то инвестиции меньше амортизации, а значит, запасы капитала будут сокращаться, приближаясь к уровню k*.

На равновесный уровень капиталовооруженности оказывает влияние норма накопления (сбережения). Ее рост с s 1 до s 2 сдвигает кривую инвестиций с s 1 f(k) до s 2 f(k), и экономика переходит в новое равновесное состояние с большей капиталовооруженностью (k* 2) и более высокой производительностью труда (рис. 3-5).

4. Рост населения страны увеличивается постоянным темпом. Благодаря гибкости цен на рынке факторов производства постоянно поддерживается полная занятость, т. е. численность занятых растет тем же темпом, что и численность населения в стране.

В этом случае запасы капитала могут изменяться, так как:

♦ инвестиции приводят к росту запасов капитала;

♦ часть капитала амортизируется, что приводит к уменьшению запасов капитала;

♦ часть капитала идет на вновь вовлекаемых работников.

Накопление капитала, таким образом, составит:

где k t – изменение запасов капитала на одного работника;

i – инвестиции на одного работника;

dk t –амортизация на одного работника;

nk t – прирост капитала, обусловленный приростом населения и занятостью в экономике.

Произведение nk t показывает потребность дополнительного капитала в расчете на одного работника, чтобы капиталовооруженность оставалась постоянной.

Поскольку у t =f(k), то условие устойчивого равновесия в экономике при неизменной капиталовооруженности:

Для того чтобы капиталовооруженность оставалась постоянной при росте населения, необходимо, чтобы капитал увеличивался тем же темпом, что и население. Кроме того, выпуск и население должны расти одинаковыми темпами:

Рассмотрим экономические последствия увеличения темпов роста населения и их замедления для экономики страны.

5. Темп роста населения увеличился с n до n" при прежней норме накопления (рис. 3.6).

Начальное устойчивое состояние экономики соответствует точке E. При повышении темпов роста населения капитал на одного работника будет уменьшаться до тех пор, пока экономика не достигнет нового устойчивого состояния в точке E 1 с более низким уровнем капиталовооруженности. Более низкому уровню капиталовооруженности соответствует более низкая производительность труда. Таким образом, модель Р. Солоу объясняет, что страны с более высокими темпами роста населения имеют меньшую капиталовооруженность, а значит – более низкие доходы. Соответственно, если страны с менее высокими темпами роста населения имеют более высокие доходы

6. Ключевая идея в модели Р. Солоу заключается в том, что экономический рост должен осуществляться за счет научно-технического прогресса, а не за счет увеличения капиталовооруженности.

Итак, включение в модель технического прогресса меняет исходную производственную функцию:

Y = f(K, L, е),

где e – эффективность труда одного работника (зависит от здоровья, образования и квалификации рабочей силы);

L – численность эффективных единиц рабочей силы.

Если предположить, что эффективность труда на одного работника растет с постоянным темпом g= 0,03, то отдача от каждой единицы увеличивается на 3%.

Поскольку рабочая сила растет темпом n, а отдача – темпом g, то выпуск в устойчивом состоянии равновесия растет темпом n + g.

В устойчивом состоянии k* 1 при наличии технического прогресса общий объем капитала К и выпуск Y будут расти с темпом n + g. В расчете на одного работника капиталовооруженность K/L и выпуск Y/L будут расти с темпом g. Это говорит о том, что технический прогресс в модели Р. Солоу – единственное условие непрерывного роста уровня жизни.

Таким образом, модель Р. Солоу позволяет раскрыть взаимосвязь трех источников экономического роста – инвестиций, численности рабочей силы и технического прогресса. Воздействие государства на экономический рост возможно через его влияние на норму сбережения (накопления) и на скорость технического прогресса.

7. «Золотое правило» накопления.

Какой должна быть норма сбережения? Равновесный экономический рост совместим с различными нормами сбережения, поэтому оптимальной будет считаться норма, обеспечивающая экономический рост с максимальным уровнем потребления. Такая норма соответствует «золотому правилу».

«Золотое правило» накопления было сформулировано американским экономистом Э. Фелпсом в 1961 г. Согласно этому правилу, потребление на душу населения в условиях растущей экономики достигает максимума в тот момент, когда предельный продукт капитала становится равным темпу экономического роста.

При оптимальной норме накопления капитала (k**), соответствующей «золотому правилу», должно выполняться условие: предельный продукт капитала равен амортизации (выбытию капитала), т. е.

а если учитывать темп роста населения и технического прогресса, то

МРК = d + n+g.

Теперь предположим, что экономика находится в состоянии равновесия, но не соответствует «золотому правилу» и правительству предстоит определить политику роста, разработать программу достижения максимального душевого потребления.

В таком случае возможны два варианта состояния экономики.

1. Экономика располагает запасом капитала большим, чем это необходимо, чтобы соответствовать «золотому правилу».

2. Запас капитала не достигает соответствующего «золотому правилу».

Определить запас капитала, соответствующий «золотому правилу» - значит решить проблему выбора оптимальной нормы накопления.

Рассмотрим первый вариант развития экономики.

Снижение нормы сбережения приводит к увеличению уровня потребления и сокращению объема инвестиций. При этом экономика выходит из состояния равновесия. Новое состояние равновесия будет соответствовать «золотому правилу» с более высоким уровнем потребления, поскольку исходный запас капитала чрезмерно высок, при сокращении дохода иуровня инвестиций.

Второй вариант развития экономики требует ответственного выбора политиков, поскольку принимаемое ими решение затрагивает жизненные интересы разных поколений. Рост нормы сбережения приводит к снижению потребления и росту инвестиций. По мере накопления капитала производство, потребление и инвестиции начинают расти до достижения нового устойчивого состояния с более высоким уровнем потребления. Но высокому уровню потребления будет предшествовать переходный период с уменьшением потребления. Этот период может охватить жизнь целого поколения, предоставив плоды экономического роста последующим поколениям.

Модель Р. Солоу выделяет технический прогресс как единственную основу устойчивого роста благосостояния и позволяет найти оптимальный вариант роста, обеспечивающий максимум потребления. Однако она рассматривает технический прогресс как внешний (экзогенный) фактор, а значит, не объясняет его. Некоторые ученые считают, что детерминанты технического прогресса недостаточно ясны на сегодняшний день. Тем не менее, государственная политика может стимулировать технический прогресс, используя различные инструменты, в том числе поощряя научные исследования и проектно-конструкторские разработки. Например, совершенствуя патентное законодательство, некоторые развитые страны (США, Япония, Германия) предоставили монополию изобретателям на право производства нового продукта в течение длительного времени. Законы о налогах во многих странах предоставляют значительные льготы научно-исследовательским организациям. Специально созданные национальные научные фонды субсидируют фундаментальные научные исследования. Не менее важно, а в современных условиях становится первостепенным вложение средств в человеческий капитал, роль которого в техническом прогрессе ключевая.

Теорий, посвященных долгосрочным тенденциям макроэкономической динамики, достаточно много, и принадлежат они экономистам как кейнсианского, так и неоклассического направлений. Но в современной учебной и научной литературе в качестве базовой модели чаще всего лежит модель экономического роста Р. Солоу, экономиста неоклассической школы, лауреата Нобелевской премии. Как и другие модели экономического роста, модель Р. Солоу предполагает широкое использование математического аппарата и поэтому с трудом воспринимается студентами гуманитарных факультетов. Наша задача - показать основную идею Р. Солоу с минимальным набором алгебраических выкладок. Конечно, можно вообще свести описание модели Р. Солоу к нескольким фразам, например: в долгосрочном периоде изменение нормы сбережения не меняет величины душевого дохода, или выпуска на одного работника, а решающим фактором роста дохода на душу населения является технологический прогресс. Но тут же возникнет вопрос: на основании чего сделан подобный вывод?

Начнем с основных предпосылок модели, созданной Р. Солоу в 1956 г.

Все показатели в модели даются в расчете на душу населения, поэтому известные нам символы дохода, инвестиций и сбережений даются строчными буквами:

Национальная норма сбережения, или доля сбережений в доходе,

у - доход, или выпуск;

/ - инвестиции, при этом речь идет о требуемых, или планируемых, инвестициях;

/ = sy, т.е. инвестиции = норма сбережения х национальный доход;

к - капиталовооруженность труда, т.е. К : L;

5 - норма выбытия капитала.

Предпосылки модели роста Солоу соответствуют представлениям сторонников неоклассической школы, к которой и относится, как отмечалось выше, знаменитый экономист. Это:

• ? факторы производства, труд и капитал, взаимозаменяемы;
• ? капиталовооруженность к , не является постоянной величиной, а меняется в зависимости от состояния конъюнктуры;
• ? рынок представлен моделью совершенной конкуренции с гибкими ценами.

В модели Солоу у есть функция капиталовооруженности, следовательно,

Чем выше к, тем при прочих равных условиях больше у. График производственной функции у = f(k) отражает выпуск продукции в расчете на душу населения. Он представляет собой кривую, наклон которой в каждой точке измеряется предельной производительностью капитала, МРК. Мы знаем, что, согласно закону убывающей производительности, при увеличении капитала на одного работника его производительность снижается, поэтому наша кривая у =f(k) по мере накопления капитала будет иметь все более пологий вид.

Рис. 14.1.

Примечание. На оси ординат показаны выпуск на одного работника, сбережения и требуемые инвестиции, на оси абсцисс - капиталовооруженность. Точке пересечения Е графиков сбережений и инвестиций соответствует устойчивый уровень капиталовооруженности к*. При этом значении выпуск на одного работника соответствует устойчивому уровню у*.

График же сбережений, или фактически осуществленных инвестиций, мы будем строить на основе формулы / = sy, а поскольку у есть функция от к, то можем записать:

Формула (14.5) станет понятнее, если мы вспомним важнейшее макроэкономическое тождество, которое рассматривалось в главах 1 и6:/ = ^, т.е. инвестиции в масштабах национальной экономики равны сбережениям. Буквой 5 в модели Солоу мы обозначаем фактически осуществленные инвестиции, или сбережения. Почему кривая sj{k) вогнутая? Потому что она отражает снижающуюся производительность капитала, а ее расположение ниже кривой выпуска у объясняется тем, что сбережения представляют собой лишь определенную долю национального дохода.

Допустим, что население растет темпом п. Тогда требуемые инвестиции i в расчете на одного работника составят пк. Действительно, если население растет темпом /?, то и капитал должен расти тем же темпом, так чтобы капиталовооруженность работника оставалась неизменной.

Но мы до сих пор не принимали во внимание выбытие капитала. Так, если капитал функционирует 25 лет, то ежегодно выбывает V25 часть капитала, т.е. 0,04 часть его стоимости, или 4%. Цифра 0,04 - это и есть 8 - обозначение, введенное ранее в начале описания модели Солоу. С учетом нормы выбытия и темпа роста населения теперь мы можем записать, каковы будут требуемые инвестиции в расчете на одного работника:

График сбережений, как мы определили выше, представлен кривой sf(k), а график требуемых инвестиций - прямой линией (п + 8)к, где л+8 определяет наклон этой линии. Можно задать вопрос: почему график инвестиций имеет линейный вид, а не является вогнутым по отношению к оси абсцисс, как график сбережений? Не будем забывать, что наклон графика инвестиций задан нормой выбытия и темпом роста населения, которые не изменяются по мере роста накопления капитала.

Итак, если сбережения равны планируемым, или требуемым, инвестициям, то, по Солоу, экономика находится в устойчивом (стационарном) состоянии. Всякое отклонение от этого состояния благодаря действию рыночных сил, прежде всего гибкого ценового механизма в условиях взаимозаменяемости факторов производства, в итоге приведет экономику вновь к устойчивому состоянию.

В точке пересечения Е графиков сбережений и инвестиций будет наблюдаться устойчивое, или стационарное, состояние экономики:

Точка к* показывает устойчивый уровень капиталовооруженности. На оси ординат ему соответствует устойчивый уровень выпуска, или подушевого дохода^*.

Каков же механизм достижения устойчивого состояния динамического равновесия, по Солоу? Рассмотрим рис. 14.2.

Рис. 14.2.

Известные нам кривые сбережений и инвестиций пересекаются в точке Е на уровне, соответствующем точке к* - устойчивому уровню капиталовооруженности. На оси ординат этой величине к* соответствует устойчивый уровень дохода на душу населения у*. Если же экономика находится на уровне к ь то сбережения превышают требуемые инвестиции. Вспомним, что сбережения - это предложение капитала, а инвестиции есть спрос на капитал. Тогда в условиях избытка капитала цена этого фактора производства будет уменьшаться. А поскольку капитал стал относительно дешевле труда, постольку начнется переход к более капиталоемким технологиям. Предприниматели предпочтут использовать больше физического капитала и меньше услуг труда наемных работников. Экономика станет двигаться в сторону точки к*, и запасы капитала на одного работника будут расти. Если же экономика находится на уровне к 2 , т.е. инвестиции превышают сбережения, капитал становится дороже относительно труда, и благодаря гибкому ценовому механизму начнется переход к менее капиталоемким технологиям. Экономика будет стремиться влево, к точке к*. Равновесие установится тогда, когда sj{k ) = (п + Ъ)к , т.е. сбережения равны требуемым инвестициям.

Главная мысль Р. Солоу заключается в том, что устойчивый уровень капиталовооруженности соответствует равновесию экономики в долгосрочном периоде. Много ли было в некий начальный период времени t у страны запасов капитала, мало ли - через некоторое время экономика достигает устойчивого состояния. Но капиталовооруженность (к *) на рис. 14.2 - не единственное устойчивое состояние экономики. Изменение нормы сбережения сдвинет кривую сбережений в новое положение. Так, на рис. 14.3а мы видим, что увеличение s приведет к перемещению графика сбережений вверх, от s x f(k) до s 2 f(k), и экономика достигнет устойчивого состояния при более высоком значении к 2 * и уровне подушевого дохода^*- Аналогичным образом изменение (одновременное или одного из этих параметров) показателей нормы выбытия и темпа роста населения изменит наклон графика требуемых инвестиций (рис. 14.3б). Например, увеличение темпа роста населения изменит наклон этого графика, и страна будет иметь дело с более низким уровнем капиталовооруженности к 2 * и подушевого дохода у 2 *. Поэтому, по модели Солоу, страны с высокими темпами роста населения при прочих равных условиях имеют более низкий доход на душу населения.

Рис. 14.3. Изменение устойчивого уровня капиталовооруженности: а - увеличение нормы сбережения; б - увеличение нормы выбытия и/или темпа роста населения; 1,2 - пересечение графиков сбережений и инвестиций. Им соответствуют старые и новые значения устойчивого уровня капиталовооруженности и, соответственно, устойчивого уровня выпуска на душу населения. На рис. 14.36 показано одновременное увеличение темпов роста населения и нормы выбытия, что смещает линию требуемых инвестиций вверх

Таким образом, количественные параметры устойчивого уровня капиталовооруженности зависят от переменных, заданных экзогенно: нормы сбережения, нормы выбытия, темпа роста населения. Может ли государство управлять этим процессом? Норма сбережения, как и многие другие понятия макроэкономики, уже известные нам (коэффициент монетизации, предельная склонность к потреблению), является поведенческой категорией. Заставить людей больше или меньше сберегать посредством приказов и распоряжений в демократическом обществе невозможно. Эмпирические исследования подтверждают мысль Р. Солоу о важности нормы сбережения для величины устойчивого состояния к*, но инструментов непосредственного воздействия на нее в арсенале правительства не так уж много. Например, повышение номинальной ставки процента по депозитам должно привести к увеличению вкладов населения в коммерческих банках. Но это возможно только при прочих равных условиях: доверии населения к банковской системе своей страны, национальной валюте, низких и предсказуемых темпах инфляции.

Норма выбытия определяется уровнем существующей технологии и не может изменяться по воле правительства достаточно быстро, особенно в краткосрочном периоде. Темп роста населения тем более подвержен влиянию такого количества экономических, социальных, религиозных, культурологических и прочих факторов, что управление этим параметром для достижения высокого уровня подушевого дохода вряд ли подвластно кабинету министров в течение ограниченного периода времени его функционирования.

Один из главных выводов Р. Солоу, кажущийся на первый взгляд неожиданным, заключается в следующем: изменение нормы сбережения s не меняет величины дохода на душу населения в долгосрочном периоде. Это означает, что при переходе на более высокую кривую сбережений от точки 1 к точке 2 мы действительно увидим более высокий уровень выпуска на душу, но только в период перехода! В долгосрочном периоде на этой новой, более высокой кривой сбережений (см. рис. 14.3«) есть свой устойчивый уровень капиталовооруженности и соответственно выпуска на душу населения, к которому будет стремиться экономика. Поэтому, когда мы видим положительную зависимость между нормой сбережения и подушевым доходом, это говорит нам о том, что страна находится в процессе развития и еще не достигла устойчивого (стационарного) состояния.

Итак, если увеличение нормы сбережения не изменяет в долгосрочном плане подушевой выпуск, то в чем же проявляется экономический рост?

Р. Солоу вводит фактор технологического прогресса как еще один экзогенный фактор. В его модели темп технического прогресса обозначается буквой g. Благодаря технологическому прогрессу вся кривая производственной функции у =f(k) сдвигается вверх (рис. 14.4) и занимает положение более высокое: сдвиг оту] =f(k) до у 2 = f(k). Таким же образом сдвигается вверх график сбережений sf(k), от положения s x f(k)

до положения s^f(k), поскольку, как нам известно, сбережения являются только частью дохода. Изменяется и наклон линии требуемых инвестиций. Теперь он определяется величиной, равной сумме темпа роста населения, нормы выбытия капитала и темпа технического прогресса т.е. мы можем записать формулу для графика инвестиций как В результате достигается более высокий подушевой

уровень выпуска в устойчивом состоянии у 2 *. Теперь условие достижения устойчивого состояния (с учетом технологического прогресса) можно записать в следующем виде:

Рис. 14.4.

Таким образом, технологический прогресс выступает в модели Со- лоу как экзогенный фактор экономического роста, благодаря которому в долгосрочном периоде увеличивается выпуск на душу населения. Управление этим процессом со стороны государства представляет собой чрезвычайно сложную задачу. Разумеется, правительство не может приказать ученым совершить то или иное открытие, населению - ускорить или замедлить свой ежегодный прирост, а станкам или машинам изменить темп физического износа. Но правительству под силу косвенные методы воздействия на многие из рассматриваемых параметров. Поддержка фундаментальных научных исследований, вложения в человеческий капитал (прежде всего в образование), изменение норм амортизации как средства, позволяющего фирмам ускоренно списывать стоимость машин и оборудования , - все эти меры могут способствовать развитию науки, техники, новых технологий, в том числе и информационных, без которых невозможен современный экономический рост.

• Ускоренное списание стоимости машин и оборудования позволяет фирмамбыстрее создавать фонд для закупки нового, более производительного оборудования.

Цель данной модели – ответить на очень важные вопросы экономической теории и экономической политики; каковы факторы сбалансированного экономического роста; какой темп роста может позволить себе экономика при заданных параметрах экономической системы и как при этом максимизировать доход на душу населения и объем потребления; какое влияние на темпы роста экономики оказывают рост населения, накопление капитала и технический прогресс. Модель Солоу показывает не только возможность равновесного экономического роста при полной занятости и полном использовании производственных мощностей. Особенностью этой неоклассической модели является и то, что она демонстрирует устойчивость экономического роста, т.е. способность экономической системы возвращаться к траектории сбалансированного развития при помощи внутренних рыночных механизмов саморегулирования.

Рис. 1. Производственная функция у = f(k) . Данная функция построена из расчета на одного работника и характеризуется понижающейся предельной производительностью капитала МР К

Скачать заметку в формате или

Предпосылки модели:

Построение модели

Разделив двухфакторную производственную функцию Y = f(К, L) на количество труда L, мы получим производственную функцию для одного работника: у = f(k), где k = K/L – уровень капиталовооруженности единицы труда, или одного работника Доход (y = Y/L) предстает как функция только одного фактора – капиталовооруженности (k ). Такая единичная производственная функция, отражающая средний уровень производительности труда, показана на рис. 1. Заметим, что крутизна ее наклона, определяемая величиной предельной производительности капитала МР К, изменяется. По мере увеличения количества капитала на одного работника, предельная производительность этого фактора уменьшается (в соответствии теорией предельной производительности факторов ), что и вызывает замедление роста функции дохода.

Часть дохода Y используется на потребление, а другая часть сберегается. В модели Солоу, где все макроэкономические показатели рассчитываются на одного работника, сбережения тоже будут представлять собой часть единичного дохода sy или sf(k) , где s - норма сбережения, определяющая, какая часть дохода сберегается.

Условием макроэкономического равновесия является равенство совокупного спроса (AD) и совокупного предложения (AS), что автоматически приводит нас к макроэкономическому равенству I = S (объем инвестиций равен объему сбережений). Все сбережения в экономике полностью инвестируются, и это позволяет приравнять функцию фактических инвестиций на одного работника (i ) к единичной функции сбережений: i = sy = sf(k). Помня о макроэкономическом равенстве Y = С + I (доход равен сумме потребления и сбережения), выпуск в расчете на одного занятого можно записать в виде у = с + i , где у = Y/L, с = C/L, i = I/L , а функцию потребления представить как с = у – i = f(k) — sf(k).

Графически размер потребления и инвестиций при каждом уровне капиталовооруженности изображены на рис. 1. Кривой sf(k) обозначен график фактически осуществленных инвестиций, которые по условию модели равны сбережениям. Поскольку сбережения составляют некую определенную долю от выпуска, то и фактически осуществленные инвестиции на душу населения представлены графиком, лежащим ниже графика производственной функции y = f(k) на рис. 1. Расстояние между графиками функций f(k) и sf(k) определяет объем потребления (c ). Таким образом, функция потребления описывается формулой: с = f(k) – sf(k).

По условию модели Солоу, экономика изначально находится в состоянии устойчивого равновесия. Это значит, что планируемые, или требуемые инвестиции I равны фактически осуществленным инвестициям, т.е. сбережениям S . В модели Солоу оно описывается, как устойчивое, или стационарное состояние экономики, при котором объем капитала на одного работника постоянен. Для определения стационарного состояния экономики в модели Солоу необходимо рассмотреть и проблему накопления капитала. Очевидно, для того, чтобы капиталовооруженность оставалась неизменной при условии роста населения, необходимо, чтобы капитал К увеличивался тем же темпом n , что и рост населения L . Таким образом, требуемые инвестиции в расчете на одного работника i r (верхний индекс r у символа инвестиций i – от английского слова required – требуемый) можно записать в виде следующего равенства: i r = nk. При этом если темп роста населения и темп накопления капитала равны, то выпуск на душу населения у остается неизменным.

Не будем забывать, что для описания чистого прироста капитала нужно учесть выбытие капитала, или амортизацию. Растущего капитала должно быть достаточно не только для оснащения новыми капитальными благами дополнительной рабочей силы, но и для пополнения выбывающего капитала. Обозначим норму выбытия (норму амортизации) символом δ . Таким образом, требуемые инвестиции в расчете на одного работника будут записаны в виде равенства i r = (n+ δ) k. С учетом постоянного темпа роста населения и постоянной нормы выбытия можно в формализованном виде записать условия накопления капитала: Δ k = sf(k) – (n+ δ) k. Итак, мы имеем все необходимые данные, для того, чтобы объяснить механизм установления стационарного состояния в модели Солоу.

В ходе производства ежегодно пополняются капитальные запасы, независимо от того, с каким объемом капитала экономика начинает развиваться. Однако прирост фактических инвестиций, отображаемый графиком sf(k) , идет затухающими темпами (рис. 2). Это объясняется уже рассмотренным выше снижением предельной производительности капитала МР К, происходящим по мере увеличения капиталовооруженности одного работника. Но наращивание капиталовооруженности увеличивает и объем требуемых инвестиций, представленных на рис. 2 прямой линией (n+ δ) k . Угол наклона этой линии равен величине (n+ δ) . С ростом производства разница между сбережениями (фактически осуществленными инвестициями) sf(k) и требуемыми инвестициями (n+ δ) k будет уменьшаться до тех пор, пока эти величины не выровняются между собой. Когда Δ k = 0 , тогда производство, сбережения и требуемые инвестиции достигают определенного устойчивого уровня, т.е. экономика достигает состояния равновесия. Уровень капиталовооруженности, при котором Δ k = 0 , называется устойчивым уровнем капиталовооруженности (k* ) и характеризует состояние равновесия экономики. В равновесном состоянии объем выпуска не изменяется, а сбережения и требуемые инвестиции равны: sf(k*) – (n+ δ) k* = 0 или sf(k*) = (n+ δ) k*.

Рис. 2. Определение устойчивого уровня капиталовооруженности

Таким образом, на рис. 2 пересечение графика сбережений sf(k) и графика требуемых инвестиций (n+ δ) k будет показывать состояние равновесия, определяя величину устойчивого уровня капиталовооруженности k* .

Каков же в модели Солоу механизм, который обеспечивает равновесный рост? Для этого обратимся вновь к рис. 2. В точке k 1 сбережения превышают уровень требуемых инвестиций. Предложение капитала превышает спрос на него, т.е. объем капитала в точке k 1 является избыточным. В условиях гибких цен начнется процесс удешевления этого фактора производства по сравнению с трудом и таким образом начнется переход к более капиталоемким технологиям. Динамическое равновесие оказывается устойчивым, поскольку изменение относительных цен на факторы производства будет «подталкивать» экономику к состоянию устойчивой капиталовооруженности k* .

В случае, когда уровень капиталовооруженности соответствует точке k 2 , инвестиции превышают сбережения. Возникающий дефицит капитала в условиях гибкого ценового механизма приведет к повышению цен на этот фактор производства, и начнется переход к менее капиталоемким технологиям вплоть до уровня k* .

Как повлияет на устойчивый уровень капиталовооруженности и выпуск продукции на душу населения изменение нормы выбытия (δ), темпов роста населения (n) и нормы сбережений (s) ? На рис. 3 показаны последствия изменений. Для уяснения работы модели Солоу нужно иметь в виду, что налогово-бюджетная и кредитно-денежная политика государства, а также институциональные и психологические факторы могут повлиять на уровень k* через воздействие на норму сбережения s или на норму амортизации δ , от величины которой зависит скорость обновления капитала. Например, политика ускоренной амортизации (рис. 3а) выразится в смещении графика (n+ δ) k до уровня (n+ δ 1) k . При этом устойчивый уровень капиталовооруженности снизится c k* до k 1 * так же, как снизится и выпуск на душу населения с y* до y 1 * .

Рис. 3. Влияние параметров модели на устойчивый уровень капиталовооруженности; изменяется: (а) норма выбытия (амортизации) δ ; (б) темпы роста населения n ; (в) норма сбережений s

Если же увеличится темп роста населения до n 1 (рис. 3б), то объем накопленного капитала распределится на большее количество занятых, и уровень устойчивой капиталовооруженности уменьшится до k 1 *. Кривая требуемых инвестиций сместится из положения (n+ δ) k в положение (n 1 + δ) k . Одновременно уменьшится и выпуск на душу населения. Это позволяет объяснить низкий уровень подушевого дохода во многих развивающихся странах. Темп роста населения в беднейших странах мира гораздо выше, чем в промышленно развитых странах. Низкая норма сбережения, характерная для этих стран, не позволяет компенсировать последствия высоких темпов роста населения для уровня капиталовооруженности. Не случайно в таких условиях, если оставить в стороне нравственные оценки, снижение уровня рождаемости представляется чуть ли не самым главным способом повышения благосостояния населения.

Увеличение нормы сбережений в силу различных причин (увеличение склонности к сбережению под влиянием различных факторов психологического, институционального характера, а также под влиянием косвенных методов государственного регулирования) от уровня s до s 1 как видно из рис. 3в, наоборот, приведет к повышению равновесного уровня капиталовооруженности до k 1 * в результате смещения графика сбережения до уровня s 1 f(k) . Таким образом, можно сделать вывод, что более высокая норма сбережения, при прочих равных условиях, ведет к большему объему накопления капитала и к более высокому уровню выпуска на душу населения. Это статистически подтверждено исследованиями многих экономистов. Так, к странам с самым высоким годовым доходом (в долларах США по текущему курсу, на 2000 г.) относятся США ($ 36 611), Великобритания ($23 868), Германия ($22 841), Франция ($22 006), Италия ($18 645), Япония ($37 571). На протяжении последних трех десятилетий XX века в этой группе стран норма сбережений была наиболее высокой (в среднем около 23% от ВВП) по сравнению со странами, где доходы ниже. В странах со средним уровнем подушевого дохода сберегалось от 20% до 22% ВВП, а в странах с низким уровнем дохода на душу населения – от 10% до 19% ВВП.

Однако мы должны особо подчеркнуть важный вывод, который делает Солоу: увеличение нормы сбережений лишь в краткосрочном периоде увеличивает темп роста выпуска. Иными словами, во время перехода с кривой sf(k) на кривую s 1 f(k) (рис. 3в) темпы роста выпуска повышаются по сравнению с прежним стационарным состоянием экономики. При переходе из точки Е в точку Е 1 устойчивый уровень капиталовооруженности повысился с k* до k 1 * при новом стационарном состоянии экономики. В силу каких причин это могло произойти? Ответ достаточно прост: уровень капиталовооруженности может увеличиться только в том случае, когда запас капитала растет более высоким темпом, чем предложение труда и выбытие капитала. Но увеличение нормы сбережения не влияет на долгосрочный темп роста выпуска, а только увеличивает уровень капиталовооруженности и объем подушевого дохода в долгосрочном плане.

Этот вывод может показаться неожиданным и противоречащим факту тесной взаимосвязи инвестиций и экономического роста. Объяснением этого кажущегося противоречия может быть то, что стационарное состояние экономики присуще далеко не всем странам. Если экономика не характеризуется состоянием равновесия, то она переживает процесс развития, а процесс этот может оказаться весьма продолжительным.

Модель Солоу интересна и тем, что помогает определению путей максимизации потребления при заданных темпах экономического роста. Возможность поддерживать уровень потребления на максимально высоком уровне – это своеобразный «эликсир политического долголетия» власти. Достижение высокого уровня потребления отвечает интересам любого электората. Однако, как видно из графика на рис. 3в, устойчивому состоянию экономики могут соответствовать разные нормы сбережений. Какая же норма сбережения максимизирует объем потребления при заданном темпе роста численности населения и неизменной технологии?

Условие, при котором достигается этот уровень потребления, вывел американский экономист Эдмунд Фелпс и назвал его золотым правилом накопления в своей работе «Басня для тех, кто занимается ростом» (1961 г.)

Рассмотрим графическое изображение золотого правила накопления. В соответствии с золотым правилом, самый высокий уровень потребления достигается при таком устойчивом уровне капиталовооруженности, который, как видно на рис. 4 соответствует наибольшему разрыву между объемом выпуска f(k*) и объемом требуемых инвестиций (n+ δ) k * . Именно в этом случае в точке Е объем требуемых инвестиций (n+ δ) k * совпадает с объемом сбережений sf(k*) . Расстояние АЕ и показывает наибольший объем потребления. Поэтому уровень потребления с** в соответствии с золотым правилом называется устойчивым уровнем потребления : c** = f(k*) – (n+ δ) k *

Рис. 4. Золотое правило накопления. Наклон графика производственной функции y = f(k) измеряется предельной производительностью капитала, МР K , а наклон графика требуемых инвестиций измеряется темпом роста населения и нормой выбытия капитала (n+ δ) . В точке А , соответствующей устойчивому уровню капиталовооруженности k** , наклон графика производственной функции равен наклону графика требуемых инвестиций и при этом объем потребления максимален

Запас капитала, обеспечивающий устойчивое состояние при максимальном потреблении, называется золотым уровнем накопления капитала (k** ). Именно при уровне k** наклон графика производственной функции у = f(k) , измеряемый наклоном касательной в точке А , равен наклону графика требуемых инвестиций sf(k) . Иными словами, предельная производительность капитала МР K должна быть равна темпу экономического роста (n+ δ) . Это и есть само золотое правило накопления: МР K = (n+ δ).

До настоящего времени мы абстрагировались от фактора технического прогресса. Теперь же мы должны посмотреть, как изменятся условия стационарного роста с введением этой переменной. Термин «технический прогресс» в моделях экономического роста понимается в очень широком смысле, а именно, в смысле всех факторов, которые при заданных объемах труда L и капитала К позволяют увеличить национальный доход, или выпуск У .

Главное, на что мы должны обратить внимание – это сдвиг производственной функции Y = f(K, L) , которая превращается в функцию, зависящую от переменной t , т.е. от времени: Y = f(K, L, t) . В результате технического прогресса происходит сдвиг производственной функции в расчете на одного занятого из положения у 1 = f(k) в положение у 2 = f(k) (рис. 5). Сдвиг производственной функции может происходить под влиянием самых различных факторов: улучшения качества физического капитала, качества рабочей силы (рост квалификации работников), совершенствования структуры производства, совершенствования менеджмента и т.д.

Рис. 5. Влияние технического прогресса на устойчивый уровень капиталовооруженности и выпуск на душу населения

На рис. 5 вместе со сдвигом графика производственной функции из положения у 1 = f(k) в положение у 2 = f(k) происходит и сдвиг графика сбережений (фактических инвестиций) из положения s 1 f(k) в положение s 2 f(k) . Технический прогресс приводит к тому, что устойчивый уровень капиталовооруженности перемещается из точки k 1 * в точку k 2 * . Равновесный уровень требуемых инвестиций и сбережений перемещается из точки E 1 в точку Е 2 . Соответственно, устойчивый уровень выпуска на душу населения повышается от уровня у 1 * до уровня у 2 * .

В макроэкономической теории рассматриваются различные типы технического прогресса, характеризующиеся устойчивым уровнем капиталовооруженности. При исследовании модели Солоу мы будем исходить из так называемого нейтрального технического прогресса. Это означает, что при росте капиталовооруженности труда k предельная производительность капитала МР К не снижается, как это могло бы произойти в отсутствие технического прогресса (см. рис. 1). Причина этого заключается в том, что рассматриваемый тип технического прогресса как бы увеличивает количество занятых тем же темпом, каким растет капитал. Воздействие этого типа технического прогресса на экономический рост связано с приростом эффективности труда А , идущего постоянным темпом g . Собственно, показатель g и предстает как темп технического прогресса. Тогда общее количество эффективного труда составит AL и, с учетом темпа роста населения и темпа роста эффективности труда, будет расти темпом n + g . Еще раз подчеркнем, что показатель AL является выражением неких условных единиц труда, а не физически занятых в производстве людей. Можно объяснить идею трудосберегающего технического прогресса и несколько по-иному. Поскольку эффективность и производительность труда – одно и то же понятие, то мы можем говорить не об условных единицах труда, а о том, что AL означает увеличение выпуска при том же количестве труда, в чем и заключается трудосбережение. Количество труда остается прежним при большем выпуске, поэтому и не изменяется устойчивый уровень капиталовооруженности.

Поясним идею рассматриваемого типа технического прогресса на условном цифровом примере. Так, допустим, что в некоем исходном состоянии t 0 в экономике занято 1000 человек. Если прирост эффективного труда А идет темпом, равным темпу технического прогресса 3%, то те же самые 1000 занятых произведут в следующем периоде t 1 продукции столько, сколько произвели бы 1030 занятых. Теперь, с учетом фактора технического прогресса, идущего темпом g , мы можем представить модифицированную модель роста Солоу (рис. 6). Заметим, что темп роста запасов капитала теперь, с учетом технического прогресса, составит n + δ + g , т.е. именно этими величинами измеряется наклон графика требуемых инвестиций в расчете на единицу эффективного труда.

Рис. 6. Модель роста Солоу с учетом технического прогресса

Обозначим символом k e = K/(AL) количество капитала на эффективную единицу труда, а символом у e = Y/(AL) – объем выпуска на эффективную единицу труда. Устойчивый уровень капиталовооруженности k e * , как видно на рис. 6, будет достигнут лишь тогда, когда требуемые инвестиции смогут полностью компенсировать уменьшение k e вследствие выбытия капитала, идущего темпом δ , роста населения с темпом n и технического прогресса с темпом g :
sf(k e) = (n + δ + g) k e . С учетом новых переменных максимальный устойчивый уровень потребления составит: с e ** = f(k e **) – (n + δ + g) k e (рис. 7).

Рис. 7. Золотое правило накопления с учетом технического прогресса

Итак, максимальный устойчивый уровень потребления с e ** (расстояние между точками А и Е ) гарантируется таким объемом накопления k e ** , который достигается при выполнении золотого правила с учетом роста населения и технического прогресса: МР К = n + δ + g.

Мы рассмотрели влияние технического прогресса на устойчивый уровень капиталовооруженности k e ** (в расчете на единицу эффективного труда) и пришли к следующему выводу: выпуск в расчете на единицу эффективного труда в стационарном состоянии остается неизменным. Действительно, если выпуск Y растет темпом n + g (2% + 3%), и AL растет тем же темпом, то, используя условный цифровой пример, получим следующее: в период t 0 выпуск объемом 10 000 ден. ед приходился на 1000 занятых. Тогда выпуск в расчете на одного занятого составил в период t 0 10000/1000 = 10 ден. ед. Но, если выпуск растет темпом n + g , т.е. увеличивается на 5% (2% + 3%), то в следующий период времени t 1 , он составит 10500 ден. ед. Выпуск в расчете на единицу эффективного труда (у e ) не увеличился – ведь AL растет тем же темпом n + g , т.е. теперь как бы трудятся 1050 человек. В расчете на одну единицу эффективного труда получаем: 10500 ден. ед./1050 = 10 ден. ед.

В чем же тогда проявляется воздействие технического прогресса на повышение благосостояния населения? Каким образом экономический рост, сопровождаемый техническим прогрессом, приводит к увеличению выпуска и потребления на душу населения? Для ответа на эти вопросы не следует забывать, что физически в периоде времени t 1 , работали (с учетом темпа роста населения, равным в нашем примере 2%) 1020 человек, поэтому выпуск на душу (у ) увеличился: 10500/1020 = 10,29 ден. ед.

Для лучшего понимания влияния темпа роста населения n и темпа технического прогресса g на динамику макроэкономических переменных сведем наш анализ модели роста Солоу в таблицу (рис. 8). Нормой выбытия δ в данном случае мы пренебрегаем, предположив, что срок службы физического капитала составляет весьма значительную величину.

Рис. 8. Влияние темпа роста населения (n ) и технического прогресса (g ) на динамику макроэкономических показателей; для простоты предположили, что норма выбытия (амортизации) δ = 0

Как видно из таблицы, темп роста выпуска в расчете на единицу эффективного труда в устойчивом состоянии не изменяется; тот же вывод можно сделать относительно показателя капиталовооруженности в расчете на единицу эффективного труда в устойчивом состоянии. Главный же показатель, характеризующий увеличение благосостояние населения, т.е. выпуск на душу населения у растет тем же темпом, что и технический прогресс.

Позвольте еще раз обратить внимание на проблему стационарного, или устойчивого роста в долгосрочном периоде. Когда экономика находится в состоянии устойчивого равновесия в краткосрочном периоде, помимо того, что весь объем сбережений полностью инвестируется, обнаруживается еще одно равенство, связанное с совпадением требуемых и фактически осуществленных валовых инвестиций. Каждому варианту такого равновесия соответствует устойчивый уровень капиталовооруженности k* и равновесный уровень дохода у* . Если мы построим функцию возможных вариантов равновесного дохода в зависимости от всех значений k* , то перед нами предстанет траектория развития экономики в условиях долгосрочного динамического равновесия у* = f(k*), вошедшая в экономическую литературу под названием траектория устойчивого развития .

Так как в модели такой экономики все уровни капиталовооруженности оказываются устойчивыми, то в долгосрочном динамическом равновесии функции требуемых i r и фактических инвестиций sf(k) всегда будут совпадать. Иначе говоря, при любом уровне дохода в условиях динамического равновесия и, соответственно, при всех значениях k* будет сохраняться равенство (n + δ + g) k* = sf(k*).

Итак, модель Солоу показывает, что в долгосрочном периоде рост производства зависит от темпа технического прогресса. Именно этот экзогенный фактор может поддержать непрерывный рост производства, а значит, и рост благосостояния населения, выражающийся в росте выпуска и потребления на душу населения.

Цитируется по учебнику для вузов , Киров. – «АСА», 2006. – стр. 619–632

Неокейнсианские модели (например, модель Домара) рассматривает прирост инвестиций в качестве единственного фактора роста совокупного спроса и совокупного предложения; см., например,

В модели Солоу центральное место отводится технологическому прогрессу , который обеспечивает непрерывный экономический рост. К другим моделям данного направления относится однофакторная модель Домара-Харрода . В этой модели рост продукта связывается с нормой эффективностью накопления. Центральное уравнение этой модели имеет следующий вид: у=ав, где (1)

У – темп прироста продукта, а – норма накопления, в – эффективность накопления (коэффициент капиталоотдачи).

При вычислении нормы накопления (а) следует учесть, что, во-первых часть накопления осуществляется за счет амортизационного фонда и используется для возмещения выбытия основного капитала, во-вторых, из фонда накопления обеспечивается вложение не только в основной, но и в оборотный капитал, включая резервы.

Неоклассическая модель в условиях равновесия между спросом и предложением учитывает изменчивость коэффициента капиталоотдачи . Соотношение "капитал – производство" становится гибким вследствие того, что неоклассические модели учитывают не один, а два производственных фактора и допускают их взаимозаменяемость. Допуская различные комбинации производственных факторов, можно добиться роста объемов производства даже при той же технике. Среди аналитических инструментов неоклассических моделей главное место занимает производственная функция: У=f(K,L), где У- продукт, а К и L – затраты на капитал и труд. Объем и динамика продукта связывается с объемом и динамикой совокупных затрат и их эффективностью: или Y = abk +
где d – коэффициент, отражающий соотношение величин факторов К и L к величине продукта У;

b и - параметры функции, характеризующие эластичность объемов и динамики продукта от затрат факторов производства, т.е. параметры, показывающие насколько увеличится объем производства, если любой производственный фактор увеличится на 1%;

К и П - темпы роста соответственно капитала и труда.

Модель Солоу имеет возможность описать эти изменения в динамике, т.е. делает его более похожим на фильм, чем фотографию. Модель роста Солоу показывает, как сбережения, рост населения и технологический прогресс воздействуют на рост объема производства во времени.

Модель дает основу, с помощью которой можно проанализировать один из наиболее важных вопросов экономики : какая часть производственного продукта должна потребляться сегодня, и какая часть его должна сберегаться для использования в будущем . Поскольку сбережения равны инвестициям, сбережения определяют объем капитала, которым экономика будет располагать в будущем.

Предложение товаров в модели Солоу описывается с помощью известной производственной функции: Y=F (K,L), где К – капитал, L-труд.

Т.е. объем производства зависит от запасов капитала и используемого труда. Модель Солоу предполагает, что производственная функция обладает свойством постоянной отдачи от масштаба .

Производственная функция с постоянной отдачей от масштаба удобна для этой цели, потому что объем производства на одного рабочего зависит тогда от количества капитала, приходящегося на одного работника.

Производственную функцию можно записать так у=f(k), где f(k)=F (k,1). На рис. Изображена эта производственная функция

У f(k) Закон убывающей эффективности

Выпуск (аналогия).

на одного

работника МРК

капитал на одного работника К

Тангенс угла наклона данной производственной функции показывает, сколько дополнительного продукта на одного работника можно получить, если увеличить капиталовооруженность на одну единицу. Эта величина является предельным продуктом капитала МКР. Это можно записать так:

МКР = f(k + 1) - f(k). Заметим, что по мере роста капиталовооруженности график производственной функции становится более пологим, т.е. угол наклона уменьшается. Такая производственная функция характеризуется понижающейся предельной производительностью капитала: каждая дополнительная единица капитала производит меньше продукта, чем предыдущая. Когда запас капитала на одного работника невелик, каждая дополнительная единица капитала дает большую отдачу. Если же капиталовооруженность труда высокая, то дополнительная единица капитала менее эффективна и дает меньше дополнительной продукции.

В модели Солоу спрос предъявляется со стороны потребителей и инвесторов. Иными словами, продукция произведенная каждым рабочим, делится между потреблением, приходящимся на одного рабочего, и инвестициями в расчете на одного рабочего: У=с+I, где с – потребление, I – инвестиции.

Модель Солоу предполагает, что функция потребления принимает простую форму C = (1 – S)·у, где норма сбережения S принимает значения от 0 до 1. Эта функция означает, что потребление пропорционально доходу. Каждый год часть (1 – S) дохода потребляется и часть S сберегается.

Роль такой трактовки потребления выяснится, если мы заменим величину C величиной (1 – S)·у в тождестве национальных счетов: у =(1 – S)·у + I. После преобразования получим: I = S·у. Это уравнение показывает, что инвестиции (как и потребление) пропорциональны доходу. Если инвестиции равны сбережениям, норма сбережений S показывает, какая часть произведений продукции направляется на капитальные вложения.

Представив две главных составляющих модели Солоу – производственную функцию и функцию потребления , можно проанализировать, как накопление капитала обеспечивает экономический рост. Запасы капитала могут изменяться по двум причинам: 1. Инвестиции приводят к росту запасов капитала . 2. Часть капитала изнашивается , то есть амортизируется, что приводит к уменьшению запасов капитала . Для того, чтобы понять, как изменяются запасы капитала, необходимо найти факторы, определяющие величину инвестиций и амортизации. Инвестиции в расчете на одного работника являются частью продукта, приходящегося на одного работника (S·y). Заменив y выражением производственной функции, мы представим инвестиции на одного работника как функцию от капиталовооруженности: I = S·f(k).

Чем выше уровень капиталовооруженности k , тем выше объем производства f(k) и больше инвестиции I. Это уравнение, которое включает в себя производственную функцию и функцию потребления, связывает существующие запасы капитала k с накоплением нового капитала i. На графике показано, как норма сбережений определяет разделение продукта на потребление и инвестиции для каждого из значений k.

У Производительность f(k)

капиталовооруженность k

Норма сбережений S определяет деление производственного продукта на потребление и инвестиции . Для любого уровня капиталовооруженности k объем производства есть f(k), инвестиции равны S·f(k), а потребление составляет f(k) – S·f (k).

Предположим, что ежегодно выбывает определенная доля капитала σ. Назовем σ нормой выбытия. Например, если капитал эксплуатируется в среднем 25 лет, то норма выбытия равна 4% в год (σ= 0,04). Таким образом, количество капитала, которое выбывает каждый год, cоставляет σ·k. На графике показано, как выбытие зависит от запасов капитала.

σ К

Выбытие

σ к

Капиталовооруженность

Влияние инвестиций и выбытия на запасы капитала можно выразить с помощью следующего уравнения:

Изменение запасов капитала =инвестиции – выбытие, т.е. к=I-σк, где к есть изменение запасов капитала, приходящихся на одного работника за год. Поскольку инвестиции равны сбережениям, изменение запасов капитала может быть записано так: к=Sf(к)- σк. Это уравнение показывает, что изменение запасов капитала равно инвестициям Sf(к) минус выбытие капитала σк.

Чем выше капиталовооруженность , тем больше объем производства и инвестиции, приходящиеся на одного работника . Однако, чем больше запасы капитала, тем больше и величина выбытия .

На рис. показано, что существует единственный уровень капиталовооруженности , при котором инвестиции равны величине износа . Если в экономике достигнут именно такой уровень, то он не будет меняться во времени, поскольку две действующие на него силы (инвестиции и выбытие) точно сбалансированы. Таким образом, при данном уровне капиталовооруженности
. Назовем эту ситуацию состоянием устойчивой капиталовооруженности и обозначим его k * .

Предположим, что запасы капитала в начальном состоянии превышают k * , например, в точке k 2 . В этом случае инвестиции меньше, чем выбытие: капитал выбывает быстрее, чем добавляется. Таким образом, капиталовооруженность будет сокращаться, опять приближаясь к устойчивому уровню. В момент, когда запасы капитала, приходящиеся на одного работника, достигнут устойчивого уровня, инвестиции сравняются с выбытием, и капиталовооруженность не будет ни расти, ни падать.

Предположим, что экономика начинает развиваться, находясь в устойчивом состоянии при норме сбережений S 1 и запасах капитала k 1 * . Норма сбережений затем возрастает с S 1 до S 2 , вызывая соответствующий сдвиг вверх кривой Sf(k). При начальном уровне сбережений S 1 и начальных запасах капитала k 1 * ,

инвестиции как раз компенсирует выбытие капитала. Сразу после повышения нормы сбережений инвестиции увеличиваются, но запас капитала, и следовательно, выбытие остаются пока неизменными; в итоге инвестиции превышают выбытие. Капитал будет постепенно расти до тех пор, пока экономика не достигнет нового устойчивого состояния k 2 * с большой капиталовооруженностью и более высокой производительностью труда, чем в прежнем устойчивом состоянии.

Модель Солоу показывает, что норма сбережений является ключевой (определяющей) детерминантой величины устойчивой капиталовооруженности . Если норма сбережений более высока, то экономика будет иметь при прочих равных условиях больший запас капитала и более высокий уровень производства.

Более высокие сбережения ведут к более быстрому росту , но это ускорение длится не вечно. Увеличение нормы сбережений обеспечивает рост до тех пор, пока экономика не достигнет нового устойчивого состояния. Если в экономике поддерживается высокая норма сбережений, то и капиталовооруженность, и производительность будут высоки, но и сохранить высокие темпы экономического роста навечно не удастся.

В соответствии с моделью Солоу страна, которая направляет значительную часть дохода на сбережения, будет иметь высокую устойчивую капиталовооруженность труда и, вследствие этого, высокий уровень душевого дохода. Страны с высоким уровнем инвестиций (США, Канада или Япония) обычно имеют высокий душевой доход, в то время как страны с низким уровнем инвестиций (Эфиопия, Заир, Чад) имеют низкий доход на душу населения. Международный опыт, таким образом, подтверждает предсказания модели Солоу о том, что норма сбережений является важнейшей детерминантой богатства или бедности страны.

Теперь рассмотрим вопрос: какие размеры накопления являются оптимальными.

Уровень накопления капитала, обеспечивающий устойчивое состояние с наивысшим уровнем потребления , называется Золотом уровнем накопления капитала, или "Золотым правилом " Э.Фелпса, и обозначается k ** .

Устойчивый уровень потребления есть разница между выпуском и выбытием капитала в устойчивом состоянии . Оно показывает, что увеличивающаяся капиталовооруженность двояко воздействует на величину потребления: она способствует росту выпуска продукции, но в то же время большее количество продукции требуется для возмещения выбытия капитала. На рис. выпуск продукции и выбытие в устойчивом состоянии показаны в виде функции от устойчивой капиталовооруженности. Потребление в устойчивом состоянии – это разница между объемом производства и выбытием капитала. Рисунок показывает, что существует единственный уровень капиталовооруженности – уровень Золотого правила k ** , при котором душевое потребление достигает максимума.

Если капиталовооруженность меньше ее уровня по Золотому правилу, то рост запасов капитала вызывает рост производства, превышающий увеличение выбытия. В этом случае потребление растет. Кривая производственной функции наклонена круче, чем линия σk ** , так что расстояние между ними (равное потреблению) растет по мере увеличения k * . С другой стороны, если объем капитала превышает уровень Золотого правила, дальнейший рост капиталовооруженности уменьшит потребление, так как рост выпуска продукции окажется меньше прироста выбытия капитала.

При капиталовооруженности, соответствующей уровню Золотого правила, производственная функция и линия σk * имеют одинаковый наклон, и потребление достигает максимального уровня.

Если же устойчивый запас капитала превышает уровень Золотого правила, то рост объема капитала снижает потребление, поскольку предельный продукт капитала меньше, чем норма выбытия. Поэтому следующее условие составляет само Золотое правило МРК = σ. При капиталовооруженности на уровне Золотого правила предельный продукт капитала равен норме выбытия. Другими словами, если Золотое правило выполняется, предельный продукт за вычетом нормы выбытия, МРК = σ, равен нулю .

Базовая модель Солоу показывает, что само по себе накопление капитала не может объяснить непрерывный экономический рост . Высокий уровень сбережений временно увеличивает темпы роста, но экономика в конце концов приближается к устойчивому состоянию, при котором запасы капитала и объем производства постоянны. Для того, чтобы объяснить непрерывный экономический рост, который наблюдается в большинстве стран мира, нужно расширить модель Солоу и включить в нее два других источника экономического роста: рост населения и технологический прогресс .

Рост численности работников ведет к сокращению капиталовооуженности каждого из них . Изменение запаса капитала, приходящегося на одного работника, составит: k = I – σ·k – n·k. Три составляющих в правой части этого уравнения показывают влияние инвестиций, выбытия капитала и роста населения на величину капиталовооруженности. Инвестиции увеличивают k, а выбытие капитала и рост населения уменьшает ее. Для того, чтобы воспользоваться этим равенством, заменим I на S f(k) и перепишем его: k = S f(k) - (σ + n)·k. Эффекты выбытия капитала и роста населения теперь объединены. Уравнение показывает, что рост населения уменьшает капиталовооруженность таким же образом, как и выбытие. Выбытие уменьшает k за счет сокращения запасов капитала, в то время как рост населения уменьшает k, распределяя капитал между большим количеством работающих.

Для того, чтобы экономика была в устойчивом состоянии, инвестиции S f(k), должны компенсировать последствия выбытия капитала и роста населения – (σ + n)·k, что представлено на рис. точкой двух кривых.

Инвестиции

k Капиталовооруженность

Устойчивый уровень

Рост населения дополняет исходную модель Солоу по трем направлениям. Во-первых, он позволяет приблизиться к объяснению причин экономического роста. В устойчивом состоянии экономики при растущем населении капитал и выпуск продукции на одного работника остаются неизменными, но поскольку количество работников растет с темпом n, капитал и объем производства тоже растут с темпом n. Следовательно, рост населения не может объяснить длительного роста уровня жизни, поскольку объем производства в расчете на одного работника в устойчивом состоянии остается постоянным. Однако рост населения может объяснить непрерывный рост валового выпуска продукции.

Во-вторых, рост населения позволяет дать дополнительно объяснение того, почему некоторые страны богаты, а другие – бедны.

Так модель Солоу предсказывает, что страны с более высокими темпами роста населения будут иметь более низкий ВНП на душу населения.

Инвестиции

Капиталовооруженность

В-третьих, рост населения влияет на уровень накопления капитала по Золотому правилу. Вспомним, что потребление на одного работника равно с = у - i. Поскольку устойчивый объем производства есть f(k *), а инвестиции устойчивого состояния – это (σ + n)·k * , устойчивый уровень потребления можно определить как с * = f(k *) - (σ+n)·k * . Уровень k *, который максимизирует потребление, таков, что МРК = σ + n, или соответственно МРК – σ = n. В устойчивом состоянии по Золотому правилу предельный продукт капитала минус норма выбытия равен темпу прироста населения.

Теперь включим в модель Солоу технологический прогресс – третий источник экономического роста. Запишем производственную функцию следующим образом: Y = F(K,L х Е), где Е представляет собой новую переменную, которую мы назовем эффективностью труда одного работника. Эффективность труда зависит от здоровья, образования и квалификации рабочей силы.

Описание технологического прогресса через приращение эффективности труда делает его аналогичным росту населения.

Уравнение, показывающее изменение к с течением времени, теперь выглядит следующим образом: Новый элемент этой формулы g, темп технологического прогресса, появляется постольку, поскольку к есть количество капитала в расчете на единицу труда с постоянной эффективностью. Если величина g велика, то общее количество единиц труда с постоянной эффективностью растет быстро, а прирост капитала на такую единицу труда сравнительно мал и может стать отрицательным.

Таким образом, с учетом технологического прогресса наша модель в конце концов может объяснить, почему уровень жизни растет из года в год. Тем самым мы показывали, что технологический прогресс может поддерживать непрерывный рост выпуска продукции на одного работника , тогда как высокий уровень сбережений ведет к высоким темпам роста только до момента достижения устойчивого состояния. Как только экономика достигает устойчивого состояния, темп роста производства на одного работника зависит только от скорости технологического прогресса. Модель Солоу показывает, что только технологический прогресс может объяснить непрерывно растущий уровень жизни .

Введение в модель технологического прогресса изменяет также условия выполнения Золотого правила. Золотое правило для накопления капитала определяет устойчивый уровень, при котором максимизируется потребление на единицу труда с постоянной эффективностью. Следует сказать, что устойчивый уровень потребления на единицу труда с неизменной эффективностью составляет: .

Устойчивый уровень потребления максимизируется, если:

МРК – σ + n + g, или МРК – σ = n + g. Таким образом, при запасе капитала по Золотому правилу чистый предельный продукт капитала (МРК – σ) равен темпу прироста объема производимой продукции n + g.